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1、学习必备 欢迎下载 等差数列的前 n 项和教学设计 曾玉生 （东莞市 东莞市塘厦中学）教学内容：人教版数学必修 5 第二章第三节：等差数列的前 n 项和 课标要求：通过本节内容的学习，是学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本数量关系，并利用它们解决一些实际问题。学生分析：学生已学习过等差数列，熟练掌握等差数列通项公式，求公差等知识。教学目标：【知识与技能】掌握等差数列前 n 项和公式，能熟练应用等差数列前n 项和公式。【过程与方法】经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。【情感、态度与价值观】获得发现的成就感，逐步养成
2、科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：探索并掌握等差数列前 n 项和公式，学会运用公式。教学难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。教学方法：采用探究式教学，以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用。教师为主导，学生为主体，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节，构建学生主动的学习活动过程。教学过程：教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、选取热点新闻钓鱼岛事件，导入课题 师：讲叙热点新闻钓鱼岛事件 据 8 月 20 日的中国青年报，日本政府及某些右翼分子对待钓鱼岛的态度，激起了中国人的强烈愤慨。9 月 1
3、6 日，我国东海将结束为期三个半月的海洋伏季休渔工作，届时将会有大批渔船陆续出海赴钓鱼岛作业。假设第一天有 100 艘鱼船开付钓鱼岛，第二天有 200 艘鱼船开付钓鱼岛，第三天有 300 艘鱼船开付钓鱼岛，第四天有 400 艘鱼船开付钓鱼岛，以此类推，每一天开出的渔船都比前一天多开出 100 艘渔，到第十天时，总共有多少艘渔船开赴钓鱼岛？师：你能算出这十天总共有多少渔船开往钓鱼岛呢?聆听时事热点新闻，感受数学问题的情景化，了解外界事件的发生发展的同时有自己的猜测，并在教师的引导、启发后展开自己的思维分析。以热点事情引题，一下就抓住学生的兴奋点，激发学生学习兴趣和热情，调动学习积极性，领悟数学应
4、用价值。学习必备 欢迎下载 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 二、探索解决方法，展开课题 师：每一天出发的渔船分别为多少呢？第一天：100 艘，第二天：200 艘，第三天：300 艘，以此类推 第十天：1000 艘，即是求：100+200+300+。+1000=?师：这个式子与以下的式子有相同的地方，有简便计算方法，不知同学们是否知道如何简单计算呢？?100321 师：写出如下等式 10110110110110112981009939921001 师：有多少个 101 呢？师：505021100100100321 师：以上 10 个数的和可以如下计算：110011001100110010
5、020010009009002001000100 师：有几个 1100 呢？师：550021001000101000200100 师：如果 5500艘渔船同时冲击钓鱼岛的话，我们捍卫钓鱼岛主权一定能够成功。全部生答：第一天：100 艘，第二天：200 艘，第三天：300 艘，以此类推 第十天：1000 艘，学生思考回想，如何简单快速计算出结果。少部分生答：5050 部分学生在小学时或者课外有接触过这个式子，很可能只是简单的记住结果。大部分生答：101 个 全部生：模仿上面的计算过程，计算中国10 天内开赴钓鱼岛渔船的总数。在师生相互交流中思维逐步展开。发挥学生学习主体性和参与积极性，从特殊到一
6、般,从 模 仿 到 创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。三、类比算法，得出求和公式 师：总结以上规律。若把以上 10 个数组成一个数列，记为na，na是什么数列？师：以首项1001a，公差100d的等差数列。我们称：1021aaa为数列na的前 10 项和，记为10S，即102110aaaS，同理，前n 项和记为nS，即nnaaaS21。师：前两个求和的式子有什么规律？是否也可以像上面一样快速计算出等差数列的前 n 项和呢？规律 1：最后计算需要首项1a和最后一
