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1、课 题：1.5一元二次不等式（二）高次不等式、分式不等式解法 教学目的：1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法 教学难点：正确串根（根轴法的使用）授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：1 本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二
2、次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法 说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法 2本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程：一、复习引入：1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第 19 页)0 0 0 二次函数 c
3、bxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 一元二次方程 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx 或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法 二、讲解新课：一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例 1 解不等式0)1)(4(xx.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不
4、等式组：0401xx与0401xx的解集的并集，即x|0401xx0401|xxx=x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)00401xx或0401xx x或-4x1-4x1，原不等式的解集是x|-4x1.小结：一元二次不等式)0()0(022acbxaxcbxax或的代数解法：设一元二掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一题多解的能力培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式
5、与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一次不等式)0(02acbxax相应的方程)0(02acbxax的两根为2121xxxx且、，则0)(0212xxxxacbxax；若.,.0,0,0,0,021212121xxxxxxxxxxxxxxxxa或或则得 当21xx 时，得1xx 或2xx；当21xx 时，得1
6、,xxRx且.若.,.0,0,0,0,021212121xxxxxxxxxxxxxxxxa或或则得 当21xx 时，得21xxx；当21xx 时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得 x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将 x 轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 （-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0；解：检查各因式中 x 的符号均正；求
7、得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：-2 1 3 x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3.小结：此法叫列表法，解题步骤是：掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一题多解的能力培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小
8、节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一例2图练习图将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0.x|-1x0或 2x3.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解 直接写出解集：x|-2x3.x|-1x0或2x0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.注意：奇过偶不过 例 3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-
9、1，2，3（注意：2 是二重根，3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：原不等式的解集为：x|-1x2或 2x3.说明：3 是三重根，在 C处过三次，2 是二重根，在 B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式(x-x1)n时，n 为奇数时，曲线在 x1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一题多解的能力
10、培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如图：
11、原不等式的解集是x|-1x3 或 x=-2.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但 x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2分式不等式的解法 例 4 解不等式：073xx.错解：去分母得03x 原不等式的解集是3|xx.解法 1：化为两个不等式组来解：073xx07030703xxxx或x或37x37x，原不等式的解集是37|xx.解法 2：化为二次不等式来解：073xx070)7)(3(xxx37x，原不等式的解集是37|xx 说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意 x-7的条件，解集应是x|-7x3.小结：由不等
12、式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为 0，左边化为)()(xgxf的形式.例 5 解不等式：0322322xxxx.解法 1：化为不等式组来解较繁.解法 2：0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx 0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一
13、题多解的能力培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一原不等式的解集为x|-1x1 或 2x3.也可以直接用根轴法（
14、零点分段法）求解：123-1 练习：1.课本 P21 练习：3；2.解不等式253xx.答案：1.x|-5x8；x|x-1/2；2.x|-13x-5.2 解不等式：123422xxxx.（答：x|x0 或 1x0(或)()(xgxf0)的形式，转化为：)0)(0)()(0)(0)()(xgxgxfxgxgxf或，即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解 3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4注意必要的讨论.5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业 五、思考题：1 解关于 x 的不等式：(x-x2
15、+12)(x+a)0，相应方程的根为：-3，4，-a，现 a 的位置不定，应如何解？讨论：当-a4，即 a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-ax4-3原不等式的解集为x|-3x-a.当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一题多解的能力培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二
16、次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一-ax4-3原不等式的解集为x|-3x4.当-a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-ax4-3原不等式的解集为x|-ax4.当-a=4，即 a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-ax4-3原不等式的解集为x|x-3.当-a=-3，即 a=3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-ax4-3原不等式的解集为x|x4.2若不等式1364222
17、2xxkkxx对于 x 取任何实数均成立，求 k 的取值范围.(提示：4x2+6x+3恒正)（答：1k3）六、板书设计（略）七、课后记：掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法培养数形结合的能力一题多解的能力培养抽象概括能力和逻辑思维能力激发学习数学的热情培养勇于探索的精神勇于创新精神同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点简媒体实物投影仪内容分析本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程一元二次不等式与二次函数的图象找出一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等等式的解法这是这小节的重点关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用教学过程一复习引入一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法骤一元二次不等式或的解集设相应的一