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1、数轴穿根法 一、概念简介 1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。3.是高次不等式的简单解法 4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证 x 前的系数为正数）例如：将 x3-2x2-x+20 化为(x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不等号换成等号解出
2、所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“0的根。在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。（如下图所示）三、奇过偶不过 就是当不等式中含有单独的 x 偶数幂项时，如(x2)或(x4)时，穿根线是不穿过 0 点的。
3、但是对于 X奇数幂项，就要穿过 0 点了。还有一种情况就是例如：（X-1)2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过 1 点的。但是对于如（X-1)3 的式子，穿根线要过 1 点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)2）四、注意事项 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1 出现形如（ax）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例 1 解不等式 x（3x）（x+1）（x2）0。解 x（3x）（x+1）（x2）0，将各根1、0、2、3 依次标在数轴上，由图 1 可得原不等式的解集为x|x 1 或 0 x3。位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中
4、左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过事实上，只有将因式（ax）变为（x
5、a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解 原不等式变形为 x（x3）（x+1）（x2）0，将各根1、0、2、3 依次标在数轴上，由图 1，原不等式的解集为x|1x0 或2x3。2 出现重根时，机械地“穿针引线”例 2 解不等式（x+1）（x1）2（x4）30 解 将三个根1、1、4 标在数轴上，由图 2 得，原不等式的解集为x|x 1 或 1x4。（如图二）这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下
6、：解 将三个根1、1、4 标在数轴上，如图 3 画出浪线图来穿过各根对应点，遇到 x=1 的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到 x=4 的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 x|1x0 解 原不等式变形为 x（x+1）（x2）（x1）（x2+x+1）0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三
7、步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解 原不等式等价于 x（x+1）（x2）（x1）（x2+x+1）0，x2+x+10 对一切 x 恒成立，x（x1）（x+1）（x2）0，由图 4 可得原不等式的解集为x|x 1
8、或 0 x2 数轴标根法-练习题 1.不等式 x26x+80 的解集为 _.2.0622xx的解集为_ 3.06562 xx的解集为_ 位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画
9、穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过4.0322xx的解集为_ 5.04722xx的解集为_ 6.0)65)(1)(3(2xxxx的解集为_ 7.0)2)(1(2xxx的解集为_ 8.0)1()2()4(232xxx的解集为_ 9.03xx的解集为_ 10.011xx的解集为_ 位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正
10、数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过11.0322322xxxx的解集为_ 12.13xx的解集为_ 13.123422xxxx的解集为_ 14（2013广东）不等式 x2+x20 的解集为 _ 15（2012湖南）不等式 x25x+60 的解
11、集为 _ 16（2008北京）不等式的解集是 _ 17（2011巢湖模拟）不等式的解集为 _ 位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴
12、上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过18（2008杨浦区二模）不等式的解为 _ 19（2008卢湾区二模）不等式的解集为 _ 20不等式x2+5x60 的解集为 _ 21不等式 2x23x20 的解集为 _ 22不等式x24x+50 的解集是 _ 10函数的定义域是 _ 11不等式的解集为 _ 12不等式的解集是 _ 位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数
13、例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过 13已知函数 f（x）=的定义域是一切实数，则 m 的取值范围是 _ 14不等式的解集为 _ 15 若不等式的解集为 x|3x 1 或 x 2，则 a=_ 16解不等式 2x25x3 17已知集合 A=x|x
14、2+x+60，B=x|x2+2x80，求 AB 18解不等式：位只表示数的大小的数轴序轴上标出的两点中左边的点表示的数比右边的点表示的数小是高次不等式的简单解法为了形象地体现正负值的变化规律可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点穿过最后一个点后就不再变方向前的系数为正数例如将化为第二步将不等号换成等号解出所有根例如的根为第三步在数轴上从左到右依次标出各根例如第四步画穿根线以数轴为标准从最右根的右上方穿过根往左下画线然后又穿过次右根上去一上一下依次穿过各根次数若为偶数则不穿过即奇过偶不过例如若求的根在数轴上标根得画穿根线由右上方开始穿根因为不等号为则取数轴上方穿跟线以内的范围即或如下图所示三奇过偶不过就是当不等式中含有单独的偶数幂项时如或时穿根线是不穿过