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1、大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1 能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍n,4,3,2,对频率为 的谐振子,最小能量为:h 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905 年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解
2、释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式hmcE2 hmp v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()(2),(22trrVmtrti 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率
3、波。自由粒子的波函数)(expEtrpiAk 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4.波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设 C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 1 必然有以下归一化条件 5.力学量的平均值 2|(,)|x y z2|(,)|x y zx y zx y z 2|(,)|1x y zdxdy
4、dz(,)x y z(,)cx y zieC(,)iex y z(,)x y z既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如 x 的平均值x_，由概率论，有 又如，势能 V是 r的函数：)(rV，其平均值由概率论，可表示为rdrrVrV3*)()()(rdrrVrV3*)()()(再如，动量 的平均值为：为什么不能写成 因为 x 完全确定时 p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为p_rdrpr3*)()(其中 为动量 的算符 6.算符 量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算 如动量算符ip 能量算符
5、EtiE 动能算符222mT 动能平均值rdrTrT3*)()(角动量算符prl 角动量平均值rdrlrl3*)()(薛定谔方程),(),(2),(22trtrVmtrti 算符 ，被称为哈密顿算符，7.定态 数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 方程 称为能量本征方程，被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。当 E 为确定值，),(tr=)(rE)exp(Eti拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：22|()|(,)|rx y z),(zyxr 23*3|()|()(),xrxd rr xr d r3d rdxdydz*3()(),pp pp d prdrrprp3*)
6、()()(ippAfafA算符,f 本征函数,a 本征值22()2HV rm 22()()()()()2EEEEV rrErHrErm)(rE些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波
7、动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称 粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理 但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即)()(xcxnnn，具有),(中发现粒子处于态)(表示在态|2xxcnn的概率能量nE 9.宇称 若势函数 V（x）=V（-x），若)(x是能量本征方程对于能量本征值 E的解，则)
8、(x也是能量本征方程对于能量本征值 E的解 具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(xxxVxVEx 10.束缚态 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11.一维谐振子的能量本征值 12.隧穿效应 量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取
9、决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如 H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式 一般说来，算符之积不满足交换律，即 ，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx 定义空间反演算符 为如果或，称具有确定的偶宇
10、称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称.,2,1,0,)2/1(nnEEnABBAABBABABA,设,和些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性
11、可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称对易式 ，通常 坐标对易关系 角动量的对易式,0,0,0,0,0,0,zyxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxyzzyyyxxxplpiplpiplpiplplpiplpiplpiplplzlxiylyixlxizlylzixlyizlziylxl yxzxzyzyxzzyyxxlilllilllillllllll,0,0,0,14.厄密算符平均值的性质,*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则AAAA。即记为*,AAA先转置，再共轭。*AdAd 体系的任何状态
12、下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15.量子力学关于算符的基本假设 1、微观粒子的状态由波函数 描写。2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程 0,BA,0,iipzyx,0,0,0,2222222zyxzyxllllllllll有令),(tr2|),(|tr2222(,)()(,)(,),2(,)2ir tVr tHr ttmHV r tm 哈密顿算符些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐
13、振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称 16.算符的本征方程，本征值与
14、本征函数 数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 3*其中，,)(均可展开如下：状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如是算符和draaxAAAnnnnnnnnn17.不确定度关系的严格表达 18.两个算符有共同本征态的条件 两个算符对易，即0,BA 19.力学量完全集 若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而
