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1、初中精品资料 欢迎下载 中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分.以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分）1已知非零实数 a，b 满足 2242(3)42ababa ，则ab等于（）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2 2 如图，菱形 ABCD 的边长为 a，点 O 是对角线 AC 上的一点，且 OAa，OBOCOD1，则 a 等于（）（A）512 （B）512 （C）1 （D）2
2、3将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于 x，y的方程组322axbyxy，只有正数解的概率为（）（A）121 （B）92 （C）185 （D）3613 4如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，90B .动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 BCDA运动.设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y.把 y 看作 x 的函数，函数的图象如图 2 所示，则ABC 的面积为（）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32 （第4题）（第 2 题）图 1 图 2 初中精品资料
3、欢迎下载 5关于 x，y 的方程22229xxyy的整数解（x，y）的组数为（）（A）2 组 （B）3 组 （C）4 组 （D）无穷多组 二、填空题（共 5小题，每小题 7分，共 35分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 7已知线段 AB 的中点为 C，以点 A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段 AB的延长线上取点 D，使得 BDAC；再以点 D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与A 分别相
4、交于 F，G 两点，连接FG 交 AB于点 H，则AHAB的值为 8 已知12345aaaaa，是满足条件123459aaaaa 的五个不同的整数，若b是关于 x 的方程 123452009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为 9 如图，在ABC 中，CD 是高，CE 为ACB的平分线若AC15，BC20，CD12，则 CE 的长等于 1010 个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3 的人心里想的数是 三、解答题（共 4题，每题 20分，共 80分）
5、11 函数22(21)yxkxk的图象与x轴的两个交点是否都在直线1x 的（第 10 题）（第7题）（第9题）择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的
6、一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x 的右侧时 k的取值范围 12在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907yx的图象上所有“好点”的坐标 13如图，给定锐角三角形 ABC，BCCA，AD，BE 是它的两条高，过点C作ABC 的外接圆的切线l，过点 D，E 分别作l的垂线，垂足分别为 F，G试比较线段 DF 和 EG 的大小，并证明你的结论 14 n个 正 整 数
7、12naaa，满 足 如 下 条 件：1212009naaa；且12naaa，中任意 n1 个不同的数的算术平均数都是正整数求 n 的最大值 答案 1.【答】C 解：由题设知 a3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，从而ab1 2.【答】A 解：因为BOC ABC，所以BOBCABAC，即 11aaa，所以，210aa 由0a，解得152a 3.【答】D 解：当20ab 时，方程组无解（第 13 题）择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为
8、点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 当02 ba时，方程组的解为62,223.2bxabayab 由已知，得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02
9、baba 由a，b的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得 2 3 4 5 612ab，共有 5210 种情况；或14 5 6ab，共 3 种情况 又掷两次骰子出现的基本事件共 6636 种情况，故所求的概率为3613 4.【答】B 解：根据图像可得 BC4，CD5，DA5，进而求得 AB8，故 SABC12 8 416.5.【答】C 解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 22(229)0 xyxy 由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数 由 2224(22 9)71 1 6yyy0，解得 2y11616.577于是 2y 0 1 4 9 16 116 109 88 53
10、4 显然，只有216y 时，4是完全平方数，符合要求 当4y 时，原方程为2430 xx，此时121,3xx ；当 y4 时，原方程为2430 xx，此时341,3xx 所以，原方程的整数解为 择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在
