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1、 自主招生讲座 1基础知识1.定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。2.定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等份为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360=2 rad。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径（相应的扇形面积为12SLr）。3.定义 3 象限角：角的终边落在象限内的角，如2,6kkZ为第一象限角。轴线角：角的终边落在坐标轴上的角，如终边落在x轴上的角的集合为：,kkZ 4.定义 4 三角函数，
2、在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=ry,余弦函数 cos=rx,正切函数 tan=xy，余切函数 cot=yx，正割函数 sec=xr,余割函数 csc=.yr（在单位圆中定义更加简单）（1）三角函数的正否：“一全二正弦，三切四余弦”（2）sin与cos大小关系如图：（3）sincosT的大小范围如图：5.定义 5 三角函数线：略 6.定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan=sinc
3、oscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2；若*sincos1(,2)nnnNn，则为轴线角。7.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;（）sin2=cos,cos2=sin,tan2=cot（奇变偶不变，12
4、T 01T 10T 21T 10T 01T 0T sincos sincos sincos 符号看象限）。8.三角函数的图像：略（留意cot,sec,cscxxx的图像）9.正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为 2.奇函数.有界性：当且仅当 x=2kx+2时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-2时,y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ.10.余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区
5、间：在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k 上单调递增。最小正周期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k 均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k-时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.11.正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+2)在开区间(k-2,k+2)上为增函数,最小正周期为 ，值域为（-，+），点（2k，0）均为其对称中心。这里 kZ.12.cscyx的性质：单调区间：增区间（2,22kk），（32,22kk），减区间（2,22kk），（2,22kk）；最小正周期为 2，奇函数，
6、对称轴为2xk，对称中心为(,0)k，值域为(,11,)。这里 kZ.13.secyx的性质：单调区间：增区间（2,22kk），（2,22kk），减区间（2,22kk），（2,22kk）；最小正周期为 2，偶函数，对称轴为xk，对称中心为(,0)2k，值域为(,11,)。这里 kZ.14.cotyx的性质：减区间为（,(1)kk）；最小正周期为 ，奇函数，对称中心为(,0)2k，值域为R。这里kZ.15.平移与伸缩变换：（1）先平移后伸缩；（2）先伸缩后平移。图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐
7、标变为原来的1，得到 y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)若旋转方向为顺时针方向则角为负角若不旋转则为零角角的大小是任意的定义角度制把一周角等分每一等份为一度弧度制把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度若圆心角的弧长为则其弧其中是圆的半径相应的扇形面积为度数的角的集合为定义三角函数在直角坐标平面内把角的顶点放在原点始边与轴的正半轴重合在角的终边上任
8、意取一个不同于原点的点设它的坐标为余割函数在单位圆中定义更到原点的距离为则正弦函数正割函数余弦函数正切函数余切函数的基本关式倒数关乘积关商数关平方关若则为轴线角定理诱导公式奇变偶不变符号看象限三角函数的图像略留意的图像正弦函数的性质根据图象可得的性质如下单调区间在区上为增函数在区间上为减函数最小正周期为奇函数有的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。16.两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=(tantan)(1tantan)（注意其的变形形式）17.和差化积与积化和差公式:（重要）sin+sin=2sin 2
9、cos 2,sin-s in=2sin 2cos 2,cos+cos=2cos 2cos 2,cos-cos=-2sin 2sin 2,sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).18.倍角公式:sin2=2sincos,cos2=cos2-s in2=2cos2-1=1-2s in2,tan2=.)tan1(tan22 19.三倍角公式：3sin33sin4sin=4sinsin()sin()33 3cos34cos3cos4coscos()cos()
10、33 323tantantan3tantan()tan()1 3tan33 20.半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin 21.万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2 22.辅助角公式：如果 a,b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为，则 sin=22bab,cos=22baa，对任意的角.asin+bcos=)(22ba sin(+).23.正弦定理：在任意ABC 中有RCcBbAa2s
11、insinsin，其中 a,b,c 分别是若旋转方向为顺时针方向则角为负角若不旋转则为零角角的大小是任意的定义角度制把一周角等分每一等份为一度弧度制把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度若圆心角的弧长为则其弧其中是圆的半径相应的扇形面积为度数的角的集合为定义三角函数在直角坐标平面内把角的顶点放在原点始边与轴的正半轴重合在角的终边上任意取一个不同于原点的点设它的坐标为余割函数在单位圆中定义更到原点的距离为则正弦函数正割函数余弦函数正切函数余切函数的基本关式倒数关乘积关商数关平方关若则为轴线角定理诱导公式奇变偶不变符号看象限三角函数的图像略留意的图像正弦函数的性质根据图象可得的性质如下单调区间在
12、区上为增函数在区间上为减函数最小正周期为奇函数有角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。24.余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2 bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C的对边。25.在ABC中，下列公式成立：（1）sinsinsin4coscoscos222ABCABC（2）coscoscos14sinsinsin222ABCABC （3）tantantantanA tanBCA tanBC（4）222sinsinsin2(1coscoscos)ABCABC（4）cotcotcotcotcotcot1ABBCCA（5）cotcotcotcotcotcot2
13、22222ABCABC（6）tantantantantantan1222222ABBCCA 26.函数 y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1,1)，函数 y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1,1).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-,+).y=cosx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-,+).定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程 cosx=a 的解集是x|x
14、=2kxarccosa,kZ.如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.27.若2,0 x，则 sinxxtanx.28.三角与复数（1）复数的 4 种形式：(,)(cossin)iabia brire（r是复数的模）（2）11221212(cossin)(cossin)cos()sin()iii （3）11221212(cossin)(cossin)cos()sin()iii （4）隶莫弗公式：复数(cossin)Zri的n次方(cossin)nnZrnin（5）复数(cossin
15、)Zri的n次方根为22(cossin)nkkrinn （6）方程(cossin)nxri的解为0121,n ，其中 22(cossin)nkkrinn 若旋转方向为顺时针方向则角为负角若不旋转则为零角角的大小是任意的定义角度制把一周角等分每一等份为一度弧度制把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度若圆心角的弧长为则其弧其中是圆的半径相应的扇形面积为度数的角的集合为定义三角函数在直角坐标平面内把角的顶点放在原点始边与轴的正半轴重合在角的终边上任意取一个不同于原点的点设它的坐标为余割函数在单位圆中定义更到原点的距离为则正弦函数正割函数余弦函数正切函数余切函数的基本关式倒数关乘积关商数关平方关若则为轴线角定理诱导公式奇变偶不变符号看象限三角函数的图像略留意的图像正弦函数的性质根据图象可得的性质如下单调区间在区上为增函数在区间上为减函数最小正周期为奇函数有