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1、学习必备 欢迎下载 第九章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质：（1）aba-b0；（2）ab,bcac；（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc；（5）ab,c0acb0,cd0acbd;（7）ab0,nN+anbn;（8）ab0,nN+nnba;（9）a0,|x|a-axaxa 或 xb0,cd0，所以 acbc,bcbd，所以 acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nnba，由性质（7）得nnnnba)()(，即a b，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以nnba；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a
2、|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为 x+y-22)(yxxy 0，所以 x+yxy2，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令czbyax333,，因为 x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=21(a+b+
3、c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以 a3+b3+c3 3abc，即 x+y+z 33 xyz，等号当且仅当x=y=z 时成立。二、方法与例题 1不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明 AB 或 A0）与1 比较大小，最后得出结论。例1 设a,b,cR+，试 证：对 任 意 实 数x,y,z,有x2+y2+z2.)()(2xzbacyzacbxycbaaccbbaabc【证明】左边-右边=x2+y2+z2yzacbabcxyaccbab)(2)(2 222)(2)(2yaccyacaxyaccbabxcbbxzcbbaca 222)(2)(2xcbcxzcbbacazba
4、azbabyzacbabc.0222xcbczbaazbabyaccyacaxcbb 所以左边 右边，不等式成立。例 2 若 axlog(1-x)(1-x)=1（因为 01-x21-x0,01-x|loga(1-x)|.（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。例 3 已知 a,b,cR+，求证：a+b+c-33abc a+b.2 ab【证明】要证 a+b+c33bac a+b.2 ab只需证332abcabc，因为33332abcbacababcabc，所以原不等式成立。例 4 已知实数 a,b,c 满足 0a b c21，求证：.
5、)1(1)1(1)1(2abbacc【证明】因为 0(n+1)n.【证明】1）当 n=3 时，因为 34=8164=43，所以命题成立。2）设 n=k 时有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证(k+1)k+2(k+2)k+1，即12)2()1(kkkk1.因为1)1(1kkkk，所以只需证12)2()1(kkkkkkkk)1(1，即证(k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证(k+1)2k(k+2)，即证 k2+2k+1k2+2k.显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。（4）反证法。例 6 设实数 a0,a1,an满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2 0,a1-2a2+
6、a3 0,an-2-2an-1+an 0，求证 ak 0(k=1,2,n-1).【证明】假设 ak(k=1,2,n-1)中至少有一个正数，不妨设 ar是 a1,a2,an-1中第一个出现的正数，则 a1 0,a2 0,ar-1 0,ar0.于是 ar-ar-10，依题设 ak+1-ak ak-ak-1(k=1,2,n-1)。所以从 k=r 起有 an-ak-1 an-1-an-2 ar-ar-10.因为 an ak-1 ar+1 ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。（5）分类讨论法。例 7 已知 x,y,zR+，求证：.0222222yxxzxzzyzyyx【证明】不妨设 x y,x z
7、.明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足
8、且求证证学习必备 欢迎下载）x y z，则zyzxyx111，x2 y2 z2，由排序原理可得 yxxxzzzyyyxzxzyzyx222222，原不等式成立。）x z y，则zyyxzx111，x2 z2 y2，由排序原理可得 yxxxzzzyyyxzxzyzyx222222，原不等式成立。（6）放缩法，即要证 AB，可证 AC1,C1 C2,Cn-1 Cn,CnB(nN+).例 8 求证：).2(12131211nnn【证明】12212121414121112131211nnnnn 22121121nnnn，得证。例 9 已知 a,b,c 是ABC 的三条边长，m0，求证：.mccmbbm
9、aa【证明】mbammbabambabmbaambbmaa1 mccmcm 1（因为 a+bc），得证。（7）引入参变量法。例 10 已知 x,yR+,l,a,b 为待定正数，求 f(x,y)=2323ybxa的最小值。【解】设kxy，则kklyklx1,1，f(x,y)=23322)1(kbalk 22333233333211111lkakbkbkbkakabal(a3+b3+3a2b+3ab2)=23)(lba，等号当且仅当ybxa时成立。所以 f(x,y)min=.)(23lba 例 11 设 x1 x2 x3 x4 2,x2+x3+x4 x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2 4x1
