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1、数学 试卷 第 1 1 页（共 6 6 页）2024 新高考数学一模练习卷（一）数学数学 试卷试卷 本卷共 6 页，满分 150 分，完成时间 120 分钟 考生考生注意事项：注意事项：1 答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况 2 在回答选择题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑 3 在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域 4 答卷结束
2、后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求是符合题目要求的 1.集合 =|2 4+3 0)过点 322,2，则下列直线方程不与 相切的是（*）（A）33+4 16=0（B）3+4+12=0（C）4+6 17=0（D）4 10=07.已知函数()=2sin+6 在区间(0,)上有 个极值点（），则 的最小值是（*）（A）1（B）2（C）3（D）48.已知 =1+sin110，=10，=1.0110，=1716，则（*）（
3、A）（B）（C）（D）数学 试卷 第 3 3 页（共 6 6 页）二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.2023 年我国的生育率仅为每千人 6.2 人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论某课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子 愿意(=1)不愿意(=0
4、)男同学 40 60 女同学 60 40 考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为 25至 30 周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子 愿意(=1)不愿意(=0)男士 60 40 女士 70 30 则（*）（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于 200 重伯努利试验（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为 0.5，25 至 30 周岁的为 0.65（C）通过下表的小概率值 =0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值 =0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：2=()2(+)(+)(
5、+)(+)，其中 =+0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.897 10.828 10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体 1 如图 3，沿着 1 和 1 分别作上底面的垂面，垂面经过棱 ，的中点 ，则两个垂面之间的几何体 2 如图 4 所示，若 =2，则（*）（A）1=22（B）/（C）平面 1（D）几何体 2 的表面积为 163+8数学 试卷 第 4 4 页（共 6 6 页）图 3 图 4 11.已知椭圆:24+23=1，过椭圆 的左焦点 1 的直线 1 交椭圆 于 、两点，过椭圆 的左焦点 2 的直线 2 交椭圆 于 、两点，则（
6、*）（A）若 1=21，则 1 的斜率 =62（B）|1|+4|1|的最小值为 274（C）以 1 为直径的圆与圆 2+2=4 相切（D）若 1 2，则四边形 面积的取值范围为 28849,6 图 5 12.已知正实数 ，满足：2+3=62 3=5，则（*）（A）ln2 1（B）0 12（C）2+6（D）ln5ln6 2+2 0，若方程()=有三个不同的实根 ，则 =|()+()+()|的取值范围是_16.若实数 ，满足 2+2 6，则(2+)(2 +3)0 的概率为_数学 试卷 第 5 5 页（共 6 6 页）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分）已知在 中，角 、所对的边分别为 ，且有 tan+tan 3tantan=3（1）求 sin；（2）若 =2，记 的中点为 ，求 的取值范围18.（12 分）在阅读完（选择性必修 第三册）课本第 53 页贝叶斯公式与人工智能后，小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：小李同学找来了小王同学；小李同学制作了三张标号，分别为 1，2，3 的相同规格纸片；每轮开始前，小李同学心里默想 1，2，3 中的一个随机数字；小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余 2 张纸片中挑走 1 张不与自己默想数字相同标号
8、的纸片；小王同学再进行一次选择；小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次 1 分，否则记录一次 0 分；重复进行多轮试验（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；（2）在（1）的情境下，求进行 2 轮试验总计分的数学期望(2)；19.（12 分）记数列 的前 项和为 ，已知=+1 2 （1）证明：是等差数列；（2）若 1=43，证明：11+12+13+1 0)，是抛物线的焦点，椭圆的方程为 22+22=1(0)，过 的直线 与抛物线交于 ，两点，反向延长 ,分别与椭圆交于 ，两点（1）求 、的值；（2）若|2+|2=5 恒成立，求
9、椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，若 的最小值为 1，求抛物线的方程（其中 ，分别是 和 的面积）图 7 22.（12 分）已知函数()=ln +ln 1，()=+1 1.（其中 0）（1）若 0 0，(0)2+1，求 的取值范围；（2）若 =()与 =()有且仅有一个交点，求实数 的值.数学 参考答案 第 1 1 页（共 5 5 页）2024 年广东省新高考数学一模练习卷（一）数学数学 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B C A B 二、选择题二、选择题 题号 9 10 11 12 答案 BCD ABC BCD ABC 三
