《小学数学史料 和数学教学[邵汉民]课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学史料 和数学教学[邵汉民]课件.ppt（276页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、小学数学史料与数学教学浙江省杭州市萧山区教研室 邵汉民联系方式：QQ913298251 小学数学数学史与数学教学小学数学数学史与数学教学简介简介 一、编著的背景（基础）一、编著的背景（基础）二、编著的愿景（意义）二、编著的愿景（意义）三、编著的风景（内容）三、编著的风景（内容）小学数学数学史与数学教学小学数学数学史与数学教学简介简介 一、编著的背景（基础）一、编著的背景（基础）1.起因起因一句话一句话数学是人类的一种文化数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。言是现代文明的重要组成部分。全日制义务教育数学课程标准（全日制义务教育数学课
2、程标准（20012001版）版）起因经过成果数学知识数学思维数学文化2.经过经过三个阶段三个阶段打开数学之门打开数学之门20022002年萧山区学科专题论文一等奖年萧山区学科专题论文一等奖小学数学文化课程体系构建与运行的实践研究小学数学文化课程体系构建与运行的实践研究 市市“名师工程名师工程”第一批专项科研重点课第一批专项科研重点课题题 （MSZ2009077MSZ2009077）全国教育部重点课题全国教育部重点课题基础教育文化课基础教育文化课程体系的构建与实践研究程体系的构建与实践研究子课题子课题挖掘数学的文化价值挖掘数学的文化价值提升学生的数学素养提升学生的数学素养20082008年省教研
3、课题立项年省教研课题立项 一、编著的背景一、编著的背景自觉尝试自觉尝试自发研究自发研究专业研究专业研究1.起因起因一句话一句话3.成果成果三类成果三类成果 专栏式：专栏式：小学教学小学教学20102010年第四期和年第四期和教学月刊教学月刊20122012年第一期以专栏的形式，介绍了我区开展数学文化年第一期以专栏的形式，介绍了我区开展数学文化实践研究的情况。实践研究的情况。专题式：专题式：中小学数学中小学数学、教学月刊教学月刊 、小小学教学学教学分别发表了我们相关的研究成果。分别发表了我们相关的研究成果。（1）发表发表省级以及上教育刊物上发表相关文章省级以及上教育刊物上发表相关文章10篇篇 从
4、数学史料中寻找数学探究的因子从数学史料中寻找数学探究的因子在浙江省在浙江省20102010年小学数学和科学年小学数学和科学“疑难问题解决疑难问题解决”专题研训会上交流。专题研训会上交流。（3）专著专著作为学生数学阅读与社团活动资料作为学生数学阅读与社团活动资料（2）交流交流在省级教研活动中交流在省级教研活动中交流数学名人名题故事集数学名人名题故事集，浙江教育出版社，浙江教育出版社，2012.72012.7一、编著的背景（基础）一、编著的背景（基础）2.经过经过三个阶段三个阶段1.起因起因一句话一句话二、编著的愿景二、编著的愿景 编著一套适合于小学数学教师阅读的，专门介绍与小学数学内容相关的数学
5、史料集，并把这些数学史料与小学数学教学有机融合，设计富有数学文化背景的数学教学流程，使小学数学知识在数学背景知识的映衬下，焕发理性智慧的光芒与人文情愫的润泽。史料阅读融入教学文化润泽 如果把数学教材比之于一道菜肴，那么数学基本知识是其中的主料，而数学史料只能算作其中的辅料。但是，做一道真正可口或别具风味的菜肴，辅料却对菜的色、香、味诸方面起着举足轻重的作用。如果把数学教学比之于烹饪一道菜肴，那么有效地利用“数学史料”是调控烹饪火候的重要策略。因此，有效地利用“数学史料”的基本出发点要是使师生更加深刻地理解数学，使数学教学更具有启迪智慧与传承文化的意蕴。我们的定位：三、编著的风景三、编著的风景第
6、一部分第一部分数学史料篇数学史料篇第二部分第二部分小学数学教学篇小学数学教学篇第一章第一章 数的产生数的产生 第二章第二章 自然数的特征自然数的特征 第三章第三章 形的认识形的认识 第四章第四章 形的拓展形的拓展 第五章第五章 常见的量常见的量 第六章第六章 数学符号数学符号 第七章第七章 数学的动力数学的动力 第八章第八章 渗透式教学设计渗透式教学设计 第九章第九章 融入式教学设计融入式教学设计 第十章第十章 拓展式教学设计拓展式教学设计 源于教材低于教材第一章第一章数的产生数的产生全面介绍小学数学数学中的四种数（自然数、全面介绍小学数学数学中的四种数（自然数、分数、小数、负数）的产生历史，
7、以及对小学教学分数、小数、负数）的产生历史，以及对小学教学的启示。的启示。第二章第二章自然数的特征自然数的特征以专题的形式介绍可以作为小学数学课程资源以专题的形式介绍可以作为小学数学课程资源的数学家以及数学爱好者对自然数的特征的研究成的数学家以及数学爱好者对自然数的特征的研究成果与研究过程。果与研究过程。第三章第三章形的认识形的认识全面介绍人类对形的认识的几个阶段（以与小全面介绍人类对形的认识的几个阶段（以与小学数学相关的内容为主），并专题介绍学数学相关的内容为主），并专题介绍“形的度量形的度量”和形的思维价值和形的思维价值几何直观。以及对教学的启几何直观。以及对教学的启示。示。第一部分第一部
