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1、高考真题精选 2006高考题 一、选择题 1.(2006 全国高考卷,理 8 文 11)抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是（）A.34 B.57 C.58 D.3 答案:A 解析:设(x0,y0)为抛物线 y=-x2上任意一点,y0=-20 x.d=5|834|00 yx=5|320)32(3|20 x.dmin=5320=34.2.(2006 福建高考,理 10)已知双曲线22ax-22by=1(a0,b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2 B.(1,2)C.2,+
2、)D.(2,+)答案:C 解析:过 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线只有一个公共点,ab3,即22ab3.222aac 3,即 e2-13.e2 或 e-2(舍).3.(2006 湖南高考,理 7 文 9)过双曲线 M：x2-22by=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C，且AB=|BC|,则双曲线 M 的离心率是()A.10 B.5 C.310 D.25 答案:A 解析:据题意,如图.设 lAB：y=x+1,lOC:y=bx,lOB：y=-bx.由bxy1,xy解得 C 点纵坐标为1bb,B 点纵坐标为bb1.|AB|=|BC
3、|,1bb=12bb.b=3.e=ac=10.4.(2006 四川高考,理 9 文 10)直线 y=x-3与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为()A.48 B.56 C.64 D.72 答案:A 解析:如图所示,4x,y3,-xy2 (x-3)2=4x,解得-2y1,x或6.y9,x A(9,6),B(1,-2).|AP|=9-(-1)=10,|BQ|=1-(-1)=2,|PQ|=6-(-2)=8.SABQP=21(10+2)8=48.5.(2006 陕西高考,11)已知平面 外不共线的三点 A，B，C
4、到 的距离都相等，则正确的结论是（）A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与 相交 C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在ABC 的一条中位线平行于 或在 内 答案:D 解析:A、B、C 点若在平面 两侧,则面 ABC 与 相交,则 A 错如图(1).A、B、C 点在平面 同侧且面 ABC 与 平行,则 B 错 如图(2).面 ABC 可以垂直于面,则 C 错.如图(3).A、B、C 点在平面 同侧且面 ABC 平行于,则ABC 的一条中位线平行于;若 A、B、C 在面 内,则ABC 的中位线在 内如图(4).6.(2006 陕西高考,12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明
5、方密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如，明文 1，2，3，4 对应密文 5，7，18，16，当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为（）A.4，6，1，7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1，6，4，7 答案:C 点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线
6、的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例解析:284d233d2c9c2b142ba7.d1,c4,b6,a 二、填空题 7.(2006 福建高考,14)已知直线 x-y-1=0与抛物线 y=ax2相切,则 a=_.答案:41 解析:x-y-1=0与抛物线 y=ax2相切,2axy01-y-
7、xax2-x+1=0.=1-4a=0,a=41.8.(2006 山东高考,理 14 文 15)已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则2221yy 的最小值是_.答案:32 解析:假设过点 P(4,0)的直线斜率存在,设为 k.则直线方程为 y=k(x-4),代入 y2=4x 中得 k2(x2-8x+16)=4x.化简整理得 k2x2-(8k2+4)x+16k2=0.x1+x2=2248kk.又2221yy=4(x1+x2)=42248kk =4(8+24k),2221yy 的最小值为 32(k).三、解答题 9.(2006 全
8、国高考卷,理 21 文 22)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且AF=FB(0).过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M.(1)证明FMAB为定值;(2)设ABM 的面积为 S,写出 S=f()的表达式,并求 S 的最小值.答案：(1)证明:由已知条件,得 F(0,1),0.设 A(x1,y1)、B(x2,y2).由AF=FB,即得(-x1,1-y1)=(x2,y2-1),(2)1).-(yy-1(1),xx-2121 将式两边平方并把 y1=4121x,y2=4122x代入得 y1=2y2,解、式得 y1=,y2=1,且有 x1x2=-22x=-
9、4y2=-4.抛物线方程为 y=41x2.求导得 y=21x.所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位
10、线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例y=21x1(x-x1)+y1,y=21x2(x-x2)+y2,即 y=21x1x-4121x,y=21x2x-4122x.解出两条切线的交点 M 的坐标为(221xx,421xx)=(221xx,-1).所以FMAB=(221xx,-2)(x2-x1,y2-y1)=21(22x-21x)-2(4122x-4121x)=0.所以FMAB为定值,其值为 0.(2)解:由(1)知在ABM 中,FMAB,因而 S=21|AB|FM|.|FM|=2221)2()2(xx=214)4(214
