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1、第一讲 和倍问题（一）知识要点 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。此类题我们常采用画线段图的方法解答。解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自己的一倍，而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是 1），那么就有大数和小数的和就是小数的几+1 倍，又因为大数和小数的和已知，于是这个题就变成了一个简单的，已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数，我们简称为1 倍数.（二）例题选讲 例
2、 1 甲班和乙班共有图书 160 本.甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？精妙解答 160（3+1）=40（本）-作为一倍数的乙班的 403=120（本）-根据题意关系求的甲班的 或者：160-40=120（本 答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本 例 2 甲、乙两辆汽车在相距 360 千米的两地同时出发，相向而行，2 时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的 2 倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？精彩思路 已知甲车速度是乙车速度的 2 倍，所以“1 倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2 时共行 360
3、 千米，故 1时共行 3602180(千米)，这就是两辆车的速度和。精妙解答 乙车的速度为 (3602)(2 1)=60(千米/时)，甲车的速度为 602=20(千米/时)，或 180-60=120(千米/时)。答：甲车每时行 120 千米，乙车每时行 60 千米。从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1 倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例 1、例 2 的“1 倍”数与“和”极为明显，其中例 2 中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1 倍”数不太明显的例子。例 3 甲队有 45 人，乙队有 75 人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的 3 倍？精彩思路
4、容易求得“二数之和”为 45 75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的 3倍”推出“1 倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从 75 不是 45 的 3 倍也知是错的。这个“1 倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的 3倍。由此画出线段图如下：从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45 75)就是甲队剩下人数的 3 14(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。精妙解答 甲队调动后剩下的人数为 (45 75)(3 1)30(人)，故甲队调入乙队的人数为
5、45-3015(人)。答：甲队要调 15 人到乙队。例 4 妹妹有书 24 本，哥哥有书 53 本。要使哥哥的书是妹妹的书的 6 倍，妹妹应给哥哥多少本书？仿照例 3 的分析可得如下解法。精妙解答 兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6 1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下 (53 24)(6 1)11(本)。故妹妹给哥哥书 24-1113(本)。答：妹妹给哥哥书 13 本。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一
6、个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 例 5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇 160 个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔 20 个，而小灰兔自己又采了 10 个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的 5 倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？精彩思路及解
7、答 这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是 160 2010150，“1 倍”数却是“小灰兔又自己采了10 个后的蘑菇数”。线段图如下：根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1 倍”数)(160-20 10)(51)25(个)，故小灰兔原有蘑菇25-10 15(个)，大白兔原有蘑菇 160-15 145(个)。答：原来大白兔采蘑菇145 个，小灰兔采 15 个。练习 初试牛刀 1.小敏与爸爸的年龄之和是 64 岁，爸爸的年龄是小敏的 3 倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？2.一肉店卖出猪肉和牛肉共 560 千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的 4 倍。猪、牛肉各
8、卖了多少千克？3.甲、乙两桶汽油共 84 千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶 15 千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的 3 倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？挑战自我 1.甲、乙两人共生产零件 100 个，其中甲有 2 个零件、乙有 5 个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的 2 倍。甲、乙各生产了多少个零件？2.团结村原有水田 290 公顷，旱田 170 公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多 2 倍？3.红星小学图书馆内，科技书是故事书的 3 倍，连环画书又是科技书的 2 倍。已知这三种书共有 1600 本，那么每种书各有多少本？常采用画线
9、段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式第二
10、讲 还原问题（三）知识要点 对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。（四）例题选讲 例 1 有一个数，把它乘以 4 以后减去 46，再把所得的差除以 3，然后减去 10，最后得 4。问：这个数是几？精彩思路 这个问题是由 （446）3104，求出。我们倒着看，如果除以 3 以后不减去 10，那么商应该是 41014；如果在减去 46 以后不除以 3，那么差
