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1、I)如图1所示的四面体;根电阻丝连接而成,求两 R 顶点 A、B间的等 B 一:有限电阻网络 原则上讲解决复杂电路的一般方法,使用基尔霍 夫方程组即可。它包含的两类方程出自于两个自 然的结论:(1)对电路中任何一个节点,流出的 电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个 闭合回路,都符合闭合电欧姆定律。下面我介绍 几种常用的其它的方法。1:对称性简化 所谓的对称性简化,就是利用网络结构中可能存 在的对称性简化等效电阻的计算。它的效果是使 计算得以简化,计算最后结果必须根据电阻的 串、并联公式;电流分布法;极限法等来完成。在一个复杂的电路中,如果能找到一些完全对称 的点,那么当在这个电路两端加上
2、电压时,这些 点的电势一定是相等的,即使用导线把这些点连 接起来也不会有电流(或把连接这些点的导线去 掉也不会对电路构成影响),充分的利用这一点 我们就可以使电路大为简化。例(1)如图1所示的四面体框架由电阻都为 的6 根 效电阻 图2 分析:假设在A、B两点之间加上电压,并且电流 从A电流入、B点流处。因为对称性,图中 CD 两点等电势,或者说C、D间的电压为零。因此,CD间的电阻实际上不起作用,可以拆去。原网 络简化成简单的串、并联网络,使问题迎刃而解。解:根据以上分析原网络简化成如图 2所示的简 单的串、并联网络,由串、并联规律得 RAB=R/2 例(2)三个相同的金属圈两两正交地连成如
3、图 所示的形状,若每一个金属圈的原长电阻为 R,试求图中A、B两点之间的等效电阻。A A B B 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电
4、阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简【J E 图6 F C-F 分析:从图3中可以看出,整个电阻网络相对于 AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性,因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从 如图4所示的网络中可以看出,从 A点流到0 电流与从0点到B电流必相同;从 A1点流到0 电流与从0点到B1电流必相同。据此可以将 0 点断开,等效成如图5所示的简单网络,使问题 得以求解 解:根据以上分析求得 RAB=5R/48 例(3)如图6所示的立方体型电路,每条边的 电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少 分析:假设在A、G两点之
5、间加上电压时,显然 由于对称性D、B、E的电势是相等的,C、F、H 的电势也是相等的,把这些点各自连起来,原电 路就变成了如图7所示的简单电路。b-l B-I I I DT-I I-T E -H 图7 解:由简化电路,根据串、并联规律解得 RAG=5R/6 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的
6、导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简1阻 均 为 A R/4 R/4 R/2 R/2 O B A X (同学们想一想,若求A、F或A、E之间的电阻 又应当如何简化)例(4)在如图8所示的网格形网络中,每一小 R试求A、_BO之间的等效电阻 RAB 1 -A C 图 10 图11 分析:由于网络具有相对于过 A、B对角线的对称 性,可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根
7、据等电势点之间可以拆幵也可以合并的思想简 化电路即可。解法(a):简化为如图9所示的网络以后,将3、O两个等势点短接,在去掉斜角部位不起作用的 两段电阻,使之等效变换为如图 10所示的简单 网络。最后不难段 R/2 R/2 R/2 4 5 C 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会
8、对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简算得 RAO=ROB=5R/14 RAB=RAO+ROB=5R/7 解法(b):简化为如图所示的网络以后,将图中的 O点上下断开,如图11所示,最后不难算得 RAB=5R/7 2:电流分布法 设定电流I从网络A电流入,B电流出。应用电 流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等 电压的思想,建立以网络中的各电阻的电流为未 知量的方程组,解出各电流I的
9、比例关系,然后 选取A到B的某一路经计算 A、B间的电压,再 由 RAB=UAB/I AB即可算出 RAB 例:有如图12所示的电阻网络,求A、B之间的 电阻RAB 分析:要求A、BO之间的电阻 RAB按照电流分布 法的思想,JE要设上电流以后,求得 A、B间的 电压即可。A 12 B结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来
10、也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简图12 解:设电流由A流入,B流出,各支路上的电流 如图所示。根据分流思想可得 12=1-11 13=12-11=1-211 A、O间的电压,不论是从 AO看,还是从ACO 看,都应该是一样的,因此|1(2R)=(I-町 R+(l-2I1)R 解得“21/5 取AOB路径,可得AB间的电压 A 结论对电路中
