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1、2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案一、填空题1. 已知向量满足, 则 .答案：解析：由条件，知，所以，所以.2. 设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则 .答案：解析：含有元素的非空真子集有个，所以的所有非空真子集的元素之和为，从而.3. 若二次实系数方程有个虚根，且，则 .答案：解析：注意，由.4. 设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过的直线与交于两不同点，则直线与的斜率之积为 .答案：解析：可求得点，设，则由三点共线可得 .5. 若实数满足，则 .答案：解析：令，则；令，则.注意函数与的图像关于直线对称，且函数的图像也关于直线对称，而与的交点横坐标为，所以，从而.
2、6. 若为实数，则这三个数中的最大数的最小值是 .答案：解析：，当且仅当时取到最小值7. 四面体中，且异面直线与所成的角为. 若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为 .答案：解析：考察直三棱柱，其中，则四面体为满足题设条件的四面体，且四面体的外接球与三棱柱的外接球相同. 设三棱柱底面三角形的外接圆半径为，则. 中，由正弦定理，；再由余弦定理，从而由均值不等式可得，所以，当三棱柱为正三棱柱时可取等，故四面体的体积的最大值为.8. 有长为的线段各三条，则由这条线段能构成不全等的三角形的个数为 .（用数字作答）答案：解析：（1）若，则，那么一定不构成三角形；（2）若，则，那么一定不构成三角
3、形；（3）若，则，那么一定构成三角形；（4）若，则一定构成等边三角形综合(1),(2),(3),(4)知，构成三角形的只能是或等边三角形，共有个二、解答题9. 设实数，若关于的方程有解，求的取值范围.解：原方程等价于，4分当时，方程左边等于0，显然无解；当时，方程进一步等价于，注意，且，故方程有解当且仅当12分即，解得 .综上，.16分10. 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同两点，点为坐标原点，且，当的面积最大时，求的取值范围.解：（1）设点，由题意知，则，当时，取得最小值，即， ，故椭圆的；5分（2）设，则由得，点到直线的距离，取得最大值，当且仅当即， 10分此时，即代入式整理得，即点的轨迹为椭圆 且点为椭圆的左、右焦点，即15分记，则从而，则，令可得，即在在单调递减，在单调递增，且，故的取值范围为20分11. 已知数列满足（1）求证：是完全平方数；（2）记，求证：是整数（其中表示不超过x的最大整数，.）解：（1）易知，且为整数. 用归纳法证明：奠基：当时，成立；假设时，则当时，那么也成立；由归纳原理，知成立，故是完全平方数10分（2）由（1）知，所以，于是15分由知，及，所以；又，记为除以8的余数，则前六项为，由数学归纳法易知为周期数列，所以；故是整数，即证20分5