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1、 正比例和反比例的意义教学设计 探究学目标：经历从具体实例中认识成正比例和反比例的量的过程，理解正比例、反比例的意义，学会判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。探究重难点：正确理解并判断正反比例 探究过程：(一)导引探究，由表及里 教学例 1，认识成正比例的量。1谈话引出例 1 的表格。一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。时间（时）1 2 3 4 5 6 路程（千米）80 160 240 320 400 480 在让学生说一说表中列出了哪两种量之后，教师引导学生逐步探究：行驶的时间和路程 有关系吗?行驶的时间是怎样随着路程的变化而变化的?行驶的时间和路程的变化有什 么规律?(学生探
2、究第 3 个问题时，教师可进行适当的引导，如引导学生写出几组路程和 时间对应的比，并要求学生求出比值。)2引导学生交流并聚焦以下内容：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间 的变化而变化；时间扩大、路程也扩大，时间缩小、路程也缩小；路程和时间的比值总 是一定的，也就是“路程时间=速度(一定)”(板书关系式)。3教师对两种量之间的关系给予具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间 变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比值总是一定(也就是速度一定 )时，我们 就说行驶的路程和时间咸正比例(板书“路程和时间成正比例”)，行驶的路程和时间是成正比例的量。4 让学生根据板书完整地说一说表中路程和时
3、间成什么关系。数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学概 念的来源一般有两个方面：一是直接从实际经验中概括得出；二是在原有的初级概念基 础上通过新旧概念的相互作用而获得。正比例概念的形成属于前者，因此例 1 的教学可 以充分利用表格，让学生通过对表中数据的观察和分析，由浅入深，由表及里，逐步认 识成正比例的量的特点。本环节先让学生观察例题中的表格，说一说表中列出的是哪两 种量；接着用三个引探性的问题逐步引导学生在探究学习活动中发现路程与时间之间的 关系及变化趋势；最后，聚焦、明晰这两种量之间的关系，让学生初步认识正比例的特 点。这样的教学有利于学生经历正比例概念的形
4、成过程。(二)自主探究，尝试归纳 出示例 2：汽车从甲地开往乙地，行驶的速度和所用时间如下表，它们之间有什么 规律?速度（千米/时）40 60 80 100 120 时间（时）30 20 15 12 10 1出示供学生自主探究的问题：当速度变化时，时间是否也随着变化?这种变化与 例 1 中两种量的变化有什么不同?速度和时间的变化有什么规律?2引导学生在自主探究、交流中认识成反比例的量的特点：速度和时间是两种相 关联的量，速度变化，时间也随着变化；例 2 中两种量的变化规律是：一种量扩大，另 一种量反而缩小；速度和时间的变化规律是它们的乘积一定，可以表示为“速度时间 =路程(一定)”(板书关系式
5、)。3在发现变化规律的基础上，让学生仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义，引出反比例概念 (板书“速度和时间成反比例”)。从生活原型中逐步抽象，从已有概念中衍生，从数学概念的学习中迁移等，都是 建构数学概念的有效方法。有了学习正比例的基础，反比例意义的学习应更加体现学生 的学习自主性。本环节除了让学生发现成反比例的量之间的关系，还让学生仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义。这样能真正发挥学生的学习主动性，让学生在自主探 究过程中经历反比例概念的形成过程。(三)对比探究，把握本质规律 1将例 1、例 2 教学时探究发现的内容用多媒体呈现出来，揭示正比例、反比例 的内涵本质。多媒体呈现：例 1
6、 路程时间=速度(一定)路程和时间成正比例 例 2 速度时间；路程(一定)速度和时间成反比例 2探究活动。(1)让学生仿照例 1 完成教材第 62 页“试一试”(题略)，仿照例 2 完成教材第 6 5 页“试一试”(题略)。(2)引导学生将成正比例的量与成反比例的量进行对比探究，找出它们的相同点与不同点。例 1 中路程和时间相依互变，速度不变，例 2 中速度和时间相依互变，路程不变，这样的对比有利于学生从变中看到不变；例 1 中速度是不变量，例 2 中路程是不变量，同样都有不变量，例 1 中路程和时间成正比例，而例 2 中速度和时间成反比例，这样 的对比有利于学生从不变中看到变。变与不变关键要
