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1、2010四川考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 6 小题,请将答案写在题中横线上)(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= (2)曲线的渐近线方程为 (3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 (4)当 0 时,对数螺线 r=e的弧长为 (5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加,宽w 以 3cm/s 的速率增加,则当 l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为 (6)设 A,B 为 3 阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,则|A+B-1|= 二、选择题(本题共 8 小题,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所
2、选项前的字母填在题后括号内)(7) 函数的无穷间断点数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(8) 设 y1,y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解若常数 , 使该方程的解是对应的齐次方程的解,则(9) 曲线 y=x2 与曲线 y=aln x(aO)相切,则 a= (A) 4e (B) 3e (C) 2e (D) e(10) 设 m,n 是正整数,则反常积分的收敛性(A) 仅与 m 值有关 (B) 仅与 n 值有关(C) 与 m,n 值都有关 (D) 与 m,n 值都无关(C)(D)(11) 设函数 z=z(x,y)由方程确定,其中 F 为可微函数,且(A) x (B) z (C)
3、 -x (D)-z (12) (14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且A2+A=0,若 A 的秩为 3,则 A 与相似于三、解答题(本题共 9 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) 求函数的单调区间与极值(16) () 比较的大小,说明理由;() 记,求极限(17) 设函数 y=f(x)由参数方程所确定,其中(t)具有二阶导数,且(1)=(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆,现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为时(如图 2),计算油的质量(长度单位为m,质量单位为 kg,油的密度为常数 kg/m3)(19) 设函数 u=(x,y)
4、具有二阶连续偏导数,且满足等式,确定 a,b 的值,使等式在变换(20) 计算二重积分(21) 设函数 f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且 。证明:存在f()+f()=2+2(22) 设已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解 () 求 ,a;() 求方程组 Ax=b 的通解.(23) 设正交矩阵使得为对角矩阵,若Q 的第 1例为一、填空题参考解答(1)(2) y=2x (3) -2n(n-1)!(4) (5) 3cm/s (6) 3二、选择题(7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D三、解答题(15)
5、 分析:求变限积分 f(x)的一阶导数,利用其符号判断极值并求单调区间解令因为当 x1 时当-1x0 时时所以 f(x)的单调递减区间为(-,-1),(0,1);f(x)的单调递增区间为(-1, 0),(1,+);极小值为 f(1)=f(-1)=0,极大值为评注:也可用二阶导数的符号判断极值点,此题属基本题型(16) 分析:对()比较被积函数的大小,对()用分部积分法计算积分 ,再用夹逼定理求极限。解:()当 0t1 时,0ln(1+t)t,故|lnt|ln(1+t)n|ln|由积分性质得()于是有由夹逼定理得评注:若一题有多问,一定要充分利用前问提供的信息(17) 分析:先求可得关于(t)的
6、微分方程,进而求出 (t)解:由参数方程确定函数的求导公式可得评注:此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题,有一定难度(18) 分析:先求油的体积,实际只需求椭圆的部分面积解:建立如图 3 所示的直角坐标系,则油罐底面椭圆方程为油的质量M=V。其中油的体积 V=S 底l故评注:此题若不能记住公式则运算量稍显大(19) 分析:利用复合函数的链导法则变形原等式即可 解:由复合函数的链导法则得所以因而解得评注:此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用,是对运算能力的考核.(20) 分析:化极坐标积分区域为直角坐标区域,相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式,然后计算二重积分解:如
7、图 4,直角坐标系下,D=(x,y)|0x1,0yx,所以(21) 分析:这是一个双介值的证明题,构造辅助函数,用两次拉格朗日中值定理。证明:两式相加得f()+f()=2+2评注:一般来说,对双介值问题,若两个介值有关联同时用两次中值定理,若两个介值无关联时用一次中值定理后,再用一次中值定理(22) 分析:本题考查方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解,而且非齐次线性方程组有无穷多解解:()解法一由线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同解,得=-1,a=-2解法二 由线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解,因此方程组的系数行列式得 =1 或-
8、1;而当 =1 时,此时,Ax=b 无解, 所以 =-1由()当 =-1,a=-2 时,故方程组 Ax=b 的通解为:为任意常数(23) 分析:本题考查实对称矩阵的正交对角化问题由Q 的列向量都是特征向量可得 a 的值以及对应的特征值,然后由A 可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q解:记得 a=-1,=2,因此由得 A 的特征值为 1=2,2=-4,3=5,且对应于 1=2 的特征向量为当 2=-4 时,(-4E-A)22由(-4E-A)x=0 得对应于 =-4 的特征向量为 =(-1,0,1)T当 3=5 时,(5E-A)33由(5E-A)x=0 得对应于 =5 的特征向量为 =(1,-1,1)T因 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1, 2,3 为单位正交向量组令