15、且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。20.力学量完全集共同本征态的性质 AfafA算符,f 本征函数,a 本征值,nnnnnAAAnAAAAAA满足的和 不止一组可能有 组，因此此式称为 的本征方程，称为 的一个本征值，称为 的一个本征态。些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说
16、的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称 若能级简并 21.守恒量 对于 Hamilton 量 H不含时的量子体系，如果力学量 A与 H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把 A 称为量子体系的一个守恒量。22
17、.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用 把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|表示态矢，左矢|表示其共厄矢量，是内积，大于等于 0，称为模方。|是外积。*的共轭态量子态左矢|；代表量子态右矢|是力学量完全集若k),(是如球谐函数,|的本征态，则2zlmkllYkF lmYlm|的共同本征函数，采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。kkkkkkPIPIkk为投影算符|,或|算符向左作用 些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振
18、子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称 23.角动量平方和角动量 z 分量的共同本征函数 immlmlmzePmlmllYll)(cos)!()!(412)1(),(的共同
19、本征函数为和这样，2,2,1,0,1,1,其中lllllm,2,1,0,1,1,)1(足称为球谐函数，它们满22lllllmYmYlYllYlYlmlmzlmlmlm注意量纲 注意，推导过程计算题有可能要考 24.氢原子的能量本征值与能级简并度,3,2,1,121222224nnaeneEEn 简并的氢原子的能级是2n 25.正常 Zeeman 效应 原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26.电子自旋 电子的基本性
20、质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称 自旋不是机械的自转 27 关于电子自旋的 Stern-Gerlach实验 些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可
21、以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由 O.斯特恩和 W.革拉赫在 1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉 O内蒸发,通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片 P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。实验上高温炉中的 Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎
22、不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构 自旋。性。其根源正是电子的果，而是原子的故有特外界因素作用的结效应不同，此现象并非与。0.589，6.589两条谱线构成：是由行观测，发现它实际上用高分辨率的光谱仪进,3.589的跃迁产生一条黄线33对钠原子，21Zeemannmnmnmsp 29.量子跃迁与选择定则。1|能跃迁到第一激发态只0|振子从基态在外电场的激发下，谐。这称为跃迁的选择定则的跃迁发生，1表明允许谐振子不能发生，0，30，20可以发生，10以上结果表明，1,0)(,02)(022221022nnnPeqPn 即谐振子只能跃迁到相邻能
23、级 30.禁戒跃迁 些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个
24、意义出发可将粒子的波函数称的跃迁是禁戒的。到者说，从的跃迁是不可能的，或到表明从，0，0，使得若存在这样的末态)13(|1)(时，有的概率。当跃迁到末态代表系统从初态)(则,|)(|)(令)12(1)(已知20220kkkkPHkdtHetPkkkktPtCtPdtHeitCkkkktkktikkkkkkkktkktikkkkkkkk 的跃迁为禁戒跃迁。0，30，20。或者说，1其中,|能跃迁到激发态不0|振子从基态在外电场的激发下，谐nnn 31.微扰论的思想 解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密
25、顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。32.突发微扰与绝热微扰 做绝热微扰。样的微扰叫会改变系统的状态，这地作用到系统上时，不当外界的微扰十分缓慢做突发微扰。这样的微扰叫不会改变系统的状态，地作用到系统上时，也当外界的微扰十分突然 33.能量与时间不确定度 不能同时为零。度，同系统能量的不确定变化快慢的周期此式反映了一个力学量2此式的一般形式为：确定度关系，可以证明被称为时间能量的不EttEhEt34.能级宽度与谱线宽度
26、展宽。一个宽度，这叫能级的所以，所有的能级都有2由于能量不确定性tEk 些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所
27、以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称称为谱线宽度。,这叫谱线的展宽/)(其中，,该是谱线的频率应.频率范围一个频率，而是有一个/)(发出的谱线，就不止时，跃迁到，所以，当电子从,既然能级有展宽，即10)0(1)0(011)0(11)0(hEEhEEEEEEEEEEkkkkkkkkkkkk35.半经典理论 36 吸收，受激辐射，自发辐射 后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结 PPT，但是那个 PPT只给了考点范围，没有给概念解释，所以我查阅了 PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。本复习资料只能应付填空和问答题
28、，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。些线性谐振子可以发射和吸收辐射能这些谐振子只能处于某些分立的状态在这些状态下谐振子的能量不能取任意值只能是某一最小能量的整数倍对频率为的谐振子最小能量为波粒二象性波粒二象性是指某物质同时具备波的特质及粒典型例子是光后者则组成了我们常说的物质年爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质年德布罗意提出物质波说认为和光一样一切物质都具有波粒二象性根据这一说电子也会具有干涉量波函数来描述粒子所具有的波粒二象性波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示中振幅表示波动在空间一点上的强弱所以其应该表示粒子出现在点附件的概率大小的一个量从这个意义出发可将粒子的波函数称