2015湖北考研数学三真题及答案.docx

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1、2015湖北考研数学三真题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是 ( )(A) 若,则 (B) 若, 则(C)若,则(D) 若,则【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列对任意的子列均有,所以A、B、C正确; D错(D选项缺少的敛散性),故选D(2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是不存在的点或的点处

2、产生.所以有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选C.(3) 设 ,函数在上连续,则 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以,故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(C)【解析】A为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛;B为正项级数,因为,根据级数收敛准则,知收敛;C,根据莱布尼茨判别法知收敛, 发散,所以根据级数收敛定义知,发散;D为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛,所

3、以选C.(5)设矩阵,.若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(D)【解析】,由,故或,同时或.故选(D)(6)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(A)【解析】由,故.且.又因为故有所以.选(A)(7) 若为任意两个随机事件,则: ( )(A) (B)(C)(D) 【答案】(C)【解析】由于,按概率的基本性质,我们有且,从而,选(C) .(8) 设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则 ( )(A) (B)(C) (D)【答案】(B)【解析】根据样本方差的性质

4、,而,从而,选(B) .二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【解析】原极限(10)设函数连续,若则【答案】【解析】因为连续,所以可导,所以;因为,所以又因为,所以故(11)若函数由方程确定,则【答案】【解析】当,时带入,得.对求微分,得把,代入上式,得所以(12)设函数是微分方程的解,且在处取得极值3,则【答案】【解析】的特征方程为,特征根为,所以该齐次微分方程的通解为,因为可导,所以为驻点,即,所以,故(13)设3阶矩阵的特征值为,其中E为3阶单位矩阵,则行列式【答案】 【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)设二维随机变量服

5、从正态分布,则【答案】 【解析】由题设知,而且相互独立,从而.三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数.若与在时是等价无穷小,求的值.【答案】 【解析】法一:因为,则有,可得:,所以,法二:由已知可得得由分母,得分子,求得c;于是由分母,得分子,求得;进一步,b值代入原式,求得 (16)(本题满分10 分)计算二重积分,其中【答案】 【解析】(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设为该商品的需求量,为价格,MC为边际成本,为需求弹性.证明定价模型为;若该

6、商品的成本函数为,需求函数为,试由(I)中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导,得.当且仅当时,利润最大,又由于,所以,故当时,利润最大.(II)由于,则代入(I)中的定价模型,得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求表达式.【答案】【解析】曲线的切线方程为,切线与轴的交点为故面积为:.故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得,又由于,带入可得,从而(19)(本题满分 10分)(I)设函数可导,利用导数定义证明(II)设函数可导,写

7、出的求导公式.【答案】【解析】(I)(II)由题意得(20) (本题满分 11分) 设矩阵,且.求的值;(II)若矩阵满足,其中为3阶单位矩阵,求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知,(21) (本题满分11 分)设矩阵相似于矩阵.求的值;(II)求可逆矩阵,使为对角矩阵.【答案】【解析】(1) 的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令,(22) (本题满分11 分)设随机变量的概率密度为,对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记为观测次数(I)求的概率分布;(II)求. 【答案】(I), ;(II).【解析】(I) 记为观测值大于3的概率,则,从而,为的概率分布;(II) 法一:分解法:将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生,表示从次到第试验观测值大于首次发生.则,(注:Ge表示几何分布)所以.法二:直接计算记,则,所以,从而. (23) (本题满分11 分)设总体的概率密度为其中为未知参数,为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量;(II)求的最大似然估计量.【答案】(I) ; (II).【解析】(I),令,即,解得为的矩估计量 ;(II)似然函数,当时,则.从而,关于单调增加,所以为的最大似然估计量.

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