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1、第二章 牛顿定律 2-1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为()(A)gsin (B)gcos (C)gtan (D)gcot 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot,故选(D)求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征 2-2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止 当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大
2、小()(A)不为零,但保持不变(B)随FN成正比地增大(C)开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变(D)无法确定 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值FN范围内取值 当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态 由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)2-3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率()(A)不得小于gR (B)必须等于gR(C)不得大于gR (D)还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题
3、意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为FN由此可算得汽车转弯的最大速率应为vRg 因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑 应选(C)2-4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则()(A)它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C)它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D)它受到的合外力大小不变,其速率不断增加 分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,
4、其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关重力的切向分量(m gcos)使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又 称 法 向 力)将 不 断 增 大,由 轨 道 法 向 方 向 上 的 动 力 学 方 程RmmgFN2sinv可判断,随 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选(B)2-5 图(a)示系统置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降机内,A、B 两物体质量相同均为m,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为()(A)58 mg (B)12 mg
5、(C)mg (D)2mg 分析与解 本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向
6、打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内参考系进行求解 此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a为A、B 两物体相对电梯的加速度,m a为惯性力对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F 5/8 mg故选(A)讨论 对于习题2-5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB的大小与方向均不相同其中aA 应斜向上对
7、aA、aB、a 和a之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁 有兴趣的读者不妨自己尝试一下 2-6 图示一斜面,倾角为,底边AB 长为l 2.1 m,质量为m 的物体从题2-6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为试问,当为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短 其数值为多少 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力
8、可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内 分析 动力学问题一般分为两类：(1)已知物体受力求其运动情况；(2)已知物体的运动情况来分析其所受的力 当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系f(t),然后运用对t 求极值的方法即可
9、得出数值来 解 取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有mamgmgcossin (1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有 22cossin2121costgatl 则 gltcossincos2 (2)为使下滑的时间最短,可令0ddt,由式(2)有 0sincoscoscossinsin 则可得 12tan,o49 此时 s99.0cossincos2glt 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当
10、逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内2-7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空甲块质量为m1 102 kg,乙块质量为m2 102 kg设吊车、框架和钢丝绳的质量不计试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力
11、：(1)两物块以10.0 m-2 的加速度上升；(2)两物块以1.0 m-2 的加速度上升从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗 分析 预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程 根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力 解 按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示)当框架以加速度a 上升时,有 F-(m1 m2)g(m1 m2)a (1)FN2-m2 g
12、m2 a (2)解上述方程,得 F(m1 m2)(g a)(3)FN2 m2(g a)(4)(1)当整个装置以加速度a 10 m-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为 F 103 N 乙对甲的作用力为 FN2-FN2-m2(g a)103 N (2)当整个装置以加速度a 1 m-2 上升时,得绳张力的值为 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析
13、与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内F 103 N 此时,乙对甲的作用力则为 FN2 103 N 由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大 因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全 2-8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m 3.0
14、kg 物体A 以加速度a 1.0 m-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力(滑轮与连接绳的质量不计)分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立同时也要注意到张力方向是不同的 解 分别对物体和滑轮作受力分析 图(b)由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有 mA g-F mA a (1)F1-F mB a (2)F-2F1 0 (3)考虑到mA mB m,F F,F1 F1,a2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力 NammmgF2724f.体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与
15、解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内 讨论 动力学问题的一般解题步骤
16、可分为：(1)分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2)根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3)解方程组,得出文字结果；(4)核对量纲,再代入数据,计算出结果来 2-9 质量为m的长平板A 以速度v在光滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块B 轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度 分析 当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态 根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度 换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v(与平板运动