10、、填空题三、填空题 题号 13 14 15 16 答案 4 4 0,2 12四、解答题四、解答题 17.（1）由题 tan+tan 3tantan=3 tan+tan=3(1 tantan)tan+tan1 tantan=3 tan(+)=3 tan=tan(+)=3 =3所以 sin=32.（2）如图所示，构造 的外心 ，连接 ，由题得 =1，=2sin=233，=12=33 由三角形三边关系得 +，即 33 3，故 33,3.数学 参考答案 第 2 2 页（共 5 5 页）18.（1）记事件 1 为“第二次选择时不换纸片”，2 为“第二次选择时换纸片”，1 为“记1 分”，2 为“记 0
11、分”，由贝叶斯公式得：(1|1)=(1)(1|1)(1)=(1)(1|1)(1)(1|1)+(2)(1|2)=13(1|2)=1 (1|1)=23(1|1)所以如果我是小王同学，我会选择换纸片（2）记 2 轮的总得分为 ，结合（1）得 的分布列为(=0)=19，(=1)=49，(=2)=49用表格表示 的分布列，如下表所示：0 1 2 194949(2)=0 19+1 49+2 49=43故进行 2 轮试验总计分的数学期望(2)为4319.（1）由题意=+1 2 ，+1=+1=(+1)+1 2=(+1)(+1)=(+1)+2(+1)2(+1)=(+1)(+2 2)，所以+1 =+2 2，即+2
12、=+1+2，所以 是以 2 为公差的等差数列（2）由（1）及题意得等差数列 的前 项和=2(1+)=223+2=+13 1=1+13=3(3+1)11+12+1=311 4+12 7+1 (3+1)即证33 4+36 7+33 (3+1)920易知(3 1)(3+2)3(3+1)则33(3+1)3(3 1)(3+2)33 4+36 7+33 (3+1)14+35 8+3(3 1)(3+2)数学 参考答案 第 3 3 页（共 5 5 页）=14+1518+18111+13 113+2 14+15=920原题得证，证毕 20.（1）如图，以 为坐标原点，为 x 轴，为 y 轴，为z 轴，建立空间直
13、角坐标系 则(0,0,2)，(2,0,2)，(2,2,2)，(0,2,2)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,1,1)，(1,2,0)则=(1,2,0)，=(1,1,1)，cos=|=315=155sin =1 cos2=255（2）设 为平面 和平面 的夹角由（1）得=(2,0,2)，=(1,2,0)，设平面 的法向量 1=(1,1,1)，则有21+21=01 21=0，令 1=2 得 1=11=2，所以 1=(2,1,2)；=(0,0,2)，=(1,1,1)，设平面 的法向量 2=(2,2,2)，则有22=02+2+2=0，令 1=1 得 2=12=0，所以 2=(1,
14、1,0)；cos=cos=1 2|1|2|=332=22又因为 0,2，所以 =4，故平面 和平面 的夹角为 4 21.（1）设直线 的斜率为 1(1 0)，直线 的斜率为 2，由题可知，直线 的斜率不为0，设(1,1),(2,2)，设直线:=+2，则由 =+22=2，可得 2 2 2=0，数学 参考答案 第 4 4 页（共 5 5 页）易知 0，由韦达定理得 12=2,12=(12)242=24，则 12=1122=14；（2）设(3,3),(4,4)，由题可知，:=1,:=2，其中12=14，联立方程=122+22=1 32=222+212，同理 42=1622122+16212，因为：|
15、2+|2=32+32+42+42=32+1 3222+42+1 4222=22+1 22(32+42)=22+2 22222+212+1622122+16212=22+2 22 222+(324)12+16221422+(4+164)12+162214=22+(2 2)22+(324)12+16221422+(4+164)12+162214 因为|2+|2=5 为定值，所以上式与 1 无关，所以当 324=4+164，即 2=42 时，此时 2+2=5，所以 2=4,2=1，所以椭圆的方程为24+2=1（3）因为=12|12|=|=1234，由（2）可知，当2=4，2=1时，32=41+412
16、，42=16121+412，12=2，=1234=28|1|1+412=281|1|+4|1|22，故22=1 =2，当且仅当1=12时，等号成立，此时抛物线方程为2=22.22.（1）()=ln +ln 1,+，()=1=，令()=0 得 =当 0 0，()；当 时，()0，().所以()max=()=ln +ln 1=(+1)(ln 1).令()=(+1)(ln 1)，()=ln+1=ln+1，数学 参考答案 第 5 5 页（共 5 5 页）再令()=ln+1，()=1+ln，令()=0 得 =1 当 0 1 时，()1 时，()0，().所以()min=1=1 1 0，即()0，即()0
17、，所以(),原题“0 0，(0)2+1”等价于“()2+1”，即(+1)(ln 1)=()2+1，观察到(2)=2+1，又由()得：当 0 2 时，()(2)=2+1；当 2 时，()(2)=2+1所以 2，即 的取值范围为 2,+).（2）令 =()=ln +ln 1，则=ln+ln1=(ln+ln)(+1)=+1所以()=+1 1=1，联立()=()，即 =1.令()=1 ，所以方程“=1”的解等价于()的零点.()=1，令()=0 得 =0，当 0 时，()0 时，()0，().所以()min=(0)=0，所以方程“=1”的解仅为 =0，再由题意，=()=0 有且仅有一根，即()仅有唯一零点.()=ln +ln 1，()=1=，令()=0 得 =当 0 0，()；当 时，()0，().所以()max=()=ln +ln 1=(+1)(ln 1).又注意到当 0 时，()；当 +时，()；所以()的唯一零点即其极值点，即(+1)(ln 1)=0，得 =1（舍）或 =.故 的值为 .