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1、学习好资料 欢迎下载 三角函数的最值问题 王俊胜 求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。下面谈谈这方面的题型：一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型（1）可将函数式化为的形式求解的问题，形如或的函数适用。例 1 已知函数，当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合。分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将降次处理，再应用 asinx bcosx，其中的知识，转化原函数式。解：当
2、且仅当时，y 取得最大值。故所求的自变量 x 的集合为。解后反思：对形如的函数最值问题，需先将 sinxcosx、降次，化归为的最值问题求解。例 2 求函数的值域。学习好资料 欢迎下载 分析：原函数的解析式中只含有 cosx 的一次式，所以可反解出 cosx，再利用余弦函数的有界性求出 y 的取值范围。解：由 又因 所以。解后反思：对本题也可先将函数式变为，所以知。（2）可将函数化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用。例 3 求函数的值域。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有 cosx 的一次式，而分母是含 sinx的一次式，不能直接解出 cosx 或 sinx，通常是化作求
3、解。解法 1：由 得 所以 所以 因为 所以，由此解得 仅需要用到三角函数的定义域值域单调性图像和三角函数的恒等变形而且还常涉及到函数不等式方程几何等众多知识其概念性强具有一定的综合性和灵活性下面谈谈这方面的题型一可转化为利用正余弦函数的有界性求解的最值问题时求自变分析本题考察逆用正弦函数的性质的能力先将降次处理再应用其中的知识转化原函数式解当且仅当时取得最大值故所求的自变量的集合为解后反思对形如降次化归为的函数最值问题需先将的最值问题求解例求函数的值域学解由又因所以解后反思对本题也可先将函数式变为所以知可将函数化为的形式求解的问题形如或者形如的函数适用例求函数的值域分析此函数的解析式与上例不
4、同分式中的分子含有的一次式而分母是含的一次式不能直接解出或通常学习好资料 欢迎下载 所以函数的值域为 1，1 解后反思：对此类问题也可通过几何方法来求解，现介绍如下：解法 2：由，设点 P（sinx，cosx），Q（2，0），则可看作是单位圆上的动点 P与点 Q连线的斜率，即。所以。所以函数的值域为 1，1 二、可转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，典型的是（1）形如的值；例 4 如果，那么函数的最小值是（）A.B.C.D.分析：因为 所以，这显然可联系二次函数的知识来源。解：由则当时，f(x)有最小值，故选 D。解后反思：对形如型的函数最值，可转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，但需
5、要注意新元 t 的取值范围。（2）形如的最值 例 5 求函数的最值。仅需要用到三角函数的定义域值域单调性图像和三角函数的恒等变形而且还常涉及到函数不等式方程几何等众多知识其概念性强具有一定的综合性和灵活性下面谈谈这方面的题型一可转化为利用正余弦函数的有界性求解的最值问题时求自变分析本题考察逆用正弦函数的性质的能力先将降次处理再应用其中的知识转化原函数式解当且仅当时取得最大值故所求的自变量的集合为解后反思对形如降次化归为的函数最值问题需先将的最值问题求解例求函数的值域学解由又因所以解后反思对本题也可先将函数式变为所以知可将函数化为的形式求解的问题形如或者形如的函数适用例求函数的值域分析此函数的解
6、析式与上例不同分式中的分子含有的一次式而分母是含的一次式不能直接解出或通常学习好资料 欢迎下载 分析：利用之间的关系，通过换元就可使原函数转化为二次函数。解：设 则 于是 故当时，即时，当 t=1 时，即时，解后反思：函数的最值问题形同质异，需注意解法的不同。三、转化为可利用均值不等式求解的最值（1）函数的最值；例 6 求函数的最值。例 7 求函数的最值。（2）函数的最值。转化思想：由，从而求出函数的最值。四、利用其它方法求解的最值问题（如单调性、判别式、图像法等）仅需要用到三角函数的定义域值域单调性图像和三角函数的恒等变形而且还常涉及到函数不等式方程几何等众多知识其概念性强具有一定的综合性和
7、灵活性下面谈谈这方面的题型一可转化为利用正余弦函数的有界性求解的最值问题时求自变分析本题考察逆用正弦函数的性质的能力先将降次处理再应用其中的知识转化原函数式解当且仅当时取得最大值故所求的自变量的集合为解后反思对形如降次化归为的函数最值问题需先将的最值问题求解例求函数的值域学解由又因所以解后反思对本题也可先将函数式变为所以知可将函数化为的形式求解的问题形如或者形如的函数适用例求函数的值域分析此函数的解析式与上例不同分式中的分子含有的一次式而分母是含的一次式不能直接解出或通常学习好资料 欢迎下载 例 8 求函数的最值。分析：此题可用单调来求解，也可以用图像法。例 9 求函数的最值。分析：此题可通过
8、变形成形式，再应用判别式来求最值。五、含参数的最值问题 例 10 求函数的值域。例 11 设函数的定义域为，值域为 2，3，求 a,b的值。分析：此类题目需对参数进行讨论。仅需要用到三角函数的定义域值域单调性图像和三角函数的恒等变形而且还常涉及到函数不等式方程几何等众多知识其概念性强具有一定的综合性和灵活性下面谈谈这方面的题型一可转化为利用正余弦函数的有界性求解的最值问题时求自变分析本题考察逆用正弦函数的性质的能力先将降次处理再应用其中的知识转化原函数式解当且仅当时取得最大值故所求的自变量的集合为解后反思对形如降次化归为的函数最值问题需先将的最值问题求解例求函数的值域学解由又因所以解后反思对本题也可先将函数式变为所以知可将函数化为的形式求解的问题形如或者形如的函数适用例求函数的值域分析此函数的解析式与上例不同分式中的分子含有的一次式而分母是含的一次式不能直接解出或通常