11、21414121212221yyxxxx=+1.因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1的距离,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+1+2=(+1)2.于是 S=21|AB|FM|=21(+1)3,由+12,知 S4,且当=1 时,S 取得最小值 4.10.(2006 北京高考,理 19)已知点 M(-2,0)、N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=22.记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程;(2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OAOB的最小值.答案：(理)解法一:(1)由|PM|-|PN|=22知动点 P 的
12、轨迹是以 M、N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a=2.又半焦距 c=2,故虚半轴长 b=222 ac.所以 W 的方程为22x-22y=1,x2.(2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当 ABx 轴时,x1=x2,y1=-y2.从而OAOB=x1x2+y1y2=21x-y12=2.当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,与 W 的方程联立,消去 y 得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.故 x1+x2=212kkm,x1x2=1222km.点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线
13、离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x
14、1x2+km(x1+x2)+m2=1)2)(1(222kmk+22212kmk+m2=12222kk=2+142k.又因为 x1x20,所以 k2-1 0,从而OAOB2.综上,当 ABx 轴时,OAOB取得最小值 2.解法二:(1)同解法一.(2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则2ix-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令 si=xi+yi,ti=xi-yi,则 siti=2,且 si0,ti0(i=1,2),所以OAOB=x1x2+y1y2=41(s1+t1)(s2+t2)+41(s1-t1)(s2-t2)=21s1s2+21t1t2 212
15、1ttss=2.当且仅当 s1s2=t1t2,即2121-yy,xx时“=”成立.所以OAOB的最小值是 2.11.(2006 北京高考,文 19)椭圆 C:22ax+22by=1(ab0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1F1F2,|PF1|=34,|PF2|=314.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.解法一:(1)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.在 RtPF1F2中,|F1F2|=52|
16、2122 PFPF,故椭圆的半焦距 c=5,从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为92x+42y=1.(2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1),从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为 A、B 关于点 M 对称,所以221xx=-2294918kkk=-2,解得 k=98.所以直线 l 的方程为 y=98(x+2)+1,即 8x-9y+25=0.点福建高考理已知双曲线的右焦点
17、为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例(经检验,所求直线方程符
18、合题意)解法二:(1)同解法一.(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1).设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).由题意 x1x2且921x+421y=1,922x+422y=1.由-得9)(2121xxxx+4)(2121yyyy=0.因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+x2=-4,y1+y2=2.代入得2121xxyy=98,即直线 l 的斜率为98,所以直线 l 的方程为 y-1=98(x+2),即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意)12.(2006 天津高考,理 22)如图，以椭圆22ax+22b
19、y=1(ab0)的中心 O 为圆心，分别以 a 和 b 为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点 F(c,0)(cb)作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点 A.连结 OA 交小圆于点 B.设直线 BF 是小圆的切线.(1)证明 c2=ab,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐标；(2)设直线 BF 交椭圆于 P、Q 两点，证明OPOQ=21b2.解析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.证明：(1)由题设条件知，RtOFARtOBF，故OFOBOAOF，即ac=cb.因此 c2=ab.在 Rt
20、OFA 中，FA=2222caOFOA=b.于是，直线 OA 的斜率 kOA=cb.设直线 BF 的斜率为 k，则 k=-OAk1=-bc.这时，直线 BF 的方程为 y=-bc(x-c).令 x=0，则 y=bc2=bab=a.所以直线 BF 与 y 轴的交点为 M(0,a).(2)由(1)，得直线 BF 的方程为 y=kx+a,且 k2=22bc=2bab=ba.点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与
