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1、初等量子力学的四块内容 一、薛氏方程 C1：波函数与薛氏方程 1、付氏变换：（动量坐标为正）/33 21()()(2)i p rrp ed p 2、函数的两个重要极限及一个积分公式 1()2i xxed（相当于物理中的波粒转换）其推导过程：000()0()()()1()()2ix xf xf xxx dxf xdxdf x e 两式比较得出。24()limii xxee（试题 1.5 用到）24iiede（好像与某个积分是一样的，只是有些变换）3、证明技巧 等式一边含有V，而一边没有。222Vm 肯定是作为一个整体消去的。4、波函数平方可积的要求 23(3/2),()sd rArrr 全（0s
2、）可以在证明某些概率守恒的式子时（体积分面积分VSAdVA ds），可以得到一些式子的积分为 0。5、(,0)(,)xx t 先将(,0)x展为能量本征态的线性组合（自由粒子时即可以通过付氏化为()p），再/(,)()iEtEnx tCx e。C2：一维势场中的粒子 1、各种势类型 方势、势、谐振子、半壁无限谐振子（谐振子奇数解）、半壁无限方势、不对称方势阱。2、()()(),()nnnnnxCxCxx。*()()nnCxx dx（注意积分范围）221122222221122HCECEHCECE 3、无限深势阱的解 2sin()()0nn xxaa。22222nnEma（能量可通过22222P
3、Emm 求得）4、谐振子的解 2 21 2()(2!)()nxnnxneHx 其中m。5、递推关系 12()2()2()0nnnHxxHxnHx 1()2()nnHxnHx()(1)()nnnxx（所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足）C5：中心力场 1、径向波函数()()R rrr 22(1)()()()02lll lrEV rrr 0r 时，若有20lim()0rr V r，则()llR rr。2、无限深球方势阱 1 S 态（0l），其与无限深方势阱一样。20l 时，令kr 则本征方程 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧
4、等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要222(1)()()()00()0lllll lRrR rkR rrarrR abound
5、rycondition 转化为球 Bessel 方程。()()llR rj kr，从()0lj ka 导出能量本征值。3、三维各向同性谐振子（合流超几何函数）3()22NrENNnl 简并度：1(1)(2)2nfNN，若计及电子自旋时，则2。F-H定理：对l求导，可得出21r，对求导，可得出2r。球坐标直角坐标 01110001 101001000112201220001ii（相当于在三、四象限）4、氢原子（合流超几何函数）22112NreEnnla n ，其中22ae（Bohr 半径）。简并度：2nfn，若计及电子自旋时，则2。F-H定理：对l求导，可得出21r。位力定理可得出类氢原子1r，
6、2p，在计算过程要注意电荷量Z。基氢波函数：1 2/10031()r aea。5、圆轨道（0,1rnnl）最概然半径：20,1()0ndrdr0/0,1()Zr nannrCr e。20/nrn aZ。6、二维不对称谐振子 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才
7、可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要222211(,)22xyV x yxy，在计算简并度，把 N表示成,xyn n的表达式。7、二维 Coulomb 势 C9：力学本征值的代数解法 二、算符理论 C3：力学量用算符表示 1、厄米算符(,)(,)AA（即可以把算符写在任意函数前）22(,)(,)0AAAA 2、不确定公式 1/2,1/2,ABABA B （不确定度与对易平均值有关）3、球谐函数 21()
8、!(1)(cos)4()!mmimlmlllmYPelm 4、箱归一化 若要ix为厄米算符，周期条件：()()22LL。5、BK（Baker-Hausdorff）公式（通过定义函数来证明）1 21 2(,)A BABCBACee e ee e eA BC 6、在计算某个算符的平均值时，可以通过对易关系化为算其它算符的平均值。2,2ppimr Hripr Hmm,zxylil l。C4：力学量随时间变化与对称性 1、三个定理 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证
9、明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要1 位力定理（定态时成立，即能量本征态，由,0dir pr p Hdt 导出）212prVTrVm 2 Ehrenfest定理（newton law）22()dmrF
10、 rdt由下面两个式子导出 1,1,()()dprr Hdtimdpp HV rF rdti 3 F-H（Feynman-Hellmann）定理 nnnEH（证明题中右矢与左矢的对应运用）2、守恒量 1(),dA tA HAdtit 3、Heisenberg 图像（给算符加一个时间算符）/()(,0)(0)(,0)(0)iH tiH tA tU tAU teAe 导出 Heisenberg 方程1()(),dA tA t Hdti。（可以解算符随时间的变化情况）。4、全同粒子（交换算符）Fermi子不能有两个粒子处于同一个态。把粒子能待的态选好后，由于对称性要求 Bose子和 Fermi 子都
11、只有一种波函数，关键在于选好粒子处于哪些态。三、矩阵力学 C7：量子力学的矩阵形式与表象变换 四、相互作用 C6：电磁场中粒子的运动（电子与磁场作用）式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理
