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1、精心整理 数列 基础知识梳理 一、数列 1、数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集1,2,3,4，n的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为123,na aaa通常简记为na，其中na是数列的第n 项，也叫通项。注意：1）na与na是不同的概念，na表示数列123,na aaa而na表示的是这个数列的第n 项 2）数列与集合的区别 集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。2、数列的通项公式 当一个数列na的第 n 项na与项数 n
2、 之间的函数关系可以用一个公式 naf n来表示，就把这个公式叫数列na的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列na中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。3、数列的表示方法 数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种：1）解析法:通项公式和递推公式两种；2）列表法 3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类(1)有穷数列和无穷数列(2)单调数列，搬动数列，常数列 5、等差数列 1）定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数
3、列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 定义的表示为：*n-1(nN,n2)naad或者*1n(nN)naad 公差d可正可负或为零，为零时，数列为常数列。2）等差数列的通项公式 对于第二个公式要求,nmaa是数列中的项即可，也可表示为 3）等差数列的增减性 精心整理 4）等差中项 任意两个数,a b有且仅有一个等差中项，即2abA。5）等差数列前n项和公式（倒序相加法）第 二 个 公 式 112nn nSnad可 整 理 成21nn22nddSa，设1,B22ddAa 则2nnnSAB，nS可看成是关于n的二次函数（常数项为 0）那么可以得出一下结论：6、等比数列 1)定义：一
4、般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母(0)q q 表示 定义的表示为：*n-1(nN,n2)naqa或者*1n(nN)naqa 公比0q；当1q 时，数列为常数列。2）等比数列的通项公式 3）等比数列的增减性 4）等比中项 如果在ab与中间插入一个数G使,a G b成等比数列，那么G叫做ab与的等比中项。如果G是ab与的等比中项，那么2,G=,G=GbababaG即因此；只有同号的两个数才有等比中项。一个等比数列从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。5）等比
5、数列前n项和公式 等比数列前n项和公式的特点：当0,1qq且时可以化为 1=1aAq记，那么-=0nnnnSA AqSABqAB 或者（）.二、等差数列、等比数列的性质 1.等差数列的性质(1)若公差0d，此数列为递增数列；若公差0d，此数列为递减数列；若0d，此数列为常数列。(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2 倍。(3)若*mnk,pm n p kNmnpkaaaa 且则，特别地若mn2,2pmnpaaa 则 此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相同。(4)等差数列每隔相同项抽出
6、来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列，但剩下的项不一定是等差数列 义域为正整数或它的有限子集的函数即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值其图像是无限个或有限个孤立的点数列的一般形式为项也叫通项注意通常简记为其中是数列的第与是不同的概念表示数列而表示的是这个数列的式当一个数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示就把这个公式叫数列的通项公式可根据数列的通项公式算出数列的各项也可判断给定的数是否为数列中的项或可确定是第几项但不是所有数列可以写出通项公式数列解析法通项公式和递推公式两种列表法图像法数列的图像是一系列孤立的点数列的分类有穷数列和无穷数列单调数列搬动数列常数列
7、等差数列定义一般地如果一个数列从第项起每一项与它前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做精心整理(5)等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即232,nnnnnSSSSS是等差数列。(6)若数列na和数列nb是等差数列，则mknnab也是等差数列，其中,m k为常数。(7)项数为偶数2n的等差数列na，有 项数为奇数21n的等差数列na，有 2.等比数列的性质(1)单调性(2)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方。(3)若*mnk,pm n p kNmnpka aa a 且则，特别地若2mn2,pmnpa aa 则(
8、4)等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等比数列，但剩下的项不一定是等比数列.(5)0,nnaa皆为等比数列(6)等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即232,nnnnnSSSSS是等比数列。(7)若数列na和数列nb是等比数列，则mnnnnmaa bb，也是等比数列，其中m为常数。三、等差数列、等比数列的判断方法 1.等差数列的判定方法(1)定义法:1nnnaada 是等差数列；(2)通项公式法:=nnapnqa 是等差数列；(3)中项公式法:122=nnnnaaaa是等差数列；(4)前 n 项和公式法:2=AnnSnBna是等差数列；2.等比数列的判
9、定方法 (1)定义法:1nnnaqaa 是等比数列；(2)通项公式法:nnnacqa是等比数列；(3)中项公式法:212nnnnaa aa是等比数列；(4)前 n 项和公式法:-nnnSA Aqa是等比数列；义域为正整数或它的有限子集的函数即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值其图像是无限个或有限个孤立的点数列的一般形式为项也叫通项注意通常简记为其中是数列的第与是不同的概念表示数列而表示的是这个数列的式当一个数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示就把这个公式叫数列的通项公式可根据数列的通项公式算出数列的各项也可判断给定的数是否为数列中的项或可确定是第几项但不是所有数列可以写出通项公式数列解析法通项公式和递推公式两种列表法图像法数列的图像是一系列孤立的点数列的分类有穷数列和无穷数列单调数列搬动数列常数列等差数列定义一般地如果一个数列从第项起每一项与它前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做