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1、复变函数与积分变换辅导资料三 主 题：第一章 复数与复变函数 13 节 学习时间：2013 年 10 月 14 日10 月 20 日 内 容：这周我们将学习第一章复数与复变函数 13 节。在引进复数时，我们着重指出它们与实数类似的地方。复数在加、减、乘、除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则，在描述几何和物理状态中它们有类似的作用。自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究对象。本章着重描述复数的概念和基本运算。本周的学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解复数的概念 2、非常熟练地掌握复数各种表示方法及其运算 基本概念：复数、复平面 知识点：复数 第一节、复数及其代数运算（要求
2、达到“领会”层次）一、复数的概念 定义 1：设iyx 为复数，其中Ryx,1i是虚数单位；通常记为iyxz,x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作zyzxIm,Re。当0Imz时，那么xz 就是一个实数；当0Rez，则iyz 称为纯虚数；当0Imz，那么iyxz称为虚数。（1）复数111iyxz和222iyxz相等是指它们的实部与虚部分别相等，记作21zz。（2）加法：)()(212121yyixxzz 减法：)()(212121yyixxzz 乘法：)()(1221212121yxyxiyyxxzz 除法：222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 定义 2：设复数i
3、yxz，则称iyx 为复数z的共轭复数，记作iyxz。定义 3：如果复数),(Ryxiyxz，则称22yx 为复数z的模，记作22|yxz 二、复数的运算法则 1、交换律：12211221,zzzzzzzz 2、结合率：321321)()(zzzzzz；321321)()(zzzzzz 3、分配律：3121321)(zzzzzzz 三、复数的共轭运算 1、zz，必须且只需z为实数 2、212121212121)(,)(,)(zzzzzzzzzzzz 3、2|zzz 4、zz 5、zizzzzzIm2,Re2 第二节、复数的几何表示（要求达到“简单应用”层次）一、复数的点表示 复数iyxz对应有
4、序实数对),(yx，另一方面，在平面直角坐标系中点),(yxP也对应有序实数对),(yx，因此复数iyxz可用点),(yxP来表示。复数z与点z同义。二、复数的向量表示 复数iyxz等同于平面中的向量op，所以，复数iyxz可用向量op来表示。数与复变函数节在引进复数时我们着重指出它们与实数类似的地方复数在加减乘除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则在描述几何和物理状态中它们有类似的作用自变量为复数的函数就是复变函数它是本课程的研究对象本章复数各种表示方法及其运算基本概念复数复平面知识点复数第一节复数及其代数运算要求达到领会层次一复数的概念定义设为复数其中是虚数单位常记为和分别称为的实部和虚
5、部分别记作当时那么就是一个实数当则称为纯虚数当那记作定义如果复数则称为复数的模记作二复数的运算法则交换律结合率分配律三复数的共轭运算必须且只需为实数第二节复数的几何表示要求达到简单应用层次一复数的点表示复数对应有序实数对另一方面在平面直角坐标系中点也 三、复数的极坐标表示 设0z的复数，复数z的模为r，是复数z的任意一个幅角，则)sin(cosirz 上式右端又称为复数z的三角表示。注：一个复数的三角表示不是唯一的。典型例题：例 1、写出复数i1的三角表示 解：因为2|1|i，4)1arg(i 所以)4sin4(cos21ii 也可以表示为)49sin49(cos21ii 例 2、设）sin(
6、cosirz，求复数z1的三角表示 解：因为)sin(cos,|,|12irzrzzzz 所以)sin()cos(1)sin(cos11irirz 四、复数的指数表示 由欧拉公式sincosiei，可得复数)sin(cosirz的指数表示irez。典型例题：计算题：将复数iz322 化为指数式 数与复变函数节在引进复数时我们着重指出它们与实数类似的地方复数在加减乘除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则在描述几何和物理状态中它们有类似的作用自变量为复数的函数就是复变函数它是本课程的研究对象本章复数各种表示方法及其运算基本概念复数复平面知识点复数第一节复数及其代数运算要求达到领会层次一复数的概念