11、该是 143 42；可知这个数乘以4 后的积为 424688，因此这个数是884=22。精妙解答 （410）346422。答：这个数是 22。例 2 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的 5 看成了 9，把十位上的 8 看成了3，结果得到的“和”是 123。问：正确的结果应是多少？精彩思路 利用还原法。因为把个位上的 5 看成 9，所以多加了 4；又因为把十位上的 8 看成 3，所以少加了 50。在用还原法做题时，多加了的 4 应减去，多减了的 50 应加上。精妙解答 123-450169。答：正确的结果应是 169。例 3 学校运来 36 棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，
12、欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了 10 棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来 6 棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的 2 倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？精彩思路 先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36 棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的 2 倍，所以欢欢现在拿了 36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了 12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了 6 棵后是 24 棵，如果不抢，那么乐乐有树苗 24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了 10 棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 18 1028（棵）。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩
13、个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 精妙解答 365（12）2-610=28（棵）。答：乐乐最初拿了 28 棵树苗。例 4
14、甲、乙、丙三组共有图书 90 本，乙组向甲组借 3 本后，又送给丙组 5 本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？精彩思路及解答 尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90 本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书 90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有 30333（本），乙组有 303532（本），丙组有 30525（本）。例 5、一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米，这捆电线原有多少米？精彩思路 由逆推法知，第二次用完还剩下 15
15、7=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（243）254（米）。精妙解答 （15710）23254（米）。答：这捆电线原有 54 米。练习 初试牛刀 1.某数加上 11，减去 12，乘以 13，除以 14，其结果等于 26，这个数是多少？2.某数加上 6，乘以 6，减去 6，其结果等于 36，求这个数。3.在 125381=1999 中，内应填入什么数？4.小乐爷爷今年的年龄数减去 15 后，除以 4，再减去 6 之后，乘以 10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？挑战自我 1.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多 3 吨，第二次运出剩下的一半少7 吨，还剩
16、 4 吨。问：粮库里原有面粉多少吨？2.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值元，那么每个梨值多少钱？3.某人去银行取款，第 1 次取了存款的一半还多 5 元，第二次取了余下的一半还多 10 元，这时存折上还剩 125 元。问：此人原有存款多少元？常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对
17、较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式第三讲 巧求长方形、正方形的周长（一）知识要点 我们知道：长方形、正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然
18、分割的方法不是唯一的。由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。（二）例题选讲 例 1 一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从 A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到 B处。你知道其中的道理吗？分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由 A处到 B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：(1)ACDEB；(2)ACOEB；(3)ACOFB；(4)AHGFB；(5)AHOEB；(6)AHOFB。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍
19、数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 因为 AC与 HO，GF 的路程一样
20、长，所以可以把它们都换成 AC；同理，将 OE，FB都换成 CD；将 AH，CO都换成 DE；将 HG，OF都换成 EB。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同，当然到达 B处的时间就相同了。例 2 计算下列图形的周长(单位：厘米)。解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图)，这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为254=100(厘米)。(2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为(10 15)2=50(厘米)。例 3 求下
21、面两个图形的周长(单位：厘米)。解：(1)与例 2 类似，可以移补成一个长(15 1015)厘米、宽(12 20)厘米的长方形，所以周长为 (15 1015)2(12 20)2 144(厘米)。(2)设想先把长 20 厘米的线段向上平移到两条长15 厘米的线段中间，构成一个长 60 厘米，宽(15 2015)厘米的长方形，此时，还有两条长 35 厘米的竖线段。所以周长为 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和
22、这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 602(15 2015)2 352290(厘米)。例 4 在一张纸上画出由四个边长为 3 厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些