11、后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 111,4;xy 223,4;xy 331,4;xy 443,4.xy 6.【答】3750 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了 x km，交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50
12、003000kxkykkykxk 两式相加，得 ()()25 0 0 03 0 0 0k xyk xyk，则 237501150003000 xy 7.解：如图，延长 AD 与D 交于点 E，连接 AF，EF 由题设知13ACAD，13ABAE，在FHA 和EFA中，90EFAFHA ，FAHEAF 所以 RtFHARtEFA，AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.8.【答】10 解：因为 123452009bababababa，且12345a aa aa，是五个不同的整数，所有12345bababababa，也是五个不同的整数 又因为 2009117741 ，所以 1234541b
13、ababababa 由123459aaaaa，可得10b 择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为
14、以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 9.【答】60 27 解：如图，由勾股定理知 AD9，BD16，所以 ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB 为直角三角形，且90ACB 作 EFBC，垂足为 F设 EFx，由1452ECFACB ，得 CFx，于是 BF20 x由于 EFAC，所以 E FB FACB C，即 201520 xx，解得607x 所以60 227CEx 10.【答】2 解：设报 3 的人心里想的数是x，则报 5 的人心里想的数应是8x 于是报 7 的人心里想的数是 12(8)4xx ，报 9 的人心里想的数是 16(4
15、)12xx，报 1 的人心里想的数是 20(12)8xx，报 3 的人心里想的数是4(8)4xx 所以 4xx ，解得2x 11.解：不一定，例如，当 k0 时，函数的图象与 x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x 的右侧 5 分 设函数与 x 轴的两交点的横坐标为12,xx，则2121 2(21),xxkxxk ，当 且仅当满足如下条件 12120,(1)(1)0,(1)(1)0 xxxx 10 分 时，抛物线与x轴的两交点都在直线1x 的右侧 由 222(21)40,210,20,kkkkk 择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确
16、的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 解之，得 1,41,220.kkkk 或 15 分 所
17、以当2k 时，抛物线与x轴的两交点在直线1x 的右侧 20 分 12.解：设2,ym22(90)xk，m，k都是非负整数，则 227 7011 4907km，即 ()()77 0 114 9kmkm 10 分 则有 7 0 1,4 9 0 77;1.kmkmkmkm 解 得 1212354,2454,347;2453.kkmm 所以 312412342 5 4 4,4 4 4,2 6 4,2 3 6 4,1 2 0 4 0 9;1 2 0 4 0 9;6 0 1 7 2 0 9;6 0 1 7 2 0 9.xxxxyyyy 故“好 点”共 有4 个，它 们 的 坐 标 是：444 120409
18、264 1204092544 60172092364 6017209（，），（，），（，），（，）.20 分 13.解法 1：结论是DFEG下面给出证明 5分 因为FCDEAB，所以 RtFCD RtEAB于是可得 CDDFBEAB 同理可得 CEEGADAB 10 分 又因为tanADBEACBCDCE，所以有BE CDAD CE，于是可得 DFEG 20 分（第 13 题）择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组
19、只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长初中精品资料 欢迎下载 解法 2：结论是DFEG下面给出证明 5 分 连接 DE，因为90ADBAEB ，所以 A，B，D，E四点共圆，故 CEDABC 10 分 又 l 是O 的过点 C 的切线，所以ACGABC
20、 15 分 所以，CEDACG，于是 DEFG，故 DFEG 20 分 14.解：设12naaa，中去掉ia后剩下的 n1 个数的算术平均数为正整数ib，12in，即 12()1niiaaaabn 于是，对于任意的 1ijn，都有 1jiijaabbn，从而 1()jinaa 5 分 由于 11200811nnaabbnn 是正整数，故 31 22 5 1n 10 分 由于 112211nnnnnaaaaaaa 2111(1)nnnn ，所以，2(1)n2008，于是 n 45.结合31 2251n，所以，n 9 15 分 另一方面，令1238 01,8 1 1,8 21aaa ，88 71a
21、 ，98 251 1a ，则这 9 个数满足题设要求 综上所述，n 的最大值为 9.20 分 （第 13 题）择题共小题每小题分共分以下每道小题均给出了代号为的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填多填或错填都得分已知非零实数满足则等于如图菱形的边长为点是对角线上的一点且则等为则使关于的方程组只有正数解的概率为如图所示在直角梯形中动点从点出发沿梯形的边由运动设点运动的路程为的面积为把看作的函数函数的图象如图所示则的面积为图第题图初中精品资料欢迎下载关于的方程的整数解的组数为在后轮则自行车行驶后报废行驶一定路程后可以交换前后轮胎如果交换前后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废那么这辆车将能行驶已知线段的中点为以点为圆心的长为半径作圆在线段的延长线上取点使得再以点为圆心的长