8、分数学史料篇数学史料篇第四章第四章形的拓展形的拓展以专题的形式介绍可以作为小学数学课程资源，但又是以专题的形式介绍可以作为小学数学课程资源，但又是在欧氏几何以后发展起来的几何分支的最浅显的一些例子。在欧氏几何以后发展起来的几何分支的最浅显的一些例子。第五章第五章常见的量常见的量全面介绍全面介绍数学课程标准（数学课程标准（20112011版）版）第一学段中所规第一学段中所规定的三类常见定的三类常见(时间、质量与货币时间、质量与货币)的量形成与发展历史。以的量形成与发展历史。以及对教学的启示。及对教学的启示。第六章第六章数学符号数学符号以分类的形式，全面介绍以分类的形式，全面介绍“数的符号数的符号
9、”以外的小学数学以外的小学数学教材中的各类符号的产生与形成历史。以及对教学的启示。教材中的各类符号的产生与形成历史。以及对教学的启示。第七章第七章数学的动力数学的动力在小学数学内容的基础上，以适合成为小学数学课程资在小学数学内容的基础上，以适合成为小学数学课程资源为前提，以专题的形式介绍推动数学发展的人或事。源为前提，以专题的形式介绍推动数学发展的人或事。第一部分第一部分数学史料篇数学史料篇第八章第八章渗透式教学设计渗透式教学设计以人教版小学数学教材为蓝本，对其中可以渗以人教版小学数学教材为蓝本，对其中可以渗透数学史背景知识的数学内容进行梳理，并进行创透数学史背景知识的数学内容进行梳理，并进行
10、创编的策略研究与样例列举。编的策略研究与样例列举。第九章第九章融入式教学设计融入式教学设计以典型课例为例子，总结融入式教学设计的一以典型课例为例子，总结融入式教学设计的一般策略与操作措施。般策略与操作措施。第十章第十章拓展式教学设计拓展式教学设计以典型课例为例子，总结拓展式教学设计的一以典型课例为例子，总结拓展式教学设计的一般策略与操作措施。般策略与操作措施。第二部分第二部分小学数学教学篇小学数学教学篇 只有理解人类如何获得某些事实只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。
11、的判断。乔治波利亚（G.Polya,1887-1985）历史是教学的指南历史是教学的指南。M.克莱因（M.Kline,1908-1992）第三章 形的认识在几何学里,没有专为国王铺设的大道。古希腊欧几里得（约公元前330年前275年）形的认识最终形成了数学的一个重要的古老的分支几何学。几何学是研究图形形状大小或其间位置关系的数学，它历史悠久，肇源甚古。希腊历史学家Herodotus(公元前5世纪)说：“埃及受尼罗河恩赐，这条河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后，留下沃土。埃及自古以来一直靠耕种这片活土谋生。”他又说：“尼罗河每年涨水后，需要重新确定农民田地的边界才产生几何学。”几何学一词的
12、希腊语语源就是量地。我国魏晋时数学家刘徽解释方田章名时说：“以御田畴界域。”（借以确定农田边界范围）。这再一次说明几何学的发生和发展与先民开垦农田有密切关系。几何学的起源部分，正是小学数学的中形的认识的内容。图形认识图形认识图形计算图形计算图形测量（计量单位）图形测量（计量单位）图形拼组图形拼组运行运行几何史、游戏欣赏等几何史、游戏欣赏等与与图形图形几何几何长度长度角度角度面积面积体积（容积）体积（容积）静态静态动态动态生态生态线线面面角角体体点点测量测量测量测量公式公式公式公式方位方位分分合合合合分分（2，3）（3，2）观察物体观察物体二维二维三维三维物物体体知识体系知识体系范希尔夫妇关于范
13、希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观点的观点(一一)视觉期视觉期第零层次第零层次(二二)分析期分析期第一层次第一层次(三三)关系期或非形式演绎期关系期或非形式演绎期第二层次第二层次(四四)形式演绎期形式演绎期第三层次第三层次(五五)严密性或公理性严密性或公理性第四层次第四层次(一一)视觉期视觉期第零层次第零层次范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观点的观点 儿童是通过视觉观察实物实物，由实物的轮廓来辨识形体或图形。非标准的数学语言非标准的数学语言标准的数学语言标准的数学语言滚一滚滚一滚摸一摸摸一摸叠一叠叠一叠 此层次的儿童应该具有丰富的视觉辨识经验，能进一步观察图形构成要素图形构
14、成要素与与图形之间的关系图形之间的关系，可以开始寻找出某一类图形的共同性质。(二二)分析期分析期第一层次第一层次 此层次的儿童应该具有丰富的视觉辨识经验，能进一步观察图形构成要素图形构成要素与与图形之间的关系图形之间的关系，可以开始寻找出某一类图形的共同性质。(二二)分析期分析期第一层次第一层次 此层次的儿童应该具有丰富的视觉辨识经验，能进一步观察图形构成要素图形构成要素与与图形之间的关系图形之间的关系，可以开始寻找出某一类图形的共同性质。(二二)分析期分析期第一层次第一层次四边形四边形四个角四个角是直角是直角四条边四条边都相等都相等两组对两组对边平行边平行平行四边形平行四边形长方形长方形正方
