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1、学习必备 欢迎下载 生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()32f xxx在区间 1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数 c 6 ；3函数331xxy有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程
2、1曲线34yxx在点1,3 处的切线方程是 2yx 2若曲线xxxf4)(在 P点处的切线平行于直线03yx，则 P点的坐标为 （1，0）3若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy 垂直，则l的方程为 430 xy 4求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy 过点 P(3,5)的切线；解：（1）123|yk 23 1)1,1(1x/2/23上，在曲线点xxyxxyP 所以切线方程为02 11yxxy即，（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200 xy 又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为
3、0/2|0 xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000 xyx，由联立方程组得，255 110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201 xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202 xk；所以所求的切线有两条，方程分学习必备 欢迎下载 别为2510 12)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1已知函数)1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为 y=3x+1 （）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy
4、在 3，1 上的最大值；（）若函数)(xfy 在区间 2，1 上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得 过)1(,1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即 而过.13)1(,1)(xyfPxfy的切线方程为上 故3023323cabacaba即 124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在 由得 a=2，b=4，c=5 .542)(23xxxxf （2）).2)(23(443)(2xxxxxf 当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时 13)2()(.
5、0)(,132fxfxfx极大时当 又)(,4)1(xff在 3，1 上最大值是 13。（3）y=f(x)在 2，1 上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf 在 2，1 上恒有)(xf 0，即.032bbxx 当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线
6、的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时 综上所述，参数 b 的取值范围是),0 2已知三次函数32()f xxaxbxc在1x 和1x 时取极值，且(2)4f (1)求函数()yf x的表达式；(2)求函数
7、()yf x的单调区间和极值；(3)若函数()()4(0)g xf xmm m在区间3,mn上的值域为 4,16，试求m、n应满足的条件 解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320 xaxb 的两个根，解得，0,3ab 再由(2)4f 可得2c 3()32f xxx (2)2()333(1)(1)fxxxx ，当1x 时，()0fx；当1x 时，()0fx；当11x 时，()0fx；当1x 时，()0fx；当1x 时，()0fx 函数()f x在区间(,1 上是增函数；在区间 1,上是减函数；在区间1,)上是增函数 函数()f x的极大值是(1)0f ，极小值是(1)4f (
8、3)函数()g x的图象是由()f x的图象向右平移m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数()f x在区间 3,nm上的值域为 44,164 mm（0m）而(3)20f ，4420m ，即4m 于是，函数()f x在区间 3,4n上的值域为 20,0 令()0f x 得1x 或2x 由()f x的单调性知，142n剟，即36n剟 停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方
9、程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n剟 3设函数()()()f xx xaxb（1）若()f x的图象与直线580 xy 相切，切点横坐标为，且()f x在1x 处取极值，求实数,a b 的值；（2）当 b=1 时，试证明
10、：不论 a 取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点 解：（1）2()32().fxxab xab 由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1 （2）当 b=1 时，()0fx 令得方程232(1)0.xaxa 因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx 不妨设21xx，由)(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf 因此1x是极大值点，2x是极小值点，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象 1如右图：是 f（x）的导函数，
11、)(/xf的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（D ）（A）（B）（C）（D）2函数的图像为14313xxy(A )停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学
12、习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 3方程内根的个数为在)2,0(076223 xx (B )A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1设函数.10,3231)(223abxaaxxxf （1）求函数)(xf的单调区间、极值.（2）若当 2,1aax时，恒有axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）22()43fxxaxa =(3)()xaxa，令()0fx 得12,3xa xa 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+
13、）()fx-0+0-()f x 极小 极大 ()f x在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减 xa时，34()3fxba 极小，3xa时，()fxb极小 （2）22()43fxxaxa 01a，对称轴21xaa，()fx在a+1，a+2 上单调递减 22(1)4(1)321Maxfaa aaa ，22min(2)4(2)344faa aaa 依题|()|fxa|Maxfa，min|fa 即|21|,|44|aaaa x y o 4-4 2 4-4 2-2-2 x y o 4-4 2 4-4 2-2-2 x y y 4-4 2 4-4 2-2-2 6 6 6 6 y x-
14、4-2 o 4 2 2 4 停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若
15、函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 解得415a，又01a a 的取值范围是4,1)5 2已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x 1，2，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f （x）3x22axb 由 f （23）124ab093，f （1）32ab0 得 a12，b2 f （x）3x2x2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：x（，23）23（23，1）1（1，）f（x）0 0 f（x）极大值 极小值 所以函数 f（x
