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1、2012山西考研数学二真题及答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】： 所以（3）设an0(n=1,2,)，Sn=a1+a2+an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.【答案】：(A)【解析】：由
2、于，则为正项级数，Sn=a1+a2+an为正项级数的前项和。正项级数前项和有界与正向级数收敛是充要条件。故选A（4）设 sinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1 I2 I3.(B) I2 I2 I3.(C) I1 I3 I1,(D) I1 I20,0,f(x1,y1) x2, y1 x2, y1y1.(C) x1 x2, y1 y2.(D) x1 y2.【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当必有，故选D（6）设区域D由曲线围成，则【答案】：（D）【解析】： 由二重积分的区域对称性，（7）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（
3、A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设是由方程所确定的隐函数，则_。【答案】：【解析】：方程两端对求导，有，所以（10）计算_。【答案】：【解析】：原式（11）设,其中函数可微，则_。【答案】：.【解析】：因为，所以（12）微分方程满足初始条件=1的解为_。【答案】：【解析】：为一阶线性微分方程，所以又因为时，解得，故.（13）曲线上曲率为的点的
4、坐标是_。【答案】：【解析】：将代入曲率计算公式，有整理有，解得，又，所以，这时，故该点坐标为（14）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则_。【答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知函数，记（1）求的值（2）若当时，是的同阶无穷小，求【解析】：（1），即（2）,当时，由又因为,当时，与等价，故，即（16）（本题满分10分）求的极值。【解析】：，先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.（17）（本题满分
5、10分）过点（0，1）点作曲线L：的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为：切线与轴交点为yY=lnxA（0,1）xB（1）（2）（18）（本题满分10分）计算二重积分，其中区域D为曲线与极轴围成。【解析】： （19）（本题满分11分）已知函数满足方程及1）求表达式2）求曲线的拐点【解析】：1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故2）曲线方程为，则，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，可知；
6、当时，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。（20）（本题满分10分）证明：【解析】：令，可得当时，有，所以，故，而，即得所以。当，有，所以，故，即得可知，（21）（本题满分11分）（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限。【解析】： (1)由题意得：令，则，再由，由零点定理得在肯定有解，假设在此区间还有另外一根，所以，由归纳法得到，即唯一性得证（2）假设根为，即，所以，由于，可知，由于，可知。又由于，也即是单调的。则由单调有界收敛定理可知收敛，假设，可知。当时，（22）（本题满分11分）设，（）求（）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：（）（）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（23）（本题满分11分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）由可得，2） 则矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，