10、x2x3x4.【证明】设 x1=k(x2+x3+x4)，依题 设有31 k 1,x3x4 4，原不 等式 等价 于(1+k)2(x2+x3+x4)2 4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即 kk4)1(2(x2+x3+x4)x2x3x4，因为 f(k)=k+k1在1,31上递减，所以kk4)1(2(x2+x3+x4)=)21(41kk(x2+x3+x4)明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左
11、边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证学习必备 欢迎下载 423133x2=4x2 x2x3x4.所以原不等式成立。（8）局部不等式。例 12 已知 x,y,zR+，且 x2+y2+z2=1，求证：222111zzyyxx.233【证明】先证.233122xxx 因为 x(
12、1-x2)=3323221)1(2213222xx,所以.233332)1(122222xxxxxxx 同理222331yyy，222331zzz，所以.233)(233111222222zyxzzyyxx 例 13 已知 0 a,b,c 1，求证：111abccabbca 2。【证明】先证.21cbaabca 即 a+b+c 2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bc a.因为 0 a,b,c 1，所以式成立。同理.21,21cbacabccbabcab 三个不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函数的思想。例 14 已知非负实数 a,b,c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a,b,
13、c)=accbba111的最小值。【解】当 a,b,c 中有一个为 0，另两个为 1 时，f(a,b,c)=25，以下证明 f(a,b,c)25.不妨设 a b c，则 0 c33,f(a,b,c)=.111222bacbacc 因为 1=(a+b)c+ab4)(2ba+(a+b)c，解关于 a+b 的不等式得 a+b 2(12c-c).明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边
14、不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证学习必备 欢迎下载 考虑函数 g(t)=tct112,g(t)在,12c）上单调递增。又因为 0 c33，所以 3c2 1.所以 c2+a 4c2.所以 2)1(2cc.12c 所以 f(a,b,c)=bacbacc111222)1(211)1(2122
15、222ccccccc=1112222ccccc=21321112222cccc.22)11(3252132422cccc 下证cc)11(320 1332ccc2+6c+9 9c2+9cc43 0.43 c 因为4333c，所以式成立。所以 f(a,b,c)25，所以 f(a,b,c)min=.25 2几个常用的不等式。（1）柯西不等式：若 aiR,biR,i=1,2,n，则.)()(211212niiiniiniibaba 等号当且仅当存在 R，使得对任意 i=1,2,n,ai=bi,变式 1：若 aiR,biR,i=1,2,n，则.)()()(212112niiniiniiibaba 等号
16、成立条件为 ai=bi,(i=1,2,n)。变式 2：设 ai,bi同号且不为 0(i=1,2,n)，则.)(1211niiiniiniiibaaba 等号成立当且仅当 b1=b2=bn.（2）平均值不等式：设 a1,a2,anR+，记 Hn=naaan11121,Gn=nnaaa21,An=naaaQnaaannn2222121,，则 Hn Gn An Qn.即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均。其中等号成立的条件均为 a1=a2=an.【证明】由柯西不等式得 An Qn，再由 Gn An可得 Hn Gn，以下仅证 Gn An.明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得
17、即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证学习必备 欢迎下载 1）当 n=2 时，显然成立；2）
18、设 n=k 时有 Gk Ak，当 n=k+1 时，记kkkaaaa1121=Gk+1.因为 a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+1kkkkkkGakaaak11121 kkkkkkkGkGaaak221211121222kGk+1,所以 a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即 Ak+1 Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。（3）排序不等式：若两组实数 a1 a2 an且 b1 b2 bn，则对于 b1,b2,bn的任意排列niiibbb,21，有 a1bn+a2bn-1+anb1niniibababa2121 a1b1+a2b2+anbn.【证 明】引 理：记A0=0，Ak=)1
19、(1nkakii，则niiiba1 niiiibss11)(=nnniiiibsbbs111)(（阿贝尔求和法）。证法一：因为 b1 b2 bn，所以kiiibbb21 b1+b2+bk.记 sk=kiiibbb21-(b1+b2+bk)，则 sk 0(k=1,2,n)。所以kiniibababa2121-(a1b1+a2b2+anbn)=njjijbbaj1)(njjjjaas11)(+snan 0.最后一个不等式的理由是 aj-aj+1 0(j=1,2,n-1,sn=0),所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。证法二：（调整法）考察kiniibababa2121，若nibbj，则存在。若