15、形正方形这样的一组组概念链体现了数学内涵与外延之间的这样的一组组概念链体现了数学内涵与外延之间的反变关系反变关系，即某一数学，即某一数学概念内涵的扩大概念内涵的扩大必然导致其必然导致其外延外延的缩小的缩小，其内涵的，其内涵的减少减少必然导致其外延的必然导致其外延的扩大扩大。(三三)关系期或非形式演绎期关系期或非形式演绎期第二层次第二层次此层次的儿童已经能掌握各种图形的构成要素，此层次的儿童已经能掌握各种图形的构成要素，可以进一步探索可以进一步探索图形内在属性关系图形内在属性关系，以及，以及不同类图形不同类图形之间的包含关系之间的包含关系。这里演绎的意义是指在一个公设系统中去建立几何理论，故而此
16、层次的人们能用演绎逻辑证明定理，并建立相关定理的网脉结构关系。(四四)形式演绎期形式演绎期第三层次第三层次(五五)严密性或公理性严密性或公理性第四层次第四层次 达到这个层次的人们，可以在不同的公设系统中建立定理，并分析或比较这些定理的特性，例如：能区分欧氏几何与非欧几何系统间的差异，也可以理解抽像的几何推理，甚至可以自创一套几何公设系统。一般的人很难达到这个层次 第三章第三章 形的认识形的认识在几何学里,没有专为国王铺设的大道。古希腊欧几里得（约公元前330年前275年）第一节第一节形的历史形的历史第二节第二节形的度量形的度量第三节第三节几何直观几何直观第一节 形的历史上帝永远在进行几何化。柏
17、拉图一、形成“形”意识二、进行经验抽象三、采用演绎论证一、形成一、形成“形形”意识意识体面线（点）面体1.体的意识旧石器时期的石球 新石器时期的陶球2.面、线的意识西安半坡时期陶器上的两幅双鱼图案 青铜器上的花纹 作为一种最基本的形状，圆比其它形状更常见，在生活中更无可替代。如汽车的轮子，只有唯一的形状圆形；可以转动的锁孔，也只有唯一的形状圆形；时针、分针和秒针转动一周的轨迹也是圆形 对圆的认识的再认识 圆是一个简单的平面图形，与长方形、正方形、三角形等简单的平面图形相比，有其与众不同之处。从外形看它是由一条曲线围成的，从求周长与面积来看，要借助于一个特殊的比值圆周率。圆，是抽象的，又是具体的
18、。1.形状特殊；2.画法独有；3.应用独到。1.在人类的认识史上，圆是怎样被我们逐步认识的？了解圆在人类的认识史上，圆是怎样被我们逐步认识的？了解圆的认识历史，可以给我们的教学以怎么样的启发？的认识历史，可以给我们的教学以怎么样的启发？2.在人们的日常生活与生产中，有许多物品的某一个或几在人们的日常生活与生产中，有许多物品的某一个或几个面做成圆形，它们各是利用了圆的什么特点？能否利用一些个面做成圆形，它们各是利用了圆的什么特点？能否利用一些学生常见的典型物品的分析，逐步抽象圆的特征？学生常见的典型物品的分析，逐步抽象圆的特征？3.能否以能否以“问题探究为中心问题探究为中心”，让学生以一个发现者
19、的角，让学生以一个发现者的角色，体验色，体验“圆圆”的奥妙与神奇？的奥妙与神奇？对圆的教学的再追问对圆的教学的再追问对圆的教学的再设计对圆的教学的再设计 从人类对圆的认识历程中，我们可以发现，人类在还没有认识到几何意义的圆之前，就对圆的特点有了充分地了解，并且以物化的形式表现了出来，影响着人们的生产与生活。在我们的头脑里，圆永远存在于两个世界中：客观世界中在我们的头脑里，圆永远存在于两个世界中：客观世界中形象的圆和几何意义上抽象的圆。形象的圆和几何意义上抽象的圆。而抽象到几何圆形中的“圆”，完全去除了所有物化的东西，只留下了一条曲线（圆）、一个点（圆心）与两组线段（半径与直径）的认识，使“圆”
20、变得“苍白”而“空洞”。思路一：从纯数学的视角来认识圆，然后用所习得的有关圆的知识来对现实世界中的圆进行解释 基本思路：思路二：对现实世界中具有典型意义的圆进行研究，发现圆的特征，逐步提炼和认识抽象的圆。1.观察：圆与其它图形比较，有什么与众不同之处？思路二：对现实世界中具有典型意义的圆进行研究，发现圆的特征，逐步提炼和认识抽象的圆。2.研究一：车轮为什么要做成圆形？3.研究二：瓶盖可以拧的瓶口为什么一定要做成圆形？从比较中，在外形上认识圆的特征。由现象的自然解释到数学的本质解释。从发现问题到数学原理探究。对圆形物体的研究中认识圆，把知识的获得真实地“镶嵌”在相关的事实情境中，使知识成为探究活
21、动的“产品”。生活事例发现问题数学解释理解生活出示：出示：师问：这些图形中哪一个是圆？师问：这些图形中哪一个是圆？师追问：圆与其它的几个平面图形相比，有师追问：圆与其它的几个平面图形相比，有什么与众不同的地方？什么与众不同的地方？师提问：举例说一说，在我们生活中哪些师提问：举例说一说，在我们生活中哪些物品的面是圆形？物品的面是圆形？师追问：哪些物品的面一定要做成圆形？师追问：哪些物品的面一定要做成圆形？车轮为什么都车轮为什么都做成圆形呢做成圆形呢?车轴车轴车轴到地车轴到地面距离面距离Or圆心圆心半径半径车轮为什么都车轮为什么都做成圆形呢做成圆形呢?师再问：哪些物品的面一定要做成圆形？师再问：哪
