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1、高考递推数列求通项题型分类归纳解析 类型 1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例 1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn 所以naan111 211a，nnan1231121 类型 2 nnanfa)(1 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例 2:已知数列na
2、满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11 又321a，nan32 例 3:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan 34 375 26331 348 531nnnnn。变式:（2004，全国 I,理 15）已知数列an，满足 a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n2)，则an的通项1_na 12nn 解：由已知，得nnnnaanaaaa1
3、3211)1(32，用此式减去已知式，得 当2n时，nnnnaaa 1，即nnana)1(1，又112 aa，naaaaaaaaann 13423121,4,3,1,1，将以上 n 个式子相乘，得2!nan)2(n 类型 3 qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311 ab,且
4、23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.变式:（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_（key:321nna）类型 4 nnnqpaa 1（其中 p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq）。（或1nnnaparq,其中 p，q,r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例 5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求
5、na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa 求解由条件知分别令代入上式得个等式累加之即所以类型解法把原递推公式转化为利用累乘法逐商相乘法求解例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个等式累乘之即又例已知求解变式全国理已知数列满足则的通项解由已知再利用换元法转化为等比数列求解例已知数列中求解设递推公式可以转化为即故递推公式为令则且所以是以为首项为公比的等比数列则所以变式重庆文在数列中若则该数列的通项类型其中均为常数或其中均为常数解法一般地要先在类型递推公式为其中均为常数解特征根法对于由递推公式给出的数列方程叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根当时数
6、列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方程组当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方令nnnab 2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32 类型 5 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx 时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于 A、B 的方程
7、组）；当21xx 时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于 A、B 的方程组）。例 6:数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,求na 解（特征根法）：的特征方程是：02532 xx。32,121 xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa 故1)32)(323nnbaaba 练习:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1731:()443nnkey a。变式:（2006
8、，福建,文,22）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN求数列na的通项公式；（I）解：112211()().()nnnnnaaaaaaaa 12*22.2 121().nnnnN 类型 6 递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSf a)解法：利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。求解由条件知分别令代入上式得个等式累加之即所以类型解法把原递推公式转化为利用累乘法逐商相乘法求解例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个等式累乘之即又例已知求解变式全国理已知数列
9、满足则的通项解由已知再利用换元法转化为等比数列求解例已知数列中求解设递推公式可以转化为即故递推公式为令则且所以是以为首项为公比的等比数列则所以变式重庆文在数列中若则该数列的通项类型其中均为常数或其中均为常数解法一般地要先在类型递推公式为其中均为常数解特征根法对于由递推公式给出的数列方程叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方程组当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方例 7：数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.解：（1）由2214nnnaS得：111214nnnaS 于是)2121()(
10、1211nnnnnnaaSS 所以11121nnnnaaannnaa21211.（2）应用类型 4（nnnqpaa 1（其中 p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq）的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa 由1214121111aaSa.于是数列 nna2是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna 类型7 rnnpaa 1)0,0(nap 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann 1，再利用待定系数法求解。例 8：已知数列na中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na 解：由211nnaaa两边取对数得a
11、aann1lglg2lg1，令nnablg，则abbnn1lg21，再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa。类型 8)()()(1nhanganfannn 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann 1。例 9：已知数列an满足：1,13111aaaannn，求数列an的通项公式。解：取倒数：11113131nnnnaaaa na1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan 变式:（2006，江西,理,22）已知数列an满足：a132，且 ann1n13nan2nN2an1（，）求数列an的通项公式；求解由条件知分别令代入上式得个等式累加之即所以类型解法把原
12、递推公式转化为利用累乘法逐商相乘法求解例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个等式累乘之即又例已知求解变式全国理已知数列满足则的通项解由已知再利用换元法转化为等比数列求解例已知数列中求解设递推公式可以转化为即故递推公式为令则且所以是以为首项为公比的等比数列则所以变式重庆文在数列中若则该数列的通项类型其中均为常数或其中均为常数解法一般地要先在类型递推公式为其中均为常数解特征根法对于由递推公式给出的数列方程叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方程组当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方解：（1）将条件变为：1nnan11n113a（），
13、因此1nna为一个等比数列，其首项为 111a13，公比13，从而 1nnan13，据此得 annnn 331（n 1）类型 9周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例 10：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（）A0 B3 C3 D23 求解由条件知分别令代入上式得个等式累加之即所以类型解法把原递推公式转化为利用累乘法逐商相乘法求解例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个等式累乘之即又例已知求解变式全国理已知数列满足则的通项解由已知再利用换元法转化为等比数列求解例已知数列中求解设递推公式可以转化为即故递推公式为令则且所以是以为首项为公比的等比数列则所以变式重庆文在数列中若则该数列的通项类型其中均为常数或其中均为常数解法一般地要先在类型递推公式为其中均为常数解特征根法对于由递推公式给出的数列方程叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方程组当时数列的通项为其中由决定即把和代入得到关于的方