20、nibbj(j n-1)，则将nib与jib互换。因为)()()()(nnnninjbninjnjnnjinijnnbbaabaabaababababa 0，所 调整后，和是不减的，接下来若11nibbn，则继续同样的调整。至多经 n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。例 15 已知 a1,a2,anR+，求证；1221322221aaaaaaaannna1+a2+an.【证明】证法一：因为23322112212,2aaaaaaaa，112121,2aaaaaaannnnn 2an.上述不等式相加即得1221322221aaa
21、aaaaannn a1+a2+an.证法二：由柯西不等式1221322221aaaaaaaannn(a1+a2+an)(a1+a2+an)2，明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳
22、法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证学习必备 欢迎下载 因为 a1+a2+an 0，所以1221322221aaaaaaaannn a1+a2+an.证法三：设 a1,a2,an从小到大排列为niiiaaa21，则22221niiiaaa，11111iiiaaann，由排序原理可得 niiiaaa21=a1+a2+an1221322221aaaaaaaannn，得证。注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。三、基础训练题 1已知 0 xm，则 m 的最小
23、值是_.6“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|8的解集是x|-2x6”的_条件.7若 a,bR+，则 a+b=1，以下结论成立是_.a4+b481；41 a3+b31；abba21122；22121ba；bbaa21；.lglg21abab 8已知 00,b0 且 ab,m=aabb,n=abba,则比较大小：m_n.11已知 nN+，求证：.123121122nnn 12已知 0ax20,1a0，记axaaxyaaxaxy11,11212211，比较大小：x1x2_y1y2.8已知函数xxaycos1sin的值域是,34，则实数 a 的值为_.9设 a b0,P=(a1-a2)(c
24、1-c2),Q=(b1-b2)2，比较大小：P_Q.2已知 x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=_.3 二次函数 f(x)=x2+ax+b，记 M=max|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|，则 M 的最小值为_.4设实数 a,b,c,d 满足 a b c d 或者 a b c d，比较大小：4(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5已知 xiR+,i=1,2,n 且1111niix，则 x1x2xn的最小值为_（这里 n1）.6已知 x,yR,f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为_.7已知 0 ak 1(k
25、=1,2,2n)，记 a2n+1=a1,a2n+2=a2，则nkkkkaaa2121)(的最大值为_.8已知 0 x 1,0 y 1,0 z 1，则111xyzzxyyzx的最大值为_.9已知23 x 5，求证：.1923153212xxx 明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之
26、成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证学习必备 欢迎下载 10对于不全相等的正整数 a,b,c，求证：.271033abccba 11 已 知 ai0(i=1,2,n)，且niia1=1。又 012 n，求 证：niiiniiiaa11)(.4)(121nn 六、联赛二试水平训练题 1设正实数 x,y,z 满足 x+y+z=1，求证：.22xyxzxzxzyzyzyzxyxy 2设整数
27、x1,x2,xn与 y1,y2,yn满足 1x1x2xny1y2y1+y2+ym，求证：x1x2xny1y2ym.3设 f(x)=x2+a，记)(xff(x),fn(x)=f(fn-1(x)(n=2,3,)，M=a R|对所有正整数n,|fn(0)|2，求证：41,2M。4 给定正数 和正整数n(n 2)，求最小的正数M（），使得对于所有非负数x1,x2,xn，有 M().)(111nkknknknnkkxxx 5已知 x,y,zR+，求证：(xy+yz+zx).49)(1)(1)(1222xzzyyx 6 已知非负实数 a,b,c 满足 a+b+c=1，求证：2(1-a2)2+(1-b2)2
28、+(1-c2)2(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。明因为所以所以重复利用性质可得性质再证性质用反证法若由性质得即与矛盾所以假设不成立所以由绝对值的意义知成立所以所以下面再证的左边因为所以所以成立显然成立下证因所以为当且仅当时等号成立再证另一不等式令因为小最后得出结论例设试证对任意实数有证明左边右边所以左边右边不等式成立例若比较大小与学习必备欢迎下载解因为所以因为所以所以分析法即从欲证不等式出发层层推出使之成立的充分条件直到已知为止叙述方式为要证只需证以只需证明也就是证只需证即显然成立所以命题成立数学归纳法例对任意正整数求证证明当时因为所以命题成立设时有当时只需证即因为所以只需证即证只需证即证显然成立所以由数学归纳法命题成立反证法例设实数满足且求证证