21、抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例由已知，设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则它们的坐标满足方程组.,12222akxybyax 由方程组消去 y，并整理得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0.由式和，x1x2=33322222222
22、224)(baabaabbaakabbaa.由方程组消去 x，并整理得(b2+a2k2)y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0.由式和，y1y2=33222222222222)()1()1(baabbabaabbabakabkba.综上，得到OPOQ=x1x2+y1y2=3323baba+33323322)(bababaabba.注意到 a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得 OPOQ=)(2)()(2)(22)(22222323332babaabaacbababbabababa=21(a2-ab)=21(a2-c2)=21b2.13.(2006 辽宁高考,理 20 文 22)已
23、知点 A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x20)是抛物线 y2=2px(p0)上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA、OB满足|OBOA|=|OBOA|.设圆 C 的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)证明线段 AB 是圆 C 的直径;(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0的距离的最小值为552时,求 p 的值.解析:本小题主要考查平面向量的基本运算、圆与抛物线的方程、点到直线的距离等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.(1)证法一:|OBOA|=|OBOA|,(OBOA)2=(OBOA)2,即 OAOA22OAOAOBOB2222OBOB
24、,整理得OAOB=0.x1x2+y1y2=0.设点 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则MAMB=0.即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.展开上式并将代入得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.故线段 AB 是圆 C 的直径.证法二:|OBOA|=|OBOA|,(OBOA)2=(OBOA)2,即OAOA22OAOAOBOB2222OBOB,整理得OAOB=0.x1x2+y1y2=0.若点(x,y)在以线段 AB 为直径的圆上,则 点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围
25、是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例11xxyy22xxyy=-1(xx1,xx2).去分母得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y
26、2)=0.点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2)满足上方程,展开并将代入得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.线段 AB 是圆 C 的直径.证法三:|OBOA|=|OBOA|,(OBOA)2=(OBOA)2,即 OAOA22OAOAOBOB2222OBOB,整理得OAOB=0.x1x2+y1y2=0.以 AB 为直径的圆的方程是(x-221xx)2+(y-221yy)2=41(x1-x2)2+(y1-y2)2.展开,并将代入得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.线段 AB 是圆 C 的直径.(2)解法一:设圆 C 的圆心为 C(x,
27、y),则.2,22121yyyxxx 21y=2px1,22y=2px2(p0).x1x2=222214pyy.又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2.-y1y2=222214pyy.x1x20,y1y20.y1y2=-4p2.x=221xx=p41(2221yy)=p41(2221yy+2y1y2)-pyy221=p1(y2+2p2).圆心的轨迹方程为 y2=px-2p2.设圆心 C 到直线 x-2y=0的距离为 d,则 d=5|2|yx =5|2)2(1|22ypyp=pppy5|)(|22.点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双
28、曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例当 y=p 时,d 有最小值5p,由题设得5p=552.p=2.解法二:设圆 C 的
29、圆心为 C(x,y),则.2,22121yyyxxx.21y=2px1,22y=2px2(p0),x1x2=222214pyy.又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2.x1x20,y1y2=-4p2.x=221xx=p41(2221yy)=p41(2221yy+2y1y2)-pyy221=p1(y2+2p2).圆心的轨迹方程为 y2=px-2p2.设直线 x-2y+m=0 与 x-2y=0的距离为552,则 m=2.x-2y+2=0与 y2=px-2p2无公共点,当 x-2y-2=0与 y2=px-2p2仅有一个公共点时,该点到 x-2y=0的距离最小,最小值为552.(3).2p-p
