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1、多项式的因式分解 溧阳市别桥中学 赵娟 开课班级：初一()班 开课级别：溧阳市级 一、教学目标：知道平方差公式及其意义 会运用平方差公式分解因式，通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一 步发展学生的逆向思维能力 感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点.在探索活动中发展观察能力，感悟换元的思想方法 二、教学重点、难点：平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式 三、教具、学具：投影仪，多媒体 四、教学过程：一、复习回顾 填空：()()().()()().()(3m)(3m-).这是我们学过的哪种运算？你还记得如何用字母来表示这个公式吗？二、探索新知 1 操
2、作()()()()()()()9m2()()昨天我们学习了因式分解，那么把平方差公式()(-)-反过来得到-()(-)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方 法叫运用平方差公式法.下列多项式可以用平方差公式分解吗？为什么？()-()2a ()4m2()()9m2()说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨 别哪些能用公式就可以，让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的 特征。总结：式子的特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反 结果的特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两 个底数之差.在乘法公式中，平方差是指
3、计算的结果；在分解因式时,平方差是指要分解的多 项式 .在下列各式括号内填上适当的式子，使等式成立：()()()()()()()()()()()()设计意图：在总结了平方差公式后，通过题组逐题递进，落实本节课的教学重点。在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课 堂氛围。三、例题教学 例 把下列多项式分解因式：()-()16a-分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把、改写成、()、(4a)和()形式，能否准确的改写是本题的关键 ()解：原式一()()解：原式(4a)-()()(-)(4a)(4a)说明：()对于多项式中的两部分不是明显的平方形式，应先变形为
4、平方形式，再 运用公式分解，以免出现 16a-(16a)(16a-)的错误.运用平方差公式分解因式通过对比整式乘法和分解因式的关系进一步发展学生的逆向思维能力感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点在探索活动中发展观察能力感悟换元的思想方法二教学重点难点平方差公式的意义弄清公式这是我们学过的哪种运算你还记得如何用字母来表示这个公式二探索新知操作昨天我们学习了因式分解那么把平方差公式反过来得到我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用就可以让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征总结式子的特征是二项式每项都是平方的形式两项的符号相反结果的特
5、征是两个二项式的积一个是左边两项的底数之和另一个是这两个底数之差在乘法公式中平方差(2)在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作 用”所引起的现象 例 分解因式：()(2m)()()()解：原式()(2m)解：原式()()(2m)(2m)()()()()(2m)(-2m)(4m)(2m)(2m)()分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心 算，而后 是进行变形 这一点在这儿尤为重 要。设计本题的目的是让学生加深平方差公式 中的、不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的 思想。()解：原式()()()说明：通过比较得出上述解法和前一节
6、的提取公因式是一致的，从而为分解因式 的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式.总结因式分解的步骤：(1)首先看被分解的多项式里有没有公因式，若有应先提公因式。(2)如果各项没有公因式，那么可以用公式法来分解，若为两项式考虑用平方 差公式。(3)分解因式必须分解到不能分解为止。四、巩固练习 将下列各式分解因式()()()()()()()设计意图：对每一种例题题型的加强和巩固，第小题可能学生会分解不够彻底，强调因式分解要分解到不能分解为止。运用平方差公式分解因式通过对比整式乘法和分解因式的关系进一步发展学生的逆向思维能力感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点在探索活动中发展观察能力感悟换
7、元的思想方法二教学重点难点平方差公式的意义弄清公式这是我们学过的哪种运算你还记得如何用字母来表示这个公式二探索新知操作昨天我们学习了因式分解那么把平方差公式反过来得到我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用就可以让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征总结式子的特征是二项式每项都是平方的形式两项的符号相反结果的特征是两个二项式的积一个是左边两项的底数之和另一个是这两个底数之差在乘法公式中平方差五、问题解决 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是 求它们所围成的环形的面积，如果 35cm15cm 呢？解：n n n()n()()(
8、)当，时，原式()X()X n X n n 答：这个绿化区的面积是n 说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，通过比较怎样计算比较简单，再次想到分解因式的步骤即：先提公因式，再运用 公式。六、小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？()多项式中有公因式(包括负号)则先提取公因式；()整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;()平方差公式中的与既可以是单项式，又可以是多项式；因式分解要分解到不能分解为止。七、作业()完成课本练一练。()拓展作业：你能用今天所学的知识解决下面的问题吗 能否被整除?运用平方差公式分解因式通过对比整式乘法和
9、分解因式的关系进一步发展学生的逆向思维能力感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点在探索活动中发展观察能力感悟换元的思想方法二教学重点难点平方差公式的意义弄清公式这是我们学过的哪种运算你还记得如何用字母来表示这个公式二探索新知操作昨天我们学习了因式分解那么把平方差公式反过来得到我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用就可以让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征总结式子的特征是二项式每项都是平方的形式两项的符号相反结果的特征是两个二项式的积一个是左边两项的底数之和另一个是这两个底数之差在乘法公式中平方差（多项式的因式分解一一用平方差公式
