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1、2010内蒙古考研数学一真题及答案一、选择题（1）、极限（ C）A、1 B、 C、 D、【详解】 （2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（ B）A、 B、 C、 D【详解】 等式两边求全微分得：， 所以有， 其中，代入即可。（3）、设是正整数，则反常积分的收敛性( D )(A)仅与的取值有关 (B)仅与有关(C)与都有关 (D)都无关【详解】：显然是两个瑕点，有对于的瑕点，当时等价于，而收敛（因是正整数），故收敛；对于的瑕点，当时，而显然收敛，故收敛。所以选择D.（4）、( D )A、 B、C、 D、【详解】：（5）设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ A
2、）A、秩r(A)=m, 秩r(B)=m B、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=m D、秩r(A)=n, 秩r(B)=n【详解】(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于 （D）A B. C. D. 【详解】设的特征值为，因为为所以即又 ，A必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.所以正确答案为（D）(7) 设随机变量的分布函数 ，则 x=1= （C）A0 . C. D. 【详解】.所以选C(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）A、 B、 C、 D、【详解】由概率密度的性质，有所以选A。二、填空题
3、（9）、设求0 【详解】故（10）、【详解】令原式为（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0【详解】令 （12）、设则的形心坐标【详解】（13）设若由形成的向量空间维数是2，则6【详解】由题意知向量组线性相关，而其中两个向量线性无关，所以，即（14）设随机变量概率分布为，则2【详解】由概率密度的性质，有即为参数为1的泊松分布，则有三、解答题（15）（本题满分10分）求微分方程的通解 【详解】齐次方程的特征方程为由此得对应齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为 代入原方程得从而所求解为（16）（本题满分10分）求函数的单调区间与极值【 详解】由，可得，判断在区间，函数单增在区间，函数单减
4、。极小值： 极大值为单增区间单减区间 （17）（本题满分10分）（）比较与的大小，说明理由（）设，求极限【详解】令当时，故当时当时从而 又由得 由夹逼定理得（18）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数【详解】因为，所以当即时，原幂级数绝对收敛；当时，级数为，显然收敛，故原幂级数的收敛域为。因为设则因为，所以从而收敛域，和函数（19）（本题满分10分）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分 【详解】（1）切平面法向量，因与xOy面垂直， 所以 所以轨迹为 （2） 原式= （20）（本题满分11分）设已知线性方程组存在2个不同
5、的解，（）求，；（）求方程组通解。【详解】（）由题意知，的增广矩阵为 有2个不同的解（）由（）知，等价方程组为对应齐次线性方程组的基础解系含1个解向量，即的一个特解为的通解为（其中为任意常数）。（21）（本题满分11分）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为（）求矩阵；（）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。【详解】（）由题意知,其中，则设的其他任一列向量为为正交矩阵（）证明：为实对称矩阵又的特征值为1，1，0的特征值为2，2，1，都大于0为正定矩阵。（22）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度【详解】由概率密度的性质，可知又知，有所以，即的边缘概率密度为（23）（本题满分11分）设总体的概率分布为123其中参数未知，以表示来自总体的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数。试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差。【详解】由题知分别服从二项分布，则有即11