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1、第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试 班级 姓名 一、选择题 1、如图是函数cbxaxxf2)(的图象，那么-（）（A）0,0,0cba（B）0,0,0cba（C）0,0,0cba（D）0,0,0cba 2、某种菌类生长很快，长度每天增长 1 倍，在 20 天中长成 4 米，那么长成41米要-（）（A）411天 （B）5 天（C）16 天（D）12 天 3、函数)1,0(log)(aaxxfa，若1)()(21xfxf，则)()(2221xfxf的值等于-（）（A）2 （B）21 （C）1 （D）2loga 4、平面外一直线和这个平面所成的角为，则 的范围是-（）（A）0 180 （B
2、）0 90 （C）0 90 （D）090 5、P、Q、R、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-（）（A）R Q P S（B）R Q S P（C）S P=Q R（D）S R,P Q,R Q,Q R 6、70log21tga，25sinlog21b，25cos)21(c，则-（）（A）cba（B）acb（C）bca（D）abc 7、)(xf是定义域为 R的奇函数，方程0)(xf的解集为 M，且 M中有有限个元素，则-（）（A）M可能是（B）M中元素的个数是偶数（C）M中元素的个数是奇数（D）M中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。8、（1）（2）
3、（3）（4）+以上都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中有两个完全一样的是-（）（A）（1）与（2）（B）（1）与（3）（C）（2）与（4）（D）（3）与（4）x y O 9、已知是第二象限的角，且2cos2sin，则|2cos|log|22等于-（）（A）)2cos(（B）2cos（C）)2sec(（D）)2sec(10、若函数|22xxy的图象 C与直线)2(xky相交于点（1，1），则 C与该直线交点的个数是-（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题（A组）11、若23logx，则x的值是 。12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。13、直线l与平面所成
4、角为 50，交点为 P，a 是内不过 P点的任意一条直线，那么l与 a所成角的取值范围是 。14、函数)1lg(2xy的单调递增区间为 。15、方程21254log24 xxx的解为 。16、函数)(xf与xxg3)(的图象关于直线xy 对称，则函数)2(2xxf的定义域为 。17、一个长方体的长、宽、高的比为 432，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。18、平面 平面，直线 a，a 与成 45 角，直线 b，b 与成 45 角，则直线 a与 b 所成的角的大小为 。19、若xyx22322，则22yx 的最大值为 。20、二面角 l的大小为 60，lC
5、BA,，且 ABAC,4，B点到的距离为 1，则直线AC与平面所成的角的大小等于 。三、填空题（B组）21、若,4,2,1,2,1 1,2aaa，则a的值是 。22、关于x的方程)1,0(loglogaaaxxa的解为 。23、如果51cossin，那么所在的象限是 。24、函数)2sin(2)(xaxf的值域为 2，1，在区间12,125上是单调递减函数，则常数a与的值分别为 。25、函数123)(2aaxxxf在区间0，1 上的最小值为 0，则a的值为 。长倍在天中长成米那么长成米要天天天天函数于的值等则若平面外一直线和这个平面所成的角为则的范围是分别表示长方体集合直平行六面体集合直四棱柱
6、集合正四棱柱集合它们之间的关系为则是定义域为的奇函数方程的解集为且是正方体的表面展开图还原成正方体后其中有两个完全一样的是与与与与已知是第二象限的角且则等于若函数的图象与直线相交于点则与该直线交点的个数是二填空题组若则的值是若不共面的四条直线两两相交则它们共有个交点直为函数为一个长方体的长宽高的比为它的对角线与一个正方体的体对角线等长则这个长方体与正方体表面积之比为平面平面直线与成角直线与成角则直线与所成的角的大小为若则的最大值为二面角的大小为且距离为则直线与平面所1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试 班级 姓名 一、选择题 1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在
7、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与 BD1垂直的面对角线的条数是-（）（A）0 （B）3 （C）6 （D）9 2、若函数axxf2)(的反函数为5)(1bxxf，则-（）（A）7 ba（B）72 ba（C）3 ba（D）12 ba 3、若02log2logyx，则-（）（A）10 xy（B）10yx（C）1xy（D）1yx 4、如图所示是一个 5 4 4 的长方体，上面有 2 1 4，2 1 5，3 1 4 的穿透的洞，剩下部分的体积为-（）（A）50 （B）54（C）56 （D）58 5、设函数)(xfy 是周期为 2 的偶函数，且在区间0，1 内单调递减，则)5.2(),0(),1(