30、xy(2)0,2-2y-x22 将代入得 y2-2py+2p2-2p=0,有=4p2-4(2p2-2p)=0.p0,p=2.解法三:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则.2,22121yyyxxx 若圆心 C 到直线 x-2y=0的距离为 d,那么 d=5|)(2|2121yyxx.21y=2px1,22y=2px2(p0),x1x2=222214pyy.点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两
31、点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2.x1x20,y1y2=-4p2.d=ppyypyyyyyyyyp54|8)(42|5|)()(41|221212221212221=pppyy544)2(2221.当 y1+y2=2p 时
32、,d 有最小值5p,由题意得5p=552,p=2.14.(2006 福建高考,理 20)已知椭圆22x+y2=1 的左焦点为 F,O 为坐标原点.(1)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程;(2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G横坐标的取值范围.解析:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.解:(1)a2=2,b2=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2.圆过点 O、F,圆心 M 在直线 x=-21上.设 M(-21,t),则圆半径
33、 r=|(-21)-(-2)|=23.由|OM|=r,得22)21(t=23.解之,得 t=2.所求圆的方程为(x+21)2+(y2)2=49.(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k0),代入22x+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.直线 AB 过椭圆的左焦点 F,方程有两个不等实根.记 A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB 中点 N(x0,y0),则 x1+x2=-12422kk,x0=21(x1+x2)=-12222kk,y0=k(x0+1)=122kk,点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲
34、线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y-y0=-k1(x-x0).令 y=0,得 xG
35、=x0+ky0=-12222kk+1222kk=-1222kk=-21+2412k.k0,-21xG0.点 G 横坐标的取值范围为(-21,0).15.(2006 湖北高考,理 20 文 21)设 A、B 分别为椭圆22ax+22by=1(a,b0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x=4 为它的右准线.(1)求椭圆的方程;(2)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点 M、N,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内.解析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的
36、能力.(1)解:依题意得4,2c,a2ca 解得1.c2,a从而 b=3,故椭圆方程为42x+32y=1.(2)解法一:由(1)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x0,y0).M 点在椭圆上,20y=43(4-20 x).又 M 点异于顶点 A、B,-2 x02.由 P、A、M 三点共线可得 P(4,2600 xy).从而BM=(x0-2,y0),BP=(2,2600 xy).BMBP=2x0-4+26020 xy=220 x(20 x-4+3y0).将式代入式化简得BMBP=25(2-x0).2-x00,BMBP0.于是MBP 为锐角,从而MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为直径
37、的圆内.解法二:由(1)得 A(-2,0),B(2,0).设 P(4,)(0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线 AP 的方程为 y=6(x+2),直线 BP 的方程为 y=2(x-2).点 M、N 分别在直线 AP、BP 上,点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则
38、正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例y1=6(x1+2),y2=2(x2-2),从而 y1y2=122(x1+2)(x2-2).联立,134),2(622yxxy消去 y,得(27+2)x2+42x+4(2-27)=0.x1,-2是方程的两根,(-2)x1=27)27(422,即 x1=27)27(222.又BMBN=(x1-2,y1)(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2
39、.于是由式代入式化简可得BMBN=27522(x2-2).N 点在椭圆上,且异于顶点 A、B,x2-2 0.又0,275220,从而BMBN0,故MBN 为钝角,即点 B 在以 MN 为直径的圆内.解法三:由(1)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x1,y1),N(x2,y2),则-2 x12,-2 x22.又 MN 的中点 Q 的坐标为(221xx,221yy),|BQ|2-41|MN|2=(221xx-2)2+(221yy)2-41(x1-x2)2+(y1-y2)2.化简得|BQ|2-41|MN|2=(x1-2)(x2-2)+y1y2.直线 AP 的方程为 y=211xy(x+2)
40、,直线 BP 的方程为 y=222xy(x-2).点 P 在准线 x=4 上,2611xy=2222xy,即 y2=2)2(3112xyx.又M 点在椭圆上,421x+321y=1,即21y=43(4-21x).于是将式代入式化简可得|BQ|2-41|MN|2=45(2-x1)(x2-2)0.从而 B 在以 MN 为直径的圆内.16.(2006 湖南高考,理 21)已知椭圆 C1:42x+32y=1,抛物线 C2:(y-m)2=2px(p0),且 C1、C2的公共弦 AB 过椭点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解