7、项10a；规律 2：最后计算还需要项数 n；师：把所有项利用通项公式全部化为1a和d的式子 dnadadaaSn121111 全 部 生 答：等差数列。学生观察上两个等 差 数列 的求 和过程，发现处理的共同之处，发现计算时只与首项1a、第 n 项na和项数 n 有关。全部生：动手尝试把1a后面的项全部化为含1a的式子。在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，体验到学习的愉快和成就感。节等差数列的前项和课标要求通过本节内容的学习是学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列模型的过程探索并掌握其中的一些基本数量关系并利用它们解决一些实际问题学生分析学生已学习过等差数列
8、熟练掌握等差数列经历公式的推导过程体验从特殊到一般的研究方法了解倒序相加求和法的原理情感态度与价值观获得发现的成就感逐步养成科学严谨的学习态度提高代数推理的能力教学重点探索并掌握等差数列前项和公式学运用公式教学难点等差公式的推导思路并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用教师为主导学生为主体充分调动学生积极参与教学过程的每个环节构建学生主动的学习活动过程教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图师讲叙热点新闻钓鱼岛事件据学习必备 欢迎下载 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 三、类比算法，得出求和公式 师：把所有项利用通项公式全部化为na和d的式子 dnadadaaSnnnnn12 师：由+，
9、得：nnnnaaaaaaS1112 师：有多少个naa 1？nnaanS12 21nnaanS 师：只需要知道等差数列的首项1a、第 n 项na和项数 n，就可以求出前 n 项和。师：若代入等差数列的通项 dnaan11，还可以得到求nS的另一个公式：dnnnaSn211 师：以上两个公式就是等差数列求和的公式。请同学们拿出草稿纸和笔，各抄写一遍。全部生：动手尝试把na前面的项全部化为含na的式子。生观察后答：n 个 全部生抄写公式，注 意 其 中 的 加 减号，1a与na的细节问题。学生在引例启发和老师指导下，基本上能用倒序相加法 完 成 公 式 的 推导，但对字母运算存 在 着 一 定 的
10、 困难，教师需适时适当提示并板书，演示字母运算。四、精讲精炼，巩固知识 例 1：已知等差数列na，依据一下各题中的条件求前 n 项和nS（1）41a，188a，8n（2）21a，3d，53na。师：请同学们参照以上两个公式，尝试能否解答。师：分析如何选择公式（1）参照以上公式，结合题目中的条件，选择含有na的求和公式。562184821nnaanS（2）参照以上公式，结合题目中的条件，需要求出项数 n，依据等差数列na与1a的关系，可以求出n，之后选择两个公式中的任何一个都可以求出前 n项和nS，这里我们试试第二个公式。dnaan11 13253n 18n 4953211818218211dn
11、nnaSn 在老师的指导和启发下，训练自己的思维，模仿套用公式作答，强化对公式的理解。全部生发现如何依据条件选取公式。剖析公式中的基 本 量 及 结 构 特征，识记公式，及时总结、巩固、强化探究成果，提高认知的深度。节等差数列的前项和课标要求通过本节内容的学习是学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列模型的过程探索并掌握其中的一些基本数量关系并利用它们解决一些实际问题学生分析学生已学习过等差数列熟练掌握等差数列经历公式的推导过程体验从特殊到一般的研究方法了解倒序相加求和法的原理情感态度与价值观获得发现的成就感逐步养成科学严谨的学习态度提高代数推理的能力教学重点探索并掌握等差数列前项和公式学
12、运用公式教学难点等差公式的推导思路并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用教师为主导学生为主体充分调动学生积极参与教学过程的每个环节构建学生主动的学习活动过程教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图师讲叙热点新闻钓鱼岛事件据学习必备 欢迎下载 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 师：求和公式中，只要知道了nnSdnaa,1五个量中给的任意 3 个量，求可以求出其他两个量。师：依据已知条件，选择合适的公式，可以加快做题的速度。巩固练习：练习：在等差数列na中：（1）201a，54na，999nS，求 d 及 n（2）31d，37n629S，求1a和na。师：公布答案：（1）1317d，27n（