22、些物品的面一定要做成圆形？拔拧为什么可以拧的容器的瓶口一定要做成圆形？为什么可以拧的容器的瓶口一定要做成圆形？在圆中画一条最长的线段。再画一条最长的线段。益农镇小益农镇小俞东良俞东良二、进行经验推测二、进行经验推测 进行经验抽象就是指人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感知与体验，归纳与概括出更为一般的几何关系，再通过实际的例子进行验证与检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系。实验几何三角形的内角和等于180度“圆周率”的近似值 三角形的内角和等于180度帕斯卡（16231662）证法：证法：过过A作作EFBA，B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=1(两直线平行两直线平行,
23、内错角相等内错角相等)又又2+1+BAC=180B+C+BAC=180F21ECBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.证法：证法：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA，A=1A=1 (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180A+B+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.证法证法3：过过A作作AEBC，B=BAE(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线
24、平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180CBEA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.1.了解课前有多少学生已经知道这个结论；了解课前有多少学生已经知道这个结论；2.了解学生是通过什么途径知道这个结论；了解学生是通过什么途径知道这个结论；3.设想让学生建立长方形内角和与三角形内角设想让学生建立长方形内角和与三角形内角和之间的联系，丰富学生验证结论的方法。和之间的联系，丰富学生验证结论的方法。三角形的内角和预学单调查学校及班级上城区萧山区胜利小学403班杭师附小407班高桥小学406班湖滨小学403班调查学生人数35人 25人 43人 41人知道结论人数22人 1
25、5人 39人 34人知晓率62.9%60%90.70%82.93%人教版四上配套作业课堂作业第17页1.了解学生预学后的学习状况；了解学生预学后的学习状况；2.发现学生预学后存在的问题。发现学生预学后存在的问题。三角形的内角和 （课堂教学）3124长方形的内角和长方形的内角和=1+2+3+45786把图形中相邻两边的夹角称为内角。把图形中相邻两边的夹角称为内角。123三角形的内角和三角形的内角和321=1+2+3与与180有关有关小组合作要求：说一说预学单中自己已想到的方法；找一找是否还有更好的方法来验证；想一想如何将你们组的验证方法展 示给全班同学。【2】【1】1的角112233中点中点中点
26、中点120 35 A25 70 50 B60 根据三角形的内角和等于根据三角形的内角和等于180，已知其中两个角的度数，可以求出第三个角。，已知其中两个角的度数，可以求出第三个角。想一想：有没有这样的三角形，告诉我一个角，就能求出其他两个角的度数？想一想：有没有这样的三角形，告诉我一个角，就能求出其他两个角的度数？想一想：有没有这样的三角形，一个角都不知道，却能求出三个角的度数？想一想：有没有这样的三角形，一个角都不知道，却能求出三个角的度数？60 A直角三角形70 BA等腰三角形120 AB等腰直角三角形等边三角形A=180-120-35=25B=180-50-70=60圆周率 历史上一个国
27、家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。德国数学史家康托实验时期几何时期分析时期计算机时期公元前公元前200200年年 周三径一周三径一 生：圆的周长是直径的3.14倍物品物品名称名称周长周长（厘米）（厘米）硬币硬币棋子棋子圆的周长记录表圆的周长记录表测量要求：测量要求：1.同桌合作，各测量出其中的一个物品的周长；同桌合作，各测量出其中的一个物品的周长；2.测量测量结果用厘米做单位，保留一位小数；测量测量结果用厘米做单位，保留一位小数；直径直径（厘米）（厘米）圆的周长是圆的周长是直径的倍数直径的倍数3.计算结果请用合适的方法表示。计算结果请用合适的方法表示。3.
