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1、学习必备 欢迎下载 2.4 二次函数与幂函数 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，幂函数 yxn是定义域上的增函数 ()(5)若函数 f(x)(k21)x22x3 在(，2)上单调递增，则 k22.()(6)已知 f(x)x24x5，x0,3)，则 f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()2(2013 重庆)3aa6(6a3)的最大值为 ()A9 B.92 C
2、3 D.3 22 答案 B 解析 因为 3aa6 183aa2 a322814，所以当 a32时，3aa6 的值最大，最大值为92.3函数 f(x)(m1)x22mx3 为偶函数，则 f(x)在区间(5，3)上 ()A先减后增 B先增后减 C单调递减 D单调递增 答案 D 解析 由 f(x)为偶函数可得 m0，f(x)x23，性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数
3、幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载 f(x)在区间(5，3)上单调递增 4已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_ 答案 1,2 解析 yx22x3 的对称轴为 x1.当 m2 时，ymaxf(m)m22m33，m0 或 m2，无解1
4、m2.5若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不经过原点，则实数 m 的值为_ 答案 1 或 2 解析 由 m23m31m2m20，解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合.题型一 二次函数的图象和性质 例 1 已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间 思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用 解(1)当 a2 时，f(x)x24x
5、3(x2)21，由于 x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.(3)当 a1 时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为 x6,6，性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特
6、征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载 且 f(x)x22x3，x 0，6x22x3，x6，0，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0 思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定
7、区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是_ 答案 y12(x2)21(2)若函数 f(x)2x2mx1 在区间1，)上递增，则 f(1)的取值范围是_ _ 答案(，3 解析 抛物线开口向上，对称轴为 xm4，m41，m4.又 f(1)1m3，f(1)(，3 题型二 二次函数的应用 例 2 已知函数 f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数
8、f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求 k的范围 思维启迪 利用 f(x)的最小值为 f(1)0 可列两个方程求出 a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决 解(1)由题意有 f(1)ab10，且b2a1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为 x2x1k 在区间3，1上恒成立 设 g(x)x2x1，x3，1，则 g(x)在3，1上递减 g(x)ming(1)1.k(m2m1)21，则实数 m 的取值范围是 ()A.，512
9、 B.512，C(1,2)D.512，2 思维启迪(1)由幂函数的定义可得 n22n21，再利用 f(x)的单调性、对称性求 n；(2)构造函数 yx21，利用函数单调性求 m 范围 答案(1)B(2)D 解析(1)由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 适合题意，故选 B.(2)因为函数 yx21的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于 2m10，m2m10，2m1m2m1.解 2m10，得 m12；解 m2m10，得 m 512或 m512.解 2m1m2m1，得1m2，性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单
10、调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载 综上512mf(a1)的实数 a
11、的取值范围 解(1)m2mm(m1)，mN*，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，m(m1)为偶数 函数 f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数 f(x)经过点(2，2)，22(m2m)1，即 2212(m2m)1.m2m2.解得 m1 或 m2.又mN*，m1.f(x)x21.由 f(2a)f(a1)得 2a0，a102aa1.解得 1a32.a 的取值范围为1，32)分类讨论思想在函数中的应用 典例：(12 分)已知函数 f(x)ax2|x|2a1(a 为实常数)(1)若 a1，作出函数 f(x)的图象；(2)设 f(x)在区间1,2上的最小值为
12、 g(a)，求 g(a)的表达式 思维启迪(1)因 f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图(2)因 aR，而 a 的取值决定 f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决 规范解答 解 性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增
13、函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载(1)当 a1 时，f(x)x2|x|1 x2x1，x0 x2x1，x0.3 分 作图(如右图所示)5 分(2)当 x1,2时，f(x)ax2x2a1.6 分 若 a0，则 f(x)x1 在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3.7 分 若 a0，则 f(x)ax12a22a14a1，f(x)