41、析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例圆 C1的右焦点.(1)当 ABx 轴时,求 m、p 的值,并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上;(2)
42、是否存在 m、p 的值,使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条件的 m、p 的值;若不存在,请说明理由.答案：(1)解：当 ABx 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称.所以 m=0,直线 AB 的方程为 x=1,从而点 A 的坐标为(1,23)或(1,-23).因为点 A 在抛物线上,所以49=2p,即 p=89.此时 C2的焦点坐标为(169,0),该焦点不在直线 AB 上.(2)解法一:假设存在 m、p 的值使 C2的焦点恰在直线 AB 上,由(1)知直线 AB 的斜率存在,故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1).由1,341),-k(xy22yx 消去 y 得(
43、3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 x1、x2是方程的两根,x1+x2=22438kk.由1),-k(xy2px,m)-(y2消去 y 得(kx-k-m)2=2px.因为 C2的焦点 F(2p,m)在 y=k(x-1)上,所以 m=k(2p-1),即 m+k=2kp.代入有(kx-2kp)2=2px,即 k2x2-p(k2+2)x+422pk=0.由于 x1、x2也是方程的两根,所以 x1+x2=22)2(kkp.从而22438kk=22)2(kkp,p=)2)(34(8224kkk.又 AB 过 C1、C2的焦点,所以|A
44、B|=(x1+2p)+(x2+2p)=x1+x2+p=(2-21x1)+(2-21x2).点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考
45、为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例则 p=4-23(x1+x2)=4-341222kk=3412422kk.由得)2)(34(8224kkk=3412422kk,即 k4-5k2-6=0.解得 k2=6.于是 k=6,p=34.因为 C2的焦点 F(32,m)在直线 y=6(x-1)上,所以 m=6(32-1),即 m=36或 m=-36.由上知,满足条件的 m、p 存在,且 m=36或 m=-36,p=34.解法二:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),因为 AB 既过 C1的右焦点 F(1,0),又过 C2的焦
46、点 F(2p,m),所以|AB|=(x1+2p)+(x2+2p)=x1+x2+p=(2-21x1)+(2-21x2).即 x1+x2=32(4-p).由(1)知 x1x2,p2,于是直线 AB 的斜率 k=1212xxyy=120pm=22pm,且直线 AB 的方程是 y=22pm(x-1).所以 y1+y2=22pm(x1+x2-2)=)2(3)1(4ppm.又因为,1243,124322222121yxyx 所以 3(x1+x2)+4(y1+y2)1212xxyy=0.将代入得 m2=)1(16)2)(4(32ppp.因为,2pxm)-(y,2pxm)-(y222121 所以 y1+y2-
47、2m=2p1212yyxx.将代入得 m2=ppp1016)2(32.点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需
48、加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例由得)1(16)2)(4(32ppp=ppp1016)2(32,即 3p2+20p-32=0.解得 p=34或 p=-8(舍去).将 p=34代入得 m2=32.所以 m=36或 m=-36.由上知,满足条件的 m、p 存在,且 m=36或 m=-36,p=34.17.(2006 山东高考,理 21)双曲线 C 与椭圆82x+42y=1 有相同的焦点,直线 y=3x 为 C 的一条渐近线.(1)求双曲线 C 的方程;(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C 于A、B 两点,交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)
49、.当PQ=1QA=2QB,且 1+2=-38时,求 Q 点的坐标.解:(1)设双曲线方程为22ax-22by=1.由椭圆82x+42y=1 求得两焦点为(-2,0),(2,0).对于双曲线 C:c=2.又 y=3x 为双曲线 C 的一条渐近线,ab=3.解得 a2=1,b2=3.双曲线 C 的方程为 x2-32y=1.(2)方法一:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零.设 l 的方程 y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则 Q(-k4,0).PQ=1QA,(-k4,-4)=1(x1+k4,y1).11114)4(4ykxk 点福建高考理已知双曲线的右焦点为若过点且倾斜角为
50、的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是答案解析过且倾斜角为的直线与双曲线只有一个公共点即即或舍湖南高考理文过双曲线的左顶点作斜率点纵坐标为四川高考理文直线与抛物线交于两点过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为答案解析如图所示或解得陕西高考已知平面外不共线的三点到的距离都相等则正确的结论是平面必平行于平面必与相交平面必则错如图面可以垂直于面则错如图点在平面同侧且面平行于则的一条中位线平行于若在面内则的中位线在内如图陕西高考为确保信息安全信息需加密传输发送方由明方密文加密接收方由密文明文解密已知加密规则为明文对应密文例.4,441111ykkx A(x1,y1