28、1326283.1326283.1058283.105828周三径一 周三径一 3.1058283.1058283.1326283.132628 割圆术割圆术割圆术割圆术公元前公元前200200年年 周三径一周三径一 公元公元460左右左右3.1415926与与3.1415927之间之间18821882年年 德国数学家林德曼德国数学家林德曼从从19491949年起年起祖冲之祖冲之正正12288边形边形2000多亿位多亿位无限不循环小数无限不循环小数约是约是生：圆的周长是直径的3.14倍三、采用演绎论证泰勒斯欧几里得第一位几何学家几何原本1.几何原本中有关平面图形的定义 点：1.点是没有大小的；
29、3.线的尽头是点。线：2.线有长，无宽；6.面的边界是线。面：5.面只有长和宽；7.平面为一种面，把直线放在它上面，保持平坦者。图形：14.一条或几条边界转成图形。圆：15.圆是平面图，从内部某定点作直线，与边界有相等距离。半圆：18.直径与边界间的图形是半圆。小学教材中只有名称没有定义小学教材中只有名称没有定义 直线图形、多边形：19.直线围成的图形叫直线图形。四条以上直线围成的图形称为多边形。斜三角形：20.；（三角形中）三边各不相等称为斜三角形。正方形、长方形、菱形：22.四边形中四条边相等，且四个角都是直角称为正方形；四个角是直角，边不全相等者称为长方形；四条边相等，角不是直角者称为菱
30、形；。卷2.1.相邻边夹直角的平行四边形是长方形。扇形：卷3.10.从圆心作角，夹角二边与圆围成的图形称为扇形。直线：4.直线为线的一种，在两尽头之间保持平坦者（4）。平角：9.二直线相遇成角，当共线时，称为平角。直角、互相垂直：10.二直线相遇，如二角相等，称为 直角；二直线互相垂直。钝角：11.大于直角的角称为钝角。锐角：12.小于直角的角称为锐角 边界（边）：13.边界是物体的边缘。平行四边形：22.四边形中，；对角相等、对边相等，而边不全相等，角也不是直角者称为平行四边形。平行线：23.在同平面内，二直线向两方向无限延长，不论哪一方向它们都不相遇，称为平行线。与小学材料的定义表达的形式
31、不相同 圆心：（从内部某定点作直线，与边界有相等距离。）16.这个定点称为圆心。直径：过圆心作直线，在边界间的线段称为直径。直径平分圆。图形的高：卷6.4.从顶点到对边所引垂线称为图形的高。三角形、四边形：19.。三条直线围成者称为三角形。四条直线围成四边形。三角形的分类：20.三角形中三边都相等，称为等边三角形；有二边相等称为等腰三角形。21.三角形中有一角为直角，称为直角三角形；有一角为钝角，称为钝角三角形；三个角都是锐角，称为锐角三角形。与小学材料的定义相同或基本相同2.几何原本中立体几何中的定义 体：1.体有长、宽和高。2.体的边界是面。圆锥：18.以直角三角形一直角边为轴旋转一周形成
32、圆锥。圆柱：21.以长方形一边为轴旋转一周，形成圆柱。正方体：六个全等正方形拼成的体，称为正方体。3.几何原本中的公设与公理（1）公设 从一点到另一点只能作一直线；线段(有限直线)可以无限地延长；以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；凡是直角都相等；同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线在这一侧相交。3.几何原本中的公设与公理（2）公理等于同一量的量彼此相等。等量加等量，所得和彼此相等。等量减等量，所得差彼此相等。彼此能够重合的图形，二者全等。整体大于部分。墨翟(公元前468公元前376)墨经是我国战国时期墨家思想的代表作，是由墨家思想的创始人
33、墨翟(图3-1-14)与他的弟子的集体著作，修成的时间在公元前400公元前240年(吴文俊，1998，p.229)。墨经的内容包含哲学、政法、经济、教育、辩学、逻辑、数学、物理等。在数学方面，在墨子的“经上”、“经上说”等篇中，给出了许多几何定义与命题。下面列举与几何原本相应的一些几何定义。1.关于“点”的定义经上61端，体之无序而最前者也。经说上端：是无同也。意思是说：所谓“端”，就是物体中排成序列的点中最前面的一点。物体中任一点与此点都不相同。这包含了几何原本中关于点的第2个定义(线的尽头是点)，并赋予更广阔的意义。2.关于“同长”的定义经上53同长，以正相尽也。经说上同：楗与框之同长也。