8、fff 的大小关系是-（）（A）)0()5.2()1(fff（B）)5.2()0()1(fff（C）)1()5.2()0(fff（D）)1()0()5.2(fff 6、P是 ABC所在平面外一点，且 PA 平面 ABC，则在以下结论中正确的是-（）（A）BPC BAC（C）BPC=BAC （D）BPC与 BAC的大小关系不确定 7、在锐角三角形 ABC中，一定有-（）（A）cosAsinB（C）tgAsinB （D）cosA 与 sinB 的大小关系不确定 8、在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1的侧棱 CC1上有一点 P，若截面 PAE1与侧面 AEE1A1互相垂直，则这样的 P点-
9、（）（A）一般有两个，特殊情况下仅有一个。（B）有且仅有一个（C）有两个 （D）有时不存在 9、在区间2，3 上，方程xx2332loglogloglog的实根个数是-（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个 10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为-（）（A）3 （B）6 （C）10 （D）无数个 二、填空题 11、关于x的方程)121(log)121(log2xxa，)1,0(aa的解集为 。12、空间四边形 ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD=3，则 BD与 AC所成的角的正弦值为 。长倍在天
10、中长成米那么长成米要天天天天函数于的值等则若平面外一直线和这个平面所成的角为则的范围是分别表示长方体集合直平行六面体集合直四棱柱集合正四棱柱集合它们之间的关系为则是定义域为的奇函数方程的解集为且是正方体的表面展开图还原成正方体后其中有两个完全一样的是与与与与已知是第二象限的角且则等于若函数的图象与直线相交于点则与该直线交点的个数是二填空题组若则的值是若不共面的四条直线两两相交则它们共有个交点直为函数为一个长方体的长宽高的比为它的对角线与一个正方体的体对角线等长则这个长方体与正方体表面积之比为平面平面直线与成角直线与成角则直线与所成的角的大小为若则的最大值为二面角的大小为且距离为则直线与平面所1
11、3、函数)2(2)20()(2xxxxfx的反函数为 。14、函数1sinsinxxy的值域为 。15、若2log3)(3xxfx，则)30(1f 。16、若)1(log)(axxfa在区间2，3）上是减函数，则实数a的取值范围是 。17、函数)(xfy 对于任意实数yx,都满足22)(2)()(yfxfyxf，且0)1(f，则)1998(f 。18、关于x的方程012kxkx有两个实根，一个比 2 大，另一个比 1 小，则k的取值范围是 。19、在长方体 ABCE-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，P是对角线 AC1上的一个动点，Q是底面 ABCD上的一个动点，则 B1P+PQ
12、的最小值为 。20、三棱锥 P-ABC 中，APB=BPC=CPA=90 ，D为底面 ABC内的一点，APD=45 ，BPD=60 ，则 CPD的余弦值为 。三、解答题 21、已知0,cba且1,cba，abcacb,，试比较cba,的大小，并说明理由。22、ABC是边长为 1 的正三角形，PA 平面 ABC，且 PA=46，A点关于平面 PBC的对称点为 A，求直线 AC与 AB所成角的余弦值。长倍在天中长成米那么长成米要天天天天函数于的值等则若平面外一直线和这个平面所成的角为则的范围是分别表示长方体集合直平行六面体集合直四棱柱集合正四棱柱集合它们之间的关系为则是定义域为的奇函数方程的解集为
13、且是正方体的表面展开图还原成正方体后其中有两个完全一样的是与与与与已知是第二象限的角且则等于若函数的图象与直线相交于点则与该直线交点的个数是二填空题组若则的值是若不共面的四条直线两两相交则它们共有个交点直为函数为一个长方体的长宽高的比为它的对角线与一个正方体的体对角线等长则这个长方体与正方体表面积之比为平面平面直线与成角直线与成角则直线与所成的角的大小为若则的最大值为二面角的大小为且距离为则直线与平面所答案：第一试：ACADACCDDD 3，1，50 ，90 ，2，),2()0,(，26：29，60，94，30，2 或 0，a或a1，二、四，长倍在天中长成米那么长成米要天天天天函数于的值等则若平面外一直线和这个平面所成的角为则的范围是分别表示长方体集合直平行六面体集合直四棱柱集合正四棱柱集合它们之间的关系为则是定义域为的奇函数方程的解集为且是正方体的表面展开图还原成正方体后其中有两个完全一样的是与与与与已知是第二象限的角且则等于若函数的图象与直线相交于点则与该直线交点的个数是二填空题组若则的值是若不共面的四条直线两两相交则它们共有个交点直为函数为一个长方体的长宽高的比为它的对角线与一个正方体的体对角线等长则这个长方体与正方体表面积之比为平面平面直线与成角直线与成角则直线与所成的角的大小为若则的最大值为二面角的大小为且距离为则直线与平面所