23、画法中，(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？(2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图 1 那样画的线条最长，共画了 344=48(厘米)。右图画的线条最短，共画了 (3 3)6=36(厘米)。例 5 下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为 1 厘米，求螺线的总长度。分析与解：如 左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为 3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为 (3 57)413=63(厘米)。常采用画线段图的方法解答解答此类题首
24、先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式（三）练习 1.试求左下图的周
25、长(单位：厘米)。2.上页右下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“土”字图形。试求出其周长。3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度(单位：米)。请你算出它的周长。4.下图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的周长。5.下面两图中的小方格的大小相同。图(1)的周长为 48 厘米，图(2)的周长等于多少？6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是 16 米，那么这个正方形的周长是多少米？常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题
26、意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式（四）参考答案 1、移动成长 3+5+4、宽 6+7的长方形，所以周长=（12+1
27、3）*2=50 2、移动成 5+1的长方形，没有宽、长为 4的长方形，再加上 4 段边。（5+1）*2+2*4+4=24 3、移动成长 50、宽 28+16的长方形，所以周长=（50+28+16）*2=188 4、移动成长 4*3+5*3、宽 5 的长方形，再加上 6个（5-3）所以（12+15+5）*2+6*2=76 5、图一移动成长 5宽 3的长方形，周长段为（5+3）*2=16，周长为 48，每段为 48/16=3，图二移动后为（7+1）*2+4=20，每段为 3，共 60。6、把长方形的宽看作一份，长为 3份。一个长方形的周长是 8 份，8 份是 16，1份是 2，3份是 6，正方形的
28、周长是 6*4=24 第四讲 图形计数（五）知识要点 小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。（六）例题选讲 例题 1 数出下面图中有多少条线段？精彩思路 我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段 AB、BC、CD看作基本线段来数，精妙解答 采用以线段左端点分数数的方法。以 A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共 3 条；以 B点为左端
29、点的线段有：BC、BD共 2 条；以 C点为左端点的线段有：CD共 1 条。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知
30、甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式所以，图中共有线段 321=6 条。我们还可以这样想：把图中线段 AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：由 1 条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共 3 条；由 2 条基本线段构成的线段：AC、BD共 2 条；由 3 条基本线段构成的线段：AD只 1 条。所以，图中共有 321=6 条线段。例题 2 数出下图中有几个角。精彩思路 数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。精妙解答 以 AO为一边的角有：AOB、AOC、AOD 三个；以 BO为一边的角有：BOC、BOD两个；以 CO为一边的角有：COD一个。
31、所以图中共有 321=6 个角。小朋友，如果把图中AOB、BOC、COD看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。例题 3 数出下面图中共有多少个三角形。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车
32、相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 精彩思路 数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个数，只需数出ABE的底边中包含几条线段就可以了。精妙解答 数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以 AB为边的三角形有：ABC、ABD、ABE三个；以 AC为边的三角形有：ACD、ACE二个；以 AD为边的三角形有：ADE一个。所以图中共有三角形 321=6 个。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出ABE的底边中包含几条线段就可以了，即 321=6
33、条。所以图中共有 6 个三角形。例题 4 数出下图中有多少个长方形。精彩思路 数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段 CD上有 321=6条线段，其中每一条与 AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有 61=6个长方形；而 AC上共 21=3条线段也就有 63=18个长方形。精妙解答 长方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数 63=18（个）长方形 例题 5 有 10 个小朋友，每 2 个人照一张合影，一共要照多少张 精彩思路 这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：从图上可以看出，第 1 个小朋友要与其
34、余 9 个小朋友合影，要照 9 张照片；第 2常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数
35、是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式个小朋友还要与其余 8 个小朋友合影，再照 8 张照片以此类推，第 9 个小朋友只要再与 1 个小朋友合影，再照 1 张照片。精妙解答 一共要照 987654321=45 张照片。练习 初试牛刀 1，数出下图中各有多少条线段？2，数出下图中有几个角。3、数出下面图中共有多少个三角形。常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单
36、除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式4、数出下图中有多少个长方形。挑战自我 1，三年级有 6 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？2，有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？3，有 16 六个数字，能组成多少个不同的两位数？参考答案 初试牛刀