12、对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要1、H 量 21()2qAHPqC 1BAEACt 本征方程：2222122qqipA PAqtCC ，比无作用时多出二项。（其中利用了0A）2、正常 Zeeman 效应（氢原子+zl作用项）恒磁场沿 Z 方向，取相应的矢势12ABr。11,022xyzABy ABx A 2222221()()24zeBe BHplxyV rCC 比氢原子多出两项，zl作用项，反磁项。（在原子中反磁项太小可忽略）能量本征态（与氢原子一样），取2(,)zH
13、ll的本征态。能级：rrn lmn lLEEm。定义电子轨道磁矩：2zzelC，Larmor 频率2LeBC。3、Laudau 能级（两维对称谐振子+zl作用项+一维自由粒子）两维对称谐振子：222222021()24xye BHppxyC。zl作用项：112zeBHlC。式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的
14、解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要一维自由粒子：2212zHp。4、电场与磁场垂直：(,0,0),(0,0,)BB，则可取,(0,0)x ABx。C8：自旋（四维空间）1、Pauli 算符三性 对易关系、归一性、厄米性。双 Pauli 算符的关系（诸如：xyzi），所以任意级数都可以表示成线性形式（如可令：0123zziixxyzeeC ICCC），单
15、独线性算符的迹为 0。2、总角动量的本征态（22(,)zH ljj）自旋轨道作用项：2211()2dVr s ls lCr dr。先假定：1(,)lmzlmaYsbY 推导过程为：2ll（相同），,1zjm m（相差为 1，是因为自旋的原因），2,ja b（推导出两者系数之间的关系）利用关系式222324jls l ，计算在能量本征态下s l 的平均值。综上：11/2jl 11121lmljmlmlmYllmY 21/2(0)jll 11211lmljmlmlmYllmY 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定
16、是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要30l（无轨道角动量）00111 10000222 20,0YY 3、光普双线结构（径向方程不同，导致能级分裂）11
17、/2jl 2()()()2lAr R rER r 21/2(0)jll 2(1)()()()2lAr R rER r 4、反常 Zeeman 反常 Zeeman=自旋轨道作用+正常 Zeeman 即（eg:p 态）1/2(21)1/2jlljmjl 选择定则：1,0,1,0,1.jljm 5、单态（波函数对称为 Fermi 子）与三态（波函数对称为 Bose 子）就是讨论双电子轨道杂化212(,)(,)zs sSS的转换。6、一些总结 在某态下求算符的可能测值，必须先给出算符的所有本征态，再波函数按本征态展开。在求某态随时间变化时，必须给出 H量的本征态与能级。在找角动量的守恒集时，H量含角动
18、量的交叉项（12s s），首选2(,)zSS的共同本征函数。C10：微扰论 1、束缚态 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合
19、流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要(1)(0)(0)(2)(1)(0)(3)(2)(0)EHEHEH(3)(1)(1)(1)EHE 1 非简并 一级近似：(1)(1)(0)nnna(1)kkkEH，(1)(0)(0)(0)nknnknHEE。二级近拟：2(2)(0)(0)nkknknHEEE。2简并（确定零级波函数的分量系数运用久期方程得出分裂能级，从而破缺）(0)(0)1nfkka 久期方程(1)det0HE 3 近简并（按简并处理）2、散射态 入射波（平面波）：ikzie 出射波：()ikrikzeefr Lippman-Schw
20、inger 方程（Green函数-积分表示解）(0)322()()(,)()()rrd r G r r V rr Born 近似：（势函数为球对称的情形有下列公式）式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电
21、子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要202()()sin()frV rqr drq （2 sin2qk）微分散射截面为上式的平方。总截面：202()sinfd。势函数不同可以算出许多微分截面。3、重要积分公式：222 2/40cos2baxeebxdxa（若0b，则是一个很熟知的积分公式）220sinxbebxdxab 4、全同粒子散射 由于波函数的对称要求，不知道粒子从哪个方向射过来。所以微分截面如下：2()()()ff 5、球谐函数算矩阵元 1111cosl
22、mlmlmlmlmlmZYYaYaYr 1,11111sinilmlmlmlmlmlmxiyYeYbYb Yr 1,111,11sinilmlmlmlmlmlmxiyYeYbYbYr 22(1)(21)(23)lmlmall(1)(2)(21)(23)lmlmlmbll C11：量子跃迁 C12：近拟方法 式相当于物理中的波粒转换其推导过程两式比较得出试题用到好像与某个积分是一样的只是有些变换证明技巧等式一边含有而一边没有肯定是作为一个整体消去的波函数平方可积的要求全可以在证明某些概率守恒的式子时体积分面粒子各种势类型方势势谐振子半壁无限谐振子谐振子奇数解半壁无限方势不对称方势阱注意积分范围无限深势阱的解能量可通过求得谐振子的解其中递推关系所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足中心力场径向波函数则振子合流超几何函数简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出对求导可得出球坐标直角坐标相当于在三四象限氢原子合流超几何函数其中半径简并度若计及电子自旋时则定理对求导可得出位力定理可得出类氢原子在计算过程要