34、意思是说：两个物体的长度相互比较，正好一一对应，完全相等。就好像柜门的直木与门框之高等长一样。这与公理(等于同一量的量彼此相等)意思相仿。3.关于“中”的定义经上54中，同长也。经说上中：心。自是往相若也。这里的“中”指物体的对称中心。意思是说：所谓线段的中点，就是到两端长度相同的一点。它是线段的中心，从这一点往两端距离相等。这是几何原本第一卷第10个命题(一条线段可以被分成两条相等的线段)的另一种说法。4.关于“圆”的定义经上58圜，一中同长也。经说上圜，规与交也。这里的“圜”即圆，“中”即为圆心，意思是圆心到圆周上各点的线段长度相等。圆是用规画出来的，并且起点与终点相交的图形。这与几何原本
35、中的公设相同。5.关于“正方形”的定义经上59方，柱隅四权也。经说上方：矩写交也。正方形的四边称为四“柱”，四角称为四“隅”，“权”作“正”解，指边正好相等，角都是直角。意思是说：所谓正方形，就是四条边相等四个角都是直角的图形。这与几何原本中正方形的定义完全相同。6.关于“相交、重合、复合、包含”的定义经上52撄，相得也。经说上撄：尺与尺俱不尽，端与端俱尽。尺与端，或尽、或不尽。坚白之撄相尽，体撄不相尽。所谓“撄(yng）”，就是互相吻合为一。“撄”根据具体情况有不同的意义：直线与直线相交，彼此都不能包含；点与点相叠，能完全重合。点与直线相接，点包含于线，但直线不能被这个点占满。(这好比是)石
36、质之坚与石质之白能存在于同一块石头中，但“坚”与“白”的性质是两种不同的性质，不能相互包含。这里论述了两直线、两点或点与直线的相交后，两者之间的集合关系。这种论述方法与几何原本中“两直线相遇”及“从直线上已知点作垂线”关于两直线或点与直线关系的论述方法更基础。7.关于“平行”的定义经上52平，同高也。经说上谓台执者也。若弟兄。所谓两直线相平，就是两线间的高都相等。就好像身材相同的两兄弟所抬的物体与地面相平一样。这与几何原本中命题：平行线间的公垂线相等，意思相同。平行与垂直【浙教版-平行】1.下面图形认识吗？下面图形认识吗？为什么叫平行四边形？为什么叫平行四边形？平行平行ABCD1.AB和CD平
37、行CD 是AB的平行线 AB是 CD的平行线 2.想一个办法来验证 生：可以把一条直线平移平移看是不是与别一条重合。AB和CD互相平行 不相交的两条直线，叫平行线。平行线就是直线平移得到的直线。看看长方体看看长方体中有没有垂直和中有没有垂直和平行的现象？平行的现象？ABCDEFGH1.AB和EF（），AB和FB（）。2.AB和GH（）。3.AB和CH（）。互相平行互相平行互相垂直互相垂直互相平行互相平行不相交不相交，但不平行但不平行 校园里的平行与垂直校园里的平行与垂直1.判断，有错的请改正确。判断，有错的请改正确。（2）两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。）两条直线相交，那么这两条直线互相
38、垂直。()（1）不相交的两条直线叫平行线。）不相交的两条直线叫平行线。()（3）如图）如图,直线直线a叫垂线，直线叫垂线，直线b叫垂线。叫垂线。()ab在同一平面内，在同一平面内，成直角成直角直线直线b的的直线直线a的的（1）把两根小棒都摆成与）把两根小棒都摆成与第三根小棒第三根小棒平行。平行。3.在网格图中摆小棒在网格图中摆小棒,再填一填。再填一填。（2）把两根小棒都摆成与）把两根小棒都摆成与第三根小棒第三根小棒垂直。垂直。这两根小棒这两根小棒（）这两根小棒这两根小棒（）互相平行互相平行互相平行互相平行两条直线与第三条直线两条直线与第三条直线分别平行分别平行，这两条直线也，这两条直线也（）？
