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1、一元二次方程解法 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 解法一 直接开方法 适用范围：可解部分一元二次方程 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为 x=mn 我们已经讲了 x2=9，根据平方根的
2、意义，直接开平方得 x=3，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。例 1：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2 直接开平方，得：x+3=2 即 x+3=2，x+3=-2 所以，方程的两根 x1=-3+2，x2=-3-2 例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房
3、面积就应该是 10+10 x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%：归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为“降次转化思想”由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0
4、），那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么 mx+n=p，达到降次转化之目的若p0 则方程无解 解法二配方法 适用范围：可解全部一元二次方程 引例：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2,场地的长和宽各是多少？列出方程化简后得：x2+6x-16=0 x2+6x-16=0移项x2+6x=16 两边加（6/2）2使左边配成 x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程x1=2，x2=-8 可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽
5、不能使负值，所以场地的宽为 2m，常为 8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根 例 1用配方法解下列关于 x 的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完
6、全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上 解：略 分析：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtABC 面积的一半，PCQ 也是直角三角形 根据已知列出等式 解：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半 例 2解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方 一个关于的一元二次方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项
7、解法一直接开方法适用范围可解部分一元二次根据平方根的意义直接开平方得如果换元为即我们也可以用直接开方法来解方程例解方程分析很清楚是一个完全平方公式那么原方程就转化为解由已知得直接开平方得即所以方程的两根例市政府计划年内将人均住房面积由现在的提面积就应该是解设每年人均住房面积增长率为直接开平方得即所以方程的两根是因为每年人均住房面积的增长率应为正的因此应舍去所以每年人均住房面积增长率应为归纳小结共同特点把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次解：略 例 3用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y
8、，那么（6x+7）2=y2，其它的 3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为 y 的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法 解：略 解法三公式法 适用范围：可解全部一元二次方程 首先，要通过=b2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当=b2-4ac0 时 x 有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于 2、3 两种情况方程有根则可根据公式：x=-b（b2 4ac）/2a 来求得方程的根 公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例 1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-
9、3x (3)x2-2x+12=0 （4）4x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 补:（5）（x-2）（3x-5）=0 例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足:211(1)(2)0mmm 或21020mm 或1020
10、mm 解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=20 当 m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 一个关于的一元二次方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项解法一直接开方法适用范围可解部分一元二次根据平方根的意义直接开平方得如果换元为即我们也可以用直接开方法来解方程例解方程分析很清楚是一个完全平方公式那么原方程就转化为解由已知得直接开平方得即所以方程的两根例市政
11、府计划年内将人均住房面积由现在的提面积就应该是解设每年人均住房面积增长率为直接开平方得即所以方程的两根是因为每年人均住房面积的增长率应为正的因此应舍去所以每年人均住房面积增长率应为归纳小结共同特点把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次 b2-4ac=（-1）2-4 2（-1）=1+8=9 x=(1)913224 x1=，x2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-12 （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1 0 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0，m 不存在 当 m+1=0，即
12、m=-1时，m-2=-3 0 所以 m=-1也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1 当 m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-13 因此，当 m=0 或-1时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=-13 解法四分解因式法 适用范围：可解部分一元二次方程 因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程 （1）2x2+x=0 （2）3x2+
13、6x=0 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是：（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=-12 （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 一个关于的一元二次方程经过整理
14、都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项解法一直接开方法适用范围可解部分一元二次根据平方根的意义直接开平方得如果换元为即我们也可以用直接开方法来解方程例解方程分析很清楚是一个完全平方公式那么原方程就转化为解由已知得直接开平方得即所以方程的两根例市政府计划年内将人均住房面积由现在的提面积就应该是解设每年人均住房面积增长率为直接开平方得即所以方程的两根是因为每年人均住房面积的增长率应为正的因此应舍去所以每年人均住房面积增长率应为归纳小结共同特点把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次 例 1解方程 （1）4
15、x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式 x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式 x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为 0 的形式 解：（1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0 或 4x-11=0 x1=0，x2=114 （2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得 x-2=0或 x-4=0 x1=2，x2=4 例 2已知 9a2-4
16、b2=0，求代数式22ababbaab 的值 分析：要求22ababbaab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a与 b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误 解：原式=22222ababbaba 9a2-4b2=0 （3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0，a=-23b 或 a=23b 当 a=-23b 时，原式=-223bb=3 当 a=23b 时，原式=-3 小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。一个关于的一元二次方程经过整
17、理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项解法一直接开方法适用范围可解部分一元二次根据平方根的意义直接开平方得如果换元为即我们也可以用直接开方法来解方程例解方程分析很清楚是一个完全平方公式那么原方程就转化为解由已知得直接开平方得即所以方程的两根例市政府计划年内将人均住房面积由现在的提面积就应该是解设每年人均住房面积增长率为直接开平方得即所以方程的两根是因为每年人均住房面积的增长率应为正的因此应舍去所以每年人均住房面积增长率应为归纳小结共同特点把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次 直接开平方法是最基本
18、的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法
19、推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程 区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0 如何选择最简单的解法 1看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）2看是否可以直接开方解 3使用公式法求解 4最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。一个关于的一元二次方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项解法一直接开方法适用范围可解部分一元二次根据平方根的意义直接开平方得如果换元为即我们也可以用直接开方法来解方程例解方程分析很清楚是一个完全平方公式那么原方程就转化为解由已知得直接开平方得即所以方程的两根例市政府计划年内将人均住房面积由现在的提面积就应该是解设每年人均住房面积增长率为直接开平方得即所以方程的两根是因为每年人均住房面积的增长率应为正的因此应舍去所以每年人均住房面积增长率应为归纳小结共同特点把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次