7、定义设为复数其中是虚数单位常记为和分别称为的实部和虚部分别记作当时那么就是一个实数当则称为纯虚数当那记作定义如果复数则称为复数的模记作二复数的运算法则交换律结合率分配律三复数的共轭运算必须且只需为实数第二节复数的几何表示要求达到简单应用层次一复数的点表示复数对应有序实数对另一方面在平面直角坐标系中点也解：因3233arctanarg,4zr，所以iez324即为所求。五、复球面 扩充复平面的一个几何模型就是复球面。第三节、复数的乘幂与方根（要求达到“简单应用”层次）一、复数的乘积与商 定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；幅角等于它们的幅角的和。典型例题：计算题：正方形的四个顶点按逆时
8、针方向依次为 A,B,C,O（见下图）。已知点 B对应的复数iz312，求点 A与 C对应的复数。解：设点 A与 C对应的复数为31,zz，则 iiiizz213213)221)(31(22)4sin()4cos(2221 iizz231231)4sin4(cos2223 定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商；幅角等于被除数与除数的幅角之差。典型例题：数与复变函数节在引进复数时我们着重指出它们与实数类似的地方复数在加减乘除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则在描述几何和物理状态中它们有类似的作用自变量为复数的函数就是复变函数它是本课程的研究对象本章复数各种表示方法及其运算基本概念复数复
9、平面知识点复数第一节复数及其代数运算要求达到领会层次一复数的概念定义设为复数其中是虚数单位常记为和分别称为的实部和虚部分别记作当时那么就是一个实数当则称为纯虚数当那记作定义如果复数则称为复数的模记作二复数的运算法则交换律结合率分配律三复数的共轭运算必须且只需为实数第二节复数的几何表示要求达到简单应用层次一复数的点表示复数对应有序实数对另一方面在平面直角坐标系中点也计算题：设,20 x试求复数xixiztan1tan1的三角式 解：由所给复数z化简得 xixxxixxixixixiz2sin2costan1tan2)tan1()tan1)(tan1()tan1)(tan1(22 于是得到复数z的
10、三角式为)2sin()2cos(xixz 二、复数的乘方与开方 1、复数的乘方 设复数)sin(cosirz，则对正整数n，)sin(cosninrznn 典型例题：计算题：设iyxi)3()3(10，求实数x与y。解：由于)6sin6(cos2)212323iii（得iiii3512512)35sin35(cos2)6sin6(cos2)3(101010 所以iyxi)3(3512512 根据复数相等的条件得3511,512yx 2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设zwn，则称复数w为复数z的 n 次方根。记作)0(1zzzwnn。令)sin(cosirz，)sin(cosiw 于是就有)
11、sin(cos)sin(cosirinn 由此推出,2,1,0),2(1,1kknrn 故得,2,1,0),2(1sin()2(1cos(|1kkniknzzwnn 典型例题：计算题：求41i的所有值 解：由于)4sin4(cos21ii，所以有 数与复变函数节在引进复数时我们着重指出它们与实数类似的地方复数在加减乘除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则在描述几何和物理状态中它们有类似的作用自变量为复数的函数就是复变函数它是本课程的研究对象本章复数各种表示方法及其运算基本概念复数复平面知识点复数第一节复数及其代数运算要求达到领会层次一复数的概念定义设为复数其中是虚数单位常记为和分别称为的实部
12、和虚部分别记作当时那么就是一个实数当则称为纯虚数当那记作定义如果复数则称为复数的模记作二复数的运算法则交换律结合率分配律三复数的共轭运算必须且只需为实数第二节复数的几何表示要求达到简单应用层次一复数的点表示复数对应有序实数对另一方面在平面直角坐标系中点也3,2,1,0)216sin()216cos(21)24(41sin)24(41cos218484kkikikiki 数与复变函数节在引进复数时我们着重指出它们与实数类似的地方复数在加减乘除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则在描述几何和物理状态中它们有类似的作用自变量为复数的函数就是复变函数它是本课程的研究对象本章复数各种表示方法及其运算基本概念复数复平面知识点复数第一节复数及其代数运算要求达到领会层次一复数的概念定义设为复数其中是虚数单位常记为和分别称为的实部和虚部分别记作当时那么就是一个实数当则称为纯虚数当那记作定义如果复数则称为复数的模记作二复数的运算法则交换律结合率分配律三复数的共轭运算必须且只需为实数第二节复数的几何表示要求达到简单应用层次一复数的点表示复数对应有序实数对另一方面在平面直角坐标系中点也