17、速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得 该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解 将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取
18、决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内它们的共同速度可根据动量定理求得又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量木块相对平板移动的距离即可求出 解1 以地面为参考系,在摩擦力F mg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程 F mg ma1 F-F ma2 a1 和a2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a a1 a2,木块相对
19、平板以初速度-v作匀减速运动直至最终停止由运动学规律有-v2 2as 由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为 mmgms22v 解2 以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为 W F(s l)-Fl mgs 式中l 为平板相对地面移动的距离 由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定律,有 mv(mm)v 由系统的动能定理,有 222121vvmmmmgs 由上述各式可得 mmgms22v 2-10 如图(a)所示,在一只半径为R 的半球形碗内,有一粒质量为m 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其
20、方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内的小钢球,当小球以角速度在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高 分析 维持钢球在水
21、平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN 的分力来提供的,由于支持力FN 始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随而变的取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度 解 取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示 在图示坐标中列动力学方程 mRmaFnNsinsin2 (1)mgFNcos (2)且有 RhRcos (3)由上述各式可解得钢球距碗底的高度为 2gRh 可见,h 随的变化而变化 2-11 火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内(内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说
22、外轨会受到车轮体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题
23、意知汽车应在水平面内对它很大的向外侧压力,这是很危险的 因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高 现有一质量为m 的火车,以速率v 沿半径为R 的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为,试求：(1)在此条件下,火车速率v0 为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零(2)如果火车的速率vv0,则车轮对铁轨的侧压力为多少 分析 如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平分量FNsin 提供(式中 角为路面倾角)从而不会对内外轨产生挤压与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v0行驶当火车行驶速率vv0 时,则会产生两种情况：如图所示,如v
24、v0 时,外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F1,以补偿原向心力的不足,如vv0时,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F2,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压由此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速,从而确保行车安全 解(1)以火车为研究对象,建立如图所示坐标系 据分析,由牛顿定律有 RmFN2sinv (1)0cos mgFN (2)解(1)(2)两式可得火车转弯时规定速率为 gRtan0v(2)当vv0 时,根据分析有 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平
25、行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内RmFFN21cossinv (3)0sincos1mgFFN (4)解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为 gRFsincosm21v
26、 当vv0 时,根据分析有 RFFN22mcossinv (5)0sincos2mgFFN (6)解(5)(6)两式,可得内轨侧压力为 RgmFcossin22v 2-12 一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁设演员和摩托车的总质量为m,圆筒半径为R,演员骑摩托车在直壁上以速率v 作匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升距离为h,如图所示求壁对演员和摩托车的作用力 分析 杂技演员(连同摩托车)的运动可以看成一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加 其旋转一周所形成的旋线轨迹展开后,相当于如图(b)所示的斜面把演员的运动速度分解为图示的v1 和v2 两个分量,显然v1是竖直向上作匀
27、速直线运动的分速度,而v2则是绕圆筒壁作水平圆周运动的分速度,其中向心力由筒壁对演员的支持力FN 的水平体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不
28、至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内分量FN2 提供,而竖直分量FN1 则与重力相平衡如图(c)所示,其中角为摩托车与筒壁所夹角运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向 解 设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有 01 mgFN (1)RmFN22v (2)22222coshRRvvv (3)2221NNNFFF (4)以式(3)代入式(2),得 2222222222224444hRRmhRRRmFNvv (5)将式(1)和式(5)代入式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承力)大小为 22
29、22222222144hRRgmFFFNNNv 与壁的夹角为 ghRRFFNN222221244arctanarctanv 讨论 表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律 2-13 一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t 0 时,v05m-1,x02 m,质点质量m 1kg,试求该质点7末的速度和位置坐标 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体
30、所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内 分析 首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应 解 由题图得 7st5s ,5355st0 ,2tttF 由
31、牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为 5st0 ,2 ta 7st5s ,535ta 对0 t 5 时间段,由taddv得 tta0dd0vvv 积分后得 25tv 再由txddv得 ttx0dd0vxx 积分后得33152ttx 将t 5 代入,得v530 m-1 和x5 68.7 m 对5t 7 时间段,用同样方法有 ttas52dd0vvv 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但
32、保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内得 ttt5.825.2352v 再由 txxtxs55ddv 得 x 将t 7代入分别得v740 m-1 和 x7 142 m 2-14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F 120t 40,式中F 的单位为