37、 1、4+3+2+1=10（条）5+4+3+2+1=15（条）2、1+2+3=6（条）3、1+2=3（个）1+2+3+4=10（个）4、（1+2+3+4）（1+2）=30（个）（1+2+3+4）（1+2+3）=60（个）挑战自我 1、假设班号为、。班和其他班比赛的场次是：、，5 场；班因为已经和班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：、，4 场；同理，班还可以比赛的场次是：、，3 场；同理，班还可以比赛的场次是：、，2 场；同理，班还可以比赛的场次是：，1 场 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产
38、生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式共计：5+4+3+2+1=15（次）2、可以扎的方法：红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。共计：3+2+1=6（种）3、
39、1 可以和其他 5 个数组成 5 种：12、13、14、15、16；2 可以和其他 4 个数组成 4 种：23、24、25、26；3 可以和其他 3 个数组成 3 种：34、35、36；4 可以和其他 2 个数组成 2 种：45、46；5 可以和其他 1 个数组成 1 种：56。与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如 1、2，可以组成 12 或者 21。此题共有：（5+4+3+2+1）2=30（种）第五讲 和差问题（一）知识要点 和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在日常生活中应用很广泛，解题的关键在于找出题目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了。（和差）2较大的数
40、；（和差）2较少的数 或 和较大的数较少的数；和较少的数较大的数（二）例题选讲 精彩思路 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千
41、米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 精妙解答 （1）32=（3+2）2=精妙思路 精妙解答 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后
42、两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 精彩思路 精妙解答 精彩思路 精妙解答 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各
43、有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 精妙思路 精妙解答 练习 初试牛刀 1、学校做扫除，张娟和陈芳一共擦玻璃 31 块，又知张娟比陈芳少擦 9 块，张娟、陈常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题
44、从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式芳各擦玻璃多少块？2、小兰期末考试时语文和数学平均分是 96 分，数学比语文多 4 分，问小兰语文多少分？数学多少分？3、今年弟弟 16 岁，哥哥 20 岁，当两人的年龄和是 52 时，弟弟多少岁。4、一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是 8，两个数字之差是
45、2，这个数是多少？挑战自我 1、甲框里有苹果 30 千克，乙框里有桔子若干千克，如果从乙框里取出 12 千克桔子，苹果就比桔子多 10 千克，乙框原有桔子多少千克。2、甲乙两船共载客 623 人，若甲船增加 34 人，乙船少 57 人，这时两船乘客同样多，甲船原来有乘客多少人。3、无线电厂、二厂共有工人 864 人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂 32名工人，这样一厂工人数还比二厂多 48，一厂、二厂原来各有工人多少人？4、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵 5 角，中册比下册贵 7 角，这样的四部书共值 340 角，上、中、下册多少角？5、两筐苹果共重 90 千克，如果从第一框中取出
46、 6 千克，放入第二筐后，两筐的重量相等，两筐苹果原来各多少千克？6、两个水桶共盛水 50 千克，如果把第一桶里的水倒出 6 千克，两个水桶的水就一样多了。第一桶原盛水多少千克？参考答案 初试牛刀 1、陈芳；（319）220（块）张娟；20911 块 2、数学（9624）98 分 语文 98494 分 3、弟弟【52（2016）】224 岁 4、（82）25 523 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个
47、数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式 挑战自我 1、30101232 千克 2（6233457）2266 3、一厂；（86448）232488 人 二厂；864 488376 人 4、上；（342557）3119 角 中；1195114 角 下；1147107
48、 角 5、90 2639（千克）90 3951（千克）答；第一筐有 51 千克，第二筐有 39 千克 6、（506）2 22（千克）502228（千克）答；第一桶原盛水 28 千克。第六讲 余数问题（七）知识要点 在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法，知道了余数必须比除数小，余数是余下的不能够再分（整数）的数。尽管学生初次接触，但余数这个概念在数学上有着非常重要的地位，故在此进行一些拓展。这里，主要介绍一些在整数范围内的余数问题。1、利用直观体验的方法，使学生会观察、学会深入思考问题，从中领悟如何利用余数解决一些有关余数的实际问题，提高学生学习的能力，激发学生进一步学习数学的兴趣。2、弄
49、清一些数量关系：被除数除数商余数；商除数余数被除数；进一步弄清余数的两个性质：两个数相除，余数一定小于除数；两个数相除，若除数是 a，那么，余数就有(a 1)种可能。（八）例题选讲 例 1、如图：，那么,第 13 个图是什么形?第 115 个图是什么形?精彩思路 常采用画线段图的方法解答解答此类题首先要找倍数关系通过倍数关系画出线段图然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和于是根据图产生这样的思路相对小的数自己是自己的一倍而相对大的数是相对小的数的几倍当然了一个简单的已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数我们简称为倍数二例题
50、选讲例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍甲班和乙班各有图书辆汽车在相距千米的两地同时出发相向而行时后两车相遇已知甲车的速度是乙车速度的倍甲乙两辆汽车每小时各行多少千米精彩思路已知甲车速度是乙车速度的倍所以倍数是乙车的速度现只需知道甲乙汽车的速度和就可用和倍公式通过观察可以看出这些图形的排列是有规律的，按照“”一组，不断的在重复出现。第一小题，可以让学生根据自己观察到的规律，自己接着往后面画，就能够得出第 13 个图形是什么图形了。第二小题，学生根据观察的规律，如果再往后边画，到第 115 个图形，显然有些复杂，很花费时间。此时，再引导学生观察这样的一组“”有 3 个图形，13里面最多