16、）的递增区间是（，23）与（1，），递减区间是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x 1，2，当 x23时，f（x）2227c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x 1，2）恒成立，只需 c2 f（2）2c，解得 c 1 或 c 2 题型六：利用导数研究方程的根 1已知平面向量a=(3,1).b=(21,23).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使x=a+(t2 3)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式 k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1)xy，x y=0 即a+(t2
17、-3)b(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+t-k(t2-3)a b+(t2-3)2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3)停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即
18、切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线 f(t)=41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数.于是 f(t)=43(t2-1)=43(t+1)(t-1).令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(t)+0-0+F(t)极大值 极小值 当 t=1 时，f(t
19、)有极大值，f(t)极大值=21.当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21 函数 f(t)=41t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k21或 k21时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=21或 k=21时,方程 f(t)k=0有两解；(3)当21k21时,方程 f(t)k=0 有三解.题型七：导数与不等式的综合 1设axxxfa3)(,0 函数在),1 上是单调函数.（1）求实数a的取值范围；（2）设0 x1，)(xf1，且00)(xxff，求证：00)(xxf.解：（1）,3)(2axxfy若)(xf在,1上是单调递减函数，则须,3,0
20、2xay即这样的实数 a 不存在.故)(xf在,1上不可能是单调递减函数.停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单
21、调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 若)(xf在,1上是单调递增函数，则a23x，由于33,12xx故.从而 0a3.（2）方法 1、可知)(xf在,1上只能为单调 增函数.若 1)(00 xfx，则,)()(000矛盾xxffxf 若 1)(),()(,)(000000 xfxxfxffxxf即则矛盾，故只有00)(xxf成立.方 法2：设00)(,)(xufuxf 则，,03030 xauuuaxx两 式 相 减 得00330)()(xuuxaux 020200,0)1)(xauuxxux1,u 1，30,32020auuxx
22、又，012020auuxx 2已知a为实数，函数23()()()2f xxxa（1）若函数()f x的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若(1)0f，（）求函数()f x的单调区间（）证明对任意的12(1,0)xx 、，不等式125|()()|16f xf x恒成立 解：3233()22f xxaxxa，23()322fxxax 函数()f x的图象有与x轴平行的切线，()0fx有实数解 2344 302a ，292a，所以a的取值范围是332222 （，）(1)0f，33202a ，94a，2931()33()(1)222fxxxxx 由()0,1fxx 或12x ；由1()0,
23、12fxx ()f x的单调递增区间是1(,1),(,)2；单调减区间为1(1,)2 停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数
24、研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 易知()f x的最大值为25(1)8f ，()f x的极小值为149()216f，又27(0)8f()f x在 10，上的最大值278M，最小值4916m 对任意12,(1,0)x x ，恒有1227495|()()|81616f xf xMm 题型八：导数在实际中的应用 1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为x m，则41x 由题设
25、可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（单位：2m）帐篷的体积为：)(V228233xxx）（1)1(31x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V2xx）（。令0V）（x，解得2x（不合题意，舍去），2x，当21x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V）（x，）（xV为减函数。当2x时，）（xV最大。答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/停地追求以形形色色的自我表现
26、的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载 小
27、时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx 已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当40 x 时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为()h x升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx 332
28、280080()(0120).640640 xxh xxxx 令()0,h x 得80.x 当(0,80)x时，()0,()h xh x是减函数；当(80,120)x时，()0,()h xh x是增函数。当80 x 时，()h x取到极小值(80)11.25.h 因为()h x在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。题型九：导数与向量的结合 1设平面向量3113(),().2222ab，若存在不同时为零的两个实数 s、t
29、及实数 k，使，且yxbtasybktax,)(2（1）求函数关系式()Sf t；停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究
30、函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下学习必备 欢迎下载（2）若函数()Sf t在，1上是单调函数，求 k 的取值范围。解：（1）).23,21(),21,23(ba10aba b，2222223,0000 xy xyatk bsatbsat tk btstsk a bstktsf ttkt 又，得（）（），即（）-（）。（），故（）。（2）上是单调函数，）在（且）（132tfkttf 则在,1上有00)(）（或tftf 由3)3(3030)(min222ktktkkttf；由223030)(tkkttf。因为在 t,1上23t是增函数，所以不
31、存在 k，使23tk 在,1上恒成立。故 k 的取值范围是3k。停地追求以形形色色的自我表现的形式表现出来泰戈尔导数题型分析及解题方法一考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数两个函数的和差基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二热极大值题型二利用导数几何意义求切线方程曲线在点处的切线方程是曲线在点处的切线平行于直线则点的坐标为曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程曲线在处的切线曲线过点的切线解上在曲线点所以切线方程为得或即切点为时切线斜率为当切点为时切线斜率为所以所求的切线有两条方程分学习必备欢迎下载别为或即或题型三利用导数研究函数的单调性极值最值已知函数过曲线上的点的切线方程为若函数在处有极值求的表达式在的条件下