7、抓住本质“比值一定”还是“积一定”。对比探究活动旨在让学生把握概念内在的联系与区别，形成正比例、反比例概念的认知结构。(3)引导学生尝试用字母表达式对正比例的意义和反比例的意义进行抽象概括。启发学生思考：如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量、用 k 表示它们的比 值，正比例关系可以怎样表示?如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它 们的积，反比例关系可以怎样表示?根据学生的回答，板书关系式“正比例 y x=k(一定)”，“反比例 x y=k(一定)”。录一编制依据二工程概况三进度目标管理四重点分部分项工程施工措施基础施工主体与装修施工安装与装修施工园林施工配套工程施
8、工五工期保证措施管理保证措施技术保证措施季节施工保证措施资金保证措施物资保证措施六质量称中南玖宸二期地块工程地址重庆蔡家建设单位重庆锦腾房地产开发有限公司勘察单位重庆川东南地质工程勘察设计院设计单位上海天华建筑设计有限公司监理单位重庆联盛建设项目管理有限公司质量监督部门重庆市北碚区质量监求天合格实际开工日期年月日合同额亿含安装本工程位于区域中心城市重庆市北碚区蔡家板块北临中环快速路东临轻轨号线西靠金科楼盘项目地块部分位于已建轨道交通六号线二期曹家湾蔡家站区间隧道及曹家湾车站轨道保护区范 概念符号化在概念教学中很重要。数学课程标准明确指出，符号感主要表现 之一是能从具体情境中抽象出数量关系和变化
9、规律，并用符号来表示。学生概念形成的 主要过程为：感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、抽象本质属性阶段、符号表征阶 段、概念运用阶段。在符号表征阶段，学生尝试用语言或符号对同类对象的本质属性进 行概括。本阶段教学是概念符号表征阶段，在这个阶段之前，学生对正比例、反比例的 本质属性及特征有一定的认识，可以开始尝试用符号对正比例、反比例进行概括。“y x=k(一定)”，“x y=k(一定)”，是对正比例、反比例意义的抽象表达，是揭 示正比例、反比例数量关系及其变化规律的数学模型。3组织对比性练习。(1)成正比例、反比例的对比练习。笔记本的单价、购买的数量和总价如下表：表 1 数量/本 20 30
10、40 50 60 总价/元 30 45 60 75 90 表 2 单价/元 数量/本 1.5 2 4 40 30 15 5 12 6 10 在表 1 中，相关联的量是 和 ，随着 变化，是一定的。因此，数量和总价成 关系。!在表 2 中，相关联的量是 和，随着 变化，是一定的。因 此，单价和数量 成关系。将获得的新概念推广到其他的同类对象中去，是概念运用的过程，也是进一步理 解概念的过程。表 1 是成正比例的量，表 2 是成反比例的量，这种正比例与反比例的对 比，有利于学生进一步加深对正比例、反比例意义的认识，对正比例或反比例中两种量变化趋势和规律的把握。(2)成比例与不成比例的对比练习。下面
11、每题中的两个量哪些成正比例，哪些成反比例?哪些既不成正比例也不成反比 例?圆的直径和周长。小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量。书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。这一类型题比较抽象，学生只有对正比例、反比例的意义有了较深刻的理解，才能正确地作出判断。这样的练习有助于学生从整体上把握各种量之间的关系，有助于进一步提高学生判断成正比例、反比例的量的能力。此题型在新授课上还只是让学生初步接触，重点训练还要放在练习课。(3)从生活中寻找成正比例、反比例的量的实例，进行对比练习。举例练习是概念巩固阶段的重要组成部分。如果让学生独立找生活中成正比例、反比例的量的实例，可能有一定难度，我们可采用
12、小组讨论的形式进行。此练习还可以让学生感受到数学与生活的联系 录一编制依据二工程概况三进度目标管理四重点分部分项工程施工措施基础施工主体与装修施工安装与装修施工园林施工配套工程施工五工期保证措施管理保证措施技术保证措施季节施工保证措施资金保证措施物资保证措施六质量称中南玖宸二期地块工程地址重庆蔡家建设单位重庆锦腾房地产开发有限公司勘察单位重庆川东南地质工程勘察设计院设计单位上海天华建筑设计有限公司监理单位重庆联盛建设项目管理有限公司质量监督部门重庆市北碚区质量监求天合格实际开工日期年月日合同额亿含安装本工程位于区域中心城市重庆市北碚区蔡家板块北临中环快速路东临轻轨号线西靠金科楼盘项目地块部分位于已建轨道交通六号线二期曹家湾蔡家站区间隧道及曹家湾车站轨道保护区范