11、任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简结论对
12、电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简
13、图 图14 UAB=II*2R+I4*R 根据对称性 14=12=1-II=3I/5 所以 UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5 RAB=UAB/I=7R/5 这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定 律的思想,所以有一定的一般性。3:Y 变换 复杂电路经过Y 变换,可以变成简单电路。如图13和14所示分别为网络和 Y网络,两个 网络中得6个电阻满足怎样的关系才能使这两 个网络完全等效呢 所谓完全等效,就是要求叽 Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=Uc la=lA,lb=lB,lc=lc 在丫网络中有 IaRa-IbRb=Uab IcRc-IaRa=Uca Ia+Ib+Ic=
14、O 13 C 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网
15、络简化成如图所示的简la=R:Uab/(RaRb+RbRD+R:Ra)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在网络中有 IAB=UAB/RAB ICA=UCA/RCA IA=IAB-ICA 解得 IA=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)因为要求 Ia=IA,所以 RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)又因为要求 Uab=UAB,Uca=UCA 所以要求上示 中对应项系数相等,即 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rc -(1)RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rb-(2)用类
16、似的方法可以解得 RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra(3)(1)、(2)、(3)三式是将Y网络变换到网络的 一组变换式。在(1)、(2)、(3)三式中将 RAB、RBC、RCA 作为 已知量解出 Ra、Rb、Rc 即可得到 Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-(4)Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA)-(5)Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA)-(6)(4)、(5)、(6)三式是将网络变换到 Y网络的结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对
17、称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简A B 一组变换式。例(1)求如图15所示双T桥网络的等效电阻 RABO 图 15 图16 分析:此题无法直接用串、并联规律求解,需要 将双
18、T桥网络中两个小的Y网络元变换成两个小 的网络元,再直接用串、并联规律求解即可。解:原网络等效为如图16所示的网络,由此可以 算得 RAB=11893 Q 例(2)有7个电阻同为R的网络如图17所示,试求A、B间的等效电阻 RABO 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成
19、影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简RAB=7R/5 4:电桥平衡法 图18 解:将Y网络O-ABC变换成网络如图18所示 其中 RAB=(RaRb+RbRc+R;Ra)/Rc=5R RBC=(RaRb+R)Rc+RcRa)/Ra=5R/2 I 3 4 I 4 RcA=(RaRb+RDRc+FR 这样就是一个简单电路了,19 如图19所示的电路称为惠斯通电桥,图中 R1、R2、R3、Ri分别叫
20、电桥的臂,G是灵敏电流计。当电桥平衡(即灵敏电流计的示数为零)的时候,我们称之为电桥平衡。这时有 I1=l2,I3=I4,l1R=l3R3,I2R2=I4R4 有这些关系可以得到 R1/R2=R3/R45R 2 R2 R D 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分
21、的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简上式称之为电桥平衡条件,利用此式简化对称性 不明显的电路,十分方便。例:有n个接线柱,任意两个接线柱之间都接有 一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。图20 分析:粗看本题根本无法求解,但是能充分利用 电桥平衡的知识,则能十分方便得求解。解:如图20所示,设想本题求两接线柱 A、B 之间的等效电阻,根据对称性易知,其余的接线 柱CDE 中,任意两个接线柱之间的电阻无
22、电 流通过,故这些电阻都可以删除,这样电路简化 为:A、B之间连有电阻R,其余(n-2)个接线柱 之间仅有电阻分别与 A、B两点相连,它们之间 没有电阻相连。即 1/RAB=1/R+1/2R/(n-2)所以 RAB=2R/n 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分