33、N,t 的单位的在t 0 时,质点位于x 5.0 m 处,其速度v06.0 m-1 求质点在任意时刻的速度和位置 分析 这是在变力作用下的动力学问题由于力是时间的函数,而加速度adv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义vdx/dt,用积分的方法可求出质点的位置 解 因加速度adv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有 tmtdd40120v 依据质点运动的初始条件,即t0 0 时v0 6.0 m-1,运用分离变量法对上式积分,得 ttt0d0.40.12d0vvv v+又因vdx/dt,并由质点运动的初始条件：t0 0 时x
34、0 5.0 m,对上式分离变量后积分,有 txxtttx020d0.60.40.6d x+2-15 轻型飞机连同驾驶员总质量为 103 kg 飞机以55.0 m-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数 102 N-1,空气对飞机升力不计,求：(1)10后飞机的速率；(2)飞机着陆后10内滑行的距离 分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动 其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数 在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解 解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,体刚脱离斜面时它的加速度的大
35、小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内有ttmmaFddv
36、ttmt0dd0vvv 得 202tmvv 因此,飞机着陆10后的速率为 v 30 m-1 又 txxttmx0200d2dv 故飞机着陆后10内所滑行的距离 m4676300tmtxxsv 2-16 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中高台距水面距离为h把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2,其中b 为一常量若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1)运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2)如b/m 0.40m-1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1/10(假定跳水运动员在水中
37、的浮力与所受的重力大小恰好相等)分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F 和水的阻力F的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值
38、成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了 通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程这也成了解题过程中的难点在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定 解(1)运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为 gh20v 运动员入水后,由牛顿定律得 P-F-F ma 由
39、题意P F、Fbv2,而a dv/dt v(d v/dy),代 入上式后得-bv2 mv(d v/dy)考虑到初始条件y0 0 时,gh20v,对上式积分,有 vvvv0dd0tybm mbymbyeghe/02vv(2)将已知条件b/m 0.4 m-1,v 代入上式,则得 m76.5ln0vvbmy *2-17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成 每一叶片的质量m136 kg,长l3.66 m 求当它的转速n320 r/min 时,两个叶片根部的张力(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍
40、可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内 分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的
41、,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解 解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为F(r)与F(rdr)叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有 rrlmrrFrFFTTTddd2 由于r l 时外侧F 0,所以有 rrlmFlrtrFTTdd2 22222222rllmnrllmrFT 上式中取r 0,即得叶片根部的张力 F0 105 N 负号表示张力方向与坐标方向相反 2-18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道A
42、DCB下滑试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须
43、等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内 分析 该题可由牛顿第二定律求解在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a,与其相对应的外力F是重力的切向分量mgsin,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcos由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fmdv/dt和Fnman 由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力 解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对
44、它的支持力FN 取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得 tmmgFtddsinv (1)RmmmgFFNn2cosv (2)由trtsddddv,得vrtdd,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成
45、正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内rgo090dsindvvvv 得 rgcos2v 则小球在点C 的角速度为 rgr/cos2v 由式(2)得 mgmgrmmFNcos3cos2v 由此可得小球对圆轨道的作用力为 mgFFNNcos3 负号表示FN 与en 反向 2-19 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为,开始时物体的速率为v0,求：(1)
46、t 时刻物体的速率；(2)当物体速率从v0减少到12 v0时,物体所经历的时间及经过的路程 分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力F,而摩擦力大小与正压力FN成正比,且FN与FN又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程 解(1)设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有 RmmaFnN2v 体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物
47、体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内tmaFtddfv 由分析中可知,摩擦力的大小FFN,由上述各式可得 tRdd2
48、vv 取初始条件t 0 时v v 0,并对上式进行积分,有 vvvv020ddRtt t RR00vvv(2)当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为 0vRt 物体在这段时间内所经过的路程 tttt RRts0000ddvvv 2lnRs 2-20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr kv,且k N/(m-1)(1)求物体发射到最大高度所需的时间(2)最大高度为多少 分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量
49、的数学方法即可 但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零 解(1)物体在空中受重力mg和空气阻力Fr kv 作用而减速 由牛顿定律得 tmkmgddvv (1)体刚脱离斜面时它的加速度的大小为分析与解当物体离开斜面瞬间斜面对物体的支持力消失为零物体在绳子拉力其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度如图所示由其可解得合外力为故选求解的大小的保持静止当逐渐增大时物体所受的静摩擦力不为零但保持不变随成正比地增大开始随无法确分析与解与滑动摩擦力不同的是静摩擦力可在零与最大值内取值当增加时静摩擦力可取的最大值成
50、正比增加但具体大小则取决于被作用物体向相反并保持不变故选一段路面水平的公路转弯处轨道半径为汽车轮胎与路面间的摩擦因数为要使汽车不至于发生侧向打滑汽车在该处的行驶速率不得小于必须等于不得大于还应由汽车的质量决分析与解由题意知汽车应在水平面内根据始末条件对上式积分,有 vvvvv0dd0kmgmtt s11.61ln0mgkkmtv(2)利用yvtddddvv的关系代入式(1),可得 ymkmgddvvv 分离变量后积分 000ddvvvvkmgmyy 故 m1831ln00vvmgkkmgkmy 讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动由公式gt0v和gy220v分别算得t和y184 m,