39、）？互相平行互相平行两条直线与第三条直线两条直线与第三条直线分别垂直分别垂直，这两条直线就，这两条直线就（）？）？互相平行今天的学习你有什么收获？今天的学习你有什么收获？还想到了什么新问题？还想到了什么新问题？课堂总结ABCDEFGH什么叫平行四边形？什么叫平行四边形？什么叫梯形？什么叫梯形？第二节 形的度量 米制属于所有人和所有时代 法孔多塞（17431794）长度长度面积面积体积体积长短长短大小大小一维空间的度量。（百度百科）一维空间的度量。（百度百科）两点之间的距离。两点之间的距离。新华词典新华词典用以度量用以度量平面平面或或曲面曲面上一块区域上一块区域大小大小。辞海辞海物体的物体的表面
40、表面或或封闭图形封闭图形的的大小。大小。（新教材）（新教材）用以度量用以度量空间空间区域区域大小大小的的正数正数。辞海辞海物体所占物体所占空间空间的的大小大小。(教材）教材）张奠宙 小学教学2014.9长度长度面积面积体积体积周长周长测量测量长度单位长度单位计算计算面积单位面积单位计计算算体积单位体积单位计计算算度度以身为以身为“度度”排黍成排黍成“度度”辨音定辨音定“度度”光波为光波为“度度”二、面积1.面积与面积单位 物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占的区域具有一定的大小。例如，不同的树叶除了可能形状不同，也会有大小的区别。久而久之人们建立起了“大小”的观念。当建立起物体表面的“
41、大小”观念之后，为了描述它的大小，需要用一个有着“大小”意义的“数”来表达，并称这个数为图形的面积。教师出示右面的七巧板，然后问：这幅七巧板有多大？第一，可以密铺。如果用圆作单位去测量时，圆周围会留出空白。第二，测量方便。也就是说，只要一个紧挨着一个摆入就可以了。如果是其他形状，则需要按照“一颠一倒”去摆放才可能密铺。第三，规定科学。因为正方形的各边等长，如果取边长为1个长度单位，其面积规定为1个面积单位。既满足了数与形的统一，又保持了前后定义的一致性（即长度单位面积单位体积单位）。第四，形状唯一。如面积是1平方厘米的正方形只有唯一的一个。用其他形状作面积单位时，形状往往不具备唯一性。武金壮：
42、关于面积单位的规定探析，小学青年教师2006年第5期，31页。面积单位为什么用正方形？在比较中学习在比较中学习“面积与面积单位面积与面积单位”面积与面积单位的教学反思与实践长度长度面积面积体积体积周长周长测量测量长度单位长度单位计算计算面积单位面积单位计计算算体积单位体积单位计计算算问题问题3：如何在面积单位的描述中逐步感受如何在面积单位的描述中逐步感受到与长度单位之间的联系？到与长度单位之间的联系？问题问题1：如何把面积概念与长度、周长概念如何把面积概念与长度、周长概念进行比较，在比较中逐步抽象出面积的概念？进行比较，在比较中逐步抽象出面积的概念？问题问题2：如何让学生感受到用正方形做为测如
43、何让学生感受到用正方形做为测量图形面积的优越性？量图形面积的优越性？在比较中学习在比较中学习“面积与面积单位面积与面积单位”教学目标：教学目标：1.通过对不同的实物或图形从“长度”、“周长”与“面积”这三个概念的比较，认识并理解面积概念。2.通过用不同的角度描述图形面积，感受到统一面积单位的重要性，让学生经历面积单位的形成过程，形成面积单位“平方厘米、平方分米和平方米”的大小观念，体会到面积单位与长度单位间的联系。3.通过本节课的学习，体会到数学在描述客观事物的方法与作用，感受到数学学习的价值。一、在与一、在与“长度长度”的比较中引出的比较中引出“面积面积”二、在与周长及平面图形的辨析理解面积
44、的定义二、在与周长及平面图形的辨析理解面积的定义三、在解决问题中体验面积单位的形成过程三、在解决问题中体验面积单位的形成过程比一比，说一说比一比，说一说 红笔比绿笔（红笔比绿笔（）。）。黑板面比电视机屏幕面黑板面比电视机屏幕面()。长长大大红笔的（红笔的（）与绿笔的（）与绿笔的（）在比较。）在比较。长度长度长度长度黑板面的（黑板面的（）和电视机屏幕的）和电视机屏幕的()在比较。在比较。大小大小大小大小一、在与一、在与“长度长度”的比较中引出的比较中引出“面积面积”面积面积前概念调查前概念调查 答案答案 数据数据班班级级正确描述正确描述长长和和宽宽在比在比较较没回答或其它没回答或其它人数人数百分