23、的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简求A、B之间的 1 丁 I-二:无限电阻网络 无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网 络,下面我们就这两个方面展幵讨论 1:线型无限网络 所谓“线型”就是一字排开的无限网络,既然研 究对象是无限的,就可以利用“无限”这个条件,再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决 这类问题。例(1)如图所示的电路是一个单边的线型无限 C 网络,每个电阻的阻值都是 等效电阻B D
24、 图 21 解:因为是“无限”的,所以去掉一个单元或增 加一个单元不影响等效电阻即 RAB应该等于从 CD往右看的电阻RCD RAB=2R+R*FCD/(R+RCD)=RCD 整理得 RCD2-2RFCD-2R2=0 解得:RCD=(1+32)R=RAB 例(2)两端无穷的电路如图22所示,其中每 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把
25、这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简个电阻均为r求a、b两点之间的电阻 a b a b a b 图 22 图23 解:此电路属于两端无穷网络,整个电路可以看 作是由三个部分组成的,如图所示,则 Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)即是无穷网络,bb1之间的电阻仍为Rx 则 Rx=(31/2-1)r 代入上式中解得R.b=(
26、6-32)*r/6 例(3)电阻丝无限网络如图24所示,每一段金 属丝的电阻均为.r,求A、B.之间的等效电阻 RAB._ k F k/_ B r 3 图24专 r r E-r 3 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之
27、间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简r B r 图 25 图26 解:根据对称性可知,网络中背面那根无限长的 电阻丝中 各点等势,故可以删去这根电阻丝,这样原网络等效为如图25所示的网络。又因为 网络相对AB连线具有左右对称性,故可以折叠 成如图26所示的网络,再利用例(1)的方法可 得 RCD=REF=R 即 Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)解得:R(=(3+211/2)r/6 RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+
28、R)=2(21)1/2r/21 2:面型无限网络 解线性无限网络的指导思想是利用网络的重 复性,而解面型无限网络的指导思想是利用四个 方向的对称性。例(1)如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络 的一部分,其中每一小段电阻丝的阻值都是 R求结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路
29、构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。分析:假设电流I从A点流入,向四面八方流至U A?B?无穷远处,根据对称性,有 _ 1/4 流由A点流到 B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四 面 八方汇集到B点后流出,根据对称性,同样有 I/4 电流经A点流到B点 27 解:从以上分析看出,AB段的电流便由两个1/4 叠加而成,为 I/2 因 此 UAB=(I
30、/2)*A、B之间的等效电阻 RAB=UAB/I=/2 例(2)有一无限平面导体网络,它有大小相同 的正六边型网眼组成,如图 28所示。所有正六 边型每边的电阻均为 咼,求间位结点a、b间的 电阻。分析:假设有电流I自a电流入,向四面八方流 到无穷远处,那么必有I/3电流由a流向c,有I/6 电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集 b点流出,那么必有1/6电流由f流向c,有I/3结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如
31、果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简 电流由c流向b.解:将以上两种情况结合,由电流叠加原理可知 lac=l/3+l/6=l/2(由 a 流向 lcb=l/3+l/6=l/2(由 c 流向 因此ab之间的等效电 Rab=Uab/l=(l ac
32、Ro+lcbRo)/l=6 0 结论对电路中任何一个节点流出的电流之和等于流入的电流之和电路中任何一个闭合回路都符合闭合电欧姆定律下面我介绍几种常用的其它的方法对称性简化所谓的对称性简化就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的的电路中如果能找一些完全对称的点那么当在这个电路两端加上电压时这些点的电势一定是相等的即使用导线把这些点连接起来也不会有电流或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响充分的利用这一点我们就可以使电路大析假设在两点之间加上电压并且电流从电流入点流处因为对称性图中两点等电势或者说间的电压为零因此间的电阻实际上不起作用可以拆去原网络简化成简单的串并联网络使问题迎刃而解解根据以上分析原网络简化成如图所示的简