13、2）111a，23na 例 2：20XX 年伦敦奥运会预赛时，刘翔在跨跃第一个栏时就打栏被绊倒，他因此没有成绩被淘汰。遭到许多“翔迷”的唾骂，教练孙海平被怀疑指使刘翔“假跑”。孙海平回应记者：为了刘翔能参加 20XX年里约热内卢奥运会并且夺得冠军，已经给刘翔制定了 7 天一个周期的康复训练计划：第 1 天跑 100 米，以后每天比前一天多跑 50 米。找此计划，刘翔一周期七天共跑多长的距离？师：分析：一个周期内，刘翔每天跑的距离比前一天增加 50 米，将这七个数字建立一个等差数列na，其中，1001a，50d，依据等差数列的求求和公式可以求得一个周期的跑步距离7S，17505021100721
14、77717daS 变式练习，个别学生板书，达到巩固公式的目的。在老师的指导和启发下，训练自己的思维，强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、灵活运用知识的目的。直接套用和变式套用公式，强化对公式的理解和识记，通过公式的恰当选择，提升对公式的区分。选取社会热点事情，给出对立的两种情况，让学生表达自己观点，训练学生的表达能力，提升数学课堂的活跃度，提升学生学习数学的兴趣。热点事件中包含等差数列知识。学以致用，提高学生思维的梯度、深度和灵活性。五、总 结 反 思 今天这节课你有哪些收获？1、两个公式：21nnaanS dnnnaSn211 2、求和方法：倒序相加 回忆总结所学知识，加深
15、印象。整理、归纳所学知识，完善学生认知结构和知识体系，明确本节学习内容。节等差数列的前项和课标要求通过本节内容的学习是学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列模型的过程探索并掌握其中的一些基本数量关系并利用它们解决一些实际问题学生分析学生已学习过等差数列熟练掌握等差数列经历公式的推导过程体验从特殊到一般的研究方法了解倒序相加求和法的原理情感态度与价值观获得发现的成就感逐步养成科学严谨的学习态度提高代数推理的能力教学重点探索并掌握等差数列前项和公式学运用公式教学难点等差公式的推导思路并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用教师为主导学生为主体充分调动学生积极参与教学过程的每个环节构建学生主动的
16、学习活动过程教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图师讲叙热点新闻钓鱼岛事件据学习必备 欢迎下载 等差数列的前 n 项和教 案 说 明 这节课是人教版数学必修五第二章第三节第一课时内容。学生在上一课时已学习过等差数列的通项公式及基本变形。本节内容主要是推出等差数列的前n 项和公式，能恰当选取求和公式计算等差数列的前n 项和。本着“尊重个体，注重个体发展”教育理念，我的教学设计注重以下几方面：注重教学素材的选取。由于课本上的例题太普遍化，学生会食之无味，提不起学习的兴趣。为了有效抓住学生的兴奋点，我选取了热点事件、具有争议性的社会热点话题，作为教学素材，激起学生的学习兴趣，课堂气氛活跃。注重学生
17、思维的训练。本节课采用由特殊到一般、由简单到复杂、由熟悉的知道到陌生的知识的过程式开展教学。我关注学生的基础，关注学生情感态度，有效调动学生学习积极性，主动参与学习活动。给学生展示丰富的、似熟而生的数学素材，让学生面对素材的冲击，主动、积极去思考，提升学生的思维。我按着这思路在课堂开展教学活动，学生反应很好，也给我很大的动力，力求为学生的学习设计好每一节课。节等差数列的前项和课标要求通过本节内容的学习是学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列模型的过程探索并掌握其中的一些基本数量关系并利用它们解决一些实际问题学生分析学生已学习过等差数列熟练掌握等差数列经历公式的推导过程体验从特殊到一般的研究方法了解倒序相加求和法的原理情感态度与价值观获得发现的成就感逐步养成科学严谨的学习态度提高代数推理的能力教学重点探索并掌握等差数列前项和公式学运用公式教学难点等差公式的推导思路并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用教师为主导学生为主体充分调动学生积极参与教学过程的每个环节构建学生主动的学习活动过程教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图师讲叙热点新闻钓鱼岛事件据