10、）教后反思 漂阳市别桥初级中学 赵娟 多项式的因式分解一一用平方差公式法是苏科版教材七年级下册第 九章整式乘法与因式分解的第五节单项式乘多项式法则的再认识一一因式分 解（二）的内容。本节课是学生在学习了因式分解的概念，用提公因式法分解因 式后继续学习的。在整式的乘法中已经学习了平方差公式，根据整式乘法和因式 分解的互逆关系，引出用平方差公式进行因式分解。由学生观察辨析总结什么样 的多项式能用平方差公式因式分解，通过一组由浅入深、由易到难的题组 逐题 递进，落实本节课的教学重点。所以本课时的重点在于让学生体会到哪些多项式 可用平方差公式分解，以及综合应用提公因式法与平方差公式对一些比较复杂的 多
11、项式进行因式分解。应用平方差公式因式分解，关键在于学生必须有逆向的思 维，换元的思想，能体会到公式中、可以是数字、单项式、多项式。把多项式转 换到平方差公式的模型然后依据公式因式分解。在新课引入的过程中，我首先让学生回忆了前面在整式的乘法中遇到的乘 法公式，比如平方差公式。接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算。然后，我巧妙的将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目 请学生尝试一下。只见我的题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了。待学生 回答完之后，我马上追问“为什么”时，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差 公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式。之后，通过
12、一组辨析 题讨论了“怎样的多项式能用平方差公式因式分解？”由学生分析并改正的过 程来感受用平方差公式因式分解的多项式的特征。我就顺利地和同学们一起分析 了因式分解中的平方差公式一一两数的平方差等于这两个数的和与这两个数的 差的积，可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知 识不产生任何的畏惧感。接下来，通过一组填空、例题的讲解、练习的巩固让学 生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。我随堂出了一些综合性的练习题，才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手，课后我总结的原因有以下四点：1、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将
13、它作为一个简单的 内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。2、在学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致 他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合 使用的式子就难以入手。3、灵活运用公式（特别与幕的运算性质相结合的公式）的能力较差，如要将-2化成2-（）2然后应用平方差公式这样的题目却无从下手。究其原因，和我布 置的作业及随堂练习的单一性及难度低的特点有关。4、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多 项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将一提公因式后应用平方差公式，但 很多同学运用平方差公式分解因式通过对比整式
14、乘法和分解因式的关系进一步发展学生的逆向思维能力感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点在探索活动中发展观察能力感悟换元的思想方法二教学重点难点平方差公式的意义弄清公式这是我们学过的哪种运算你还记得如何用字母来表示这个公式二探索新知操作昨天我们学习了因式分解那么把平方差公式反过来得到我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用就可以让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征总结式子的特征是二项式每项都是平方的形式两项的符号相反结果的特征是两个二项式的积一个是左边两项的底数之和另一个是这两个底数之差在乘法公式中平方差都是只化到（2-1）而没有化
15、到最后结果（+1）（-1）。因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的把握和讲解 是比较到位的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面 的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教 学方法和内容，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连 一个人越知道时间的价 值，就越感到失时的痛苦 得到时间，就是得到一切 用经济学的眼光来看，时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间
16、的巨轮在我背后奔驰，日益迫近 夜晚 给老人带来平静，给年轻人带来希望 不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费 我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间 时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。新想法常常 瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！”不要为这个世界而惊叹，要让 这个世界为你而惊叹！如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。学
17、习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。藏书再多，倘若不读，只是一种 癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向 运用平方差公式分解因式通过对比整式乘法和分解因式的关系进一步发展学生的逆向思维能力感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点在探索活动中发展观察能力感悟换元的思想方法二教学重点难点平方差公式的意义弄清公式这是我们学过的哪种运算你还记得如何用字母来表示这个公式二探索新知操作昨天我们学习了因式分解那么把平方差公式反过来得到我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用就可以让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征总结式子的特征是二项式每项都是平方的形式两项的符号相反结果的特征是两个二项式的积一个是左边两项的底数之和另一个是这两个底数之差在乘法公式中平方差