45、比百分比人数人数百分比百分比人数人数百分比百分比益农二小（40人）2665251230任伯年小学任伯年小学（45人）347624920劲松小学（35人）277761726二、在与周长及平面图形的辨析理解面积的定义二、在与周长及平面图形的辨析理解面积的定义1.辨析周长与面积辨析周长与面积2.2.辨析辨析图图形的面形的面积积3概括面积的定义概括面积的定义是封面的是封面的周长。周长。就是封面的就是封面的面积。面积。封面封面封面的封面的大小大小一周的一周的长度长度1.辨析周长与面积辨析周长与面积 答案答案 数据数据 班班级级正确描述正确描述与与“面面”混淆混淆没回答或其它没回答或其它人数人数百分比百分
46、比人数人数百分比百分比人数人数百分比百分比益益农农二小（二小（4040人）人）2121人人53536 6人人15151313人人3535任伯年小学（任伯年小学（4545人）人）2525人人56561 1人人2 21919人人4242劲劲松小学（松小学（3535人）人）2020人人57578 8人人23237 7人人2020下面哪些图形有面积？下面哪些图形有面积？涂色部分能分别表示它们的面积吗？涂色部分能分别表示它们的面积吗？什么样的图形有面积？什么样的图形有面积？封闭图形封闭图形2.2.辨析图形的面积辨析图形的面积六名学生刚好相反，认为六名学生刚好相反，认为图形可以看出图形可以看出它的大小，它
47、的大小，两名学生认为两名学生认为6个图形都可以看出它的大小，个图形都可以看出它的大小，其余学生全都认为其余学生全都认为四个图形可以看四个图形可以看出它的大小，而出它的大小，而图形不可以看出它的大小，图形不可以看出它的大小，占全体学生的占全体学生的95，3.3.概括面积的定义概括面积的定义教师概括学生记忆学生理解三、在解决问题中体验面积单位的形成过程三、在解决问题中体验面积单位的形成过程1.从描述七巧板中引出面积单位从描述七巧板中引出面积单位2.在与长度单位的比较中确定面积单位在与长度单位的比较中确定面积单位3.在多种感观刺激中形成各面积单位观念在多种感观刺激中形成各面积单位观念 答案答案 数据
48、数据班班级级写出名称写出名称写成写成长长度度单单位位的的没回答或其它没回答或其它人数人数百分比百分比人数人数百分比百分比人数人数百分比百分比益益农农二小（二小（4040人）人）5 5人人13131010人人25252525人人6363任伯年小学（任伯年小学（4545人）人）1111人人24249 9人人20202525人人5656劲劲松小学（松小学（3535人）人）1010人人29297 7人人20201818人人5151（1）这幅七巧板中，（）这幅七巧板中，（）号和（）号和（）号图形的）号图形的面积最大。面积最大。2.把把号图形看作号图形看作1 1个单位，个单位，这幅七这幅七巧板有（巧板有（
49、）个这样的单位。）个这样的单位。3.把把号图形看作号图形看作1 1个单位，个单位，这幅七这幅七巧板有（巧板有（）个这样的单位。）个这样的单位。测量面积时首先要确定统一的测量面积时首先要确定统一的面积单位。面积单位。说一说，这幅七巧板有多大？说一说，这幅七巧板有多大？12481.1.因需要引出面积单位因需要引出面积单位选用什么图形作为面积单位的形状最合适呢？选用什么图形作为面积单位的形状最合适呢？取边长是多少的正方形作为面积单位的形状？取边长是多少的正方形作为面积单位的形状？2.2.用操作选择面积单位的形状。用操作选择面积单位的形状。选用什么图形作为面积单位的形状最合适呢？选用什么图形作为面积单
50、位的形状最合适呢？取边长是怎样的正方形作为面积单位的形状？取边长是怎样的正方形作为面积单位的形状？3.3.用类推建立面积单位体系用类推建立面积单位体系（1 1）用长度单位描述面积单位）用长度单位描述面积单位（2 2）经变式拓展面积单位认识）经变式拓展面积单位认识（3 3）为测量创造合适的面积单位）为测量创造合适的面积单位1厘米1平方厘米1平方分米边长是边长是1分分米的正方形米的正方形剪拼成其剪拼成其它图形它图形折叠成曲面折叠成曲面长方形长方形书本封面书本封面黑板面黑板面（3）一块黑板长）一块黑板长4（）,面积是面积是4（）（2）一块手帕的面积是）一块手帕的面积是4（）（1）一张邮票的面积是）一