14、图象的对称轴是直线 x12a.当 a0 时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当 012a12时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当 112a2，即14a12时，g(a)f12a2a14a1.当12a2，即 0a14时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.11 分 综上可得，g(a)6a3，a1212 分 温馨提醒 本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽
15、量避免分类，绝不无原则的分类讨论.方法与技巧 1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当
16、时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解 2幂函数 yx(R)图象的特征 0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立 失误与防范 1对于函数 yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足 a0，当题目条件中未说明a0 时，就要讨论
17、a0 和 a0 两种情况 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A 组 专项基础训练 一、选择题 1若 f(x)x2ax1 有负值，则实数 a 的取值范围是 ()Aa2 B2a2 或 a2 D1a0，则 a2 或 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若 a0，b0，从而b2a0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在
18、上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载 故应排除 B，因此选 C.3如果函数 f(
19、x)x2bxc 对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，那么 ()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)答案 D 解析 由 f(1x)f(x)知 f(x)的图象关于 x12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知 f(0)f(2)f(2)4设二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，且 f(m)f(0)，则实数 m 的取值范围是 ()A(，0 B2，)C(，02，)D0,2 答案 D 解析 二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，则 a0，f(x)2a(x1)0，即函数图象的开口向上，对
20、称轴是直线 x1.所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m2.5已知 f(x)x21，若 0ab1，则下列各式中正确的是 ()Af(a)f(b)f(1a)f(1b)Bf(1a)f(1b)f(b)f(a)Cf(a)f(b)f(1b)f(1a)Df(1a)f(a)f(1b)f(b)答案 C 解析 因为函数 f(x)x21在(0，)上是增函数，又 0ab1b0，0m14.综上 0m14.7若方程 x211x30a0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是_ 答案 00，02x 的解集为(1,3)若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，求 f(x)的单调区间 解 f(x)2x0
21、的解集为(1,3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0 得 ax2(24a)x9a0.方程有两个相等的根，(24a)24a 9a0，解得 a1 或 a15.由于 a0，舍去 a1.将 a15代入式得 f(x)15x265x3515(x3)265，函数 f(x)的单调增区间是(，3，单调减区间是3，)10已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值 解 函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.(1)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知
22、，a1 或 a2.B 组 专项能力提升 1设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是 ()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)答案 C 解析 当 a0 时，(12)a71，即 2a3，3a0.当 a0 时，a1，0a1.故3abc，abc0，集合 Am|f(m)0 BmA，都有 f(m3)0 Cm0A，使得 f(m03)0 Dm0A，使得 f(m03)bc，abc0 可知 a0，c0，且 f(1)0，f(0)c1 时，f(x)0.由 ab，得 1ba，设方程 ax2bxc0 的另一个根为 x1，则 x11ba1，即 x12，由 f(m)0
23、可得2m1，所以 1m30，选 A.3已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，)，则 a 的值域为_ 答案 1 或 3 解析 由于函数 f(x)的值域为1，)，所以 f(x)min1 且 0.51a0.(1)求证：2ba1；(2)若 x1、x2是方程 f(x)0 的两个实根，求|x1x2|的取值范围(1)证明 当 a0 时，f(0)c，f(1)2bc，又 bc0，则 f(0)f(1)c(2bc)c20 即(ba1)(ba2)0，从而2ba1.(2)解 x1、x2是方程 f(x)0 的两个实根，则 x1x22b3a，x1x2ab3a，那么(x1x2)2(x1x2)24x1x
24、2(2b3a)24ab3a49(ba)24b3a43 49(ba32)213.2ba1，13(x1x2)249，33|x1x2|0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)f x，x0，f x，x0，x12，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0,1上恒成立 性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性
25、质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已学习必备 欢迎下载 又1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2.2b0.故 b 的取值范围是2,0 性质解析式图象定义域值域单调性对称性上单调递上单减在在在上单调递减在上单调调递增递增函数的图象关于对称幂函数定义形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数幂函数的图象比较学习必备欢迎下载幂函数的性质比较特征面结论是否正确请在括号中打或二次函数的最值一定是二次函数不可能是偶函数幂函数的图象都经过点和点当时幂函数是定义域上的增函数若函数在上单调递增则已知则重庆的最大值为答案解析因为所以当时的值最大最大值为函数调递增已知函数在闭区间上有最大值最小值则的取值范围为答案解析的对称轴为当时在上为减函数无解当时当时或无解若幂函数的图象不经过原点则实数的值为答案或解析由解得或经检验或都适合题型一二次函数的图象和性质例已