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1、2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）第6讲功与能知识精讲1.功的概念力和力的方向上位移的乘积称为功。即卬=尸旌05。式中。是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体 所做功等于各个力对物体所做功的代数和。对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图所示。由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作 用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位 移是与参照系无关的。值得注意的是，功的定义式中
2、力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。2.几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力工具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种 特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度4处将重力为mg的物移到高生处。重力做 功为：wc=mgh2-h ,显然与运动路径无关。（2）弹簧弹力的功物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置占运动至位置/，如图（。）所示，其弹力变化F=F （%）如图（A）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“
3、面积” 表示，功大小为（3）万有引力的功质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离外运动至相对距离G的过程中，引力所做功为 3 .功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为P 二一 t求瞬时功率，取时间则为式中V为某时刻的瞬时速度，0为此刻V与F方向的夹角4 .动能动能定理质点动能定理质量力的质点以速度u运动时，它所具有动能为：动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是：W 外= AEk = Eki _ Ekz上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。质点系动能定理若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自
4、于系统以外的作用力（外力）和系统内其它 质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系， 对其中第i个质点用质点动能定理%外+也行;犯匕2? 一：加户/对所有n个质点的动能定理求和就有1 2 1 22叱外+叱-内=3S.匕2一1919若用W外、W内、“2、Eq分别表不外、叱内、S-mzv/2、啊匕则上式可写成W外+ W内=EK2- Eki由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。 和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照 系无关的，因为内力做的
5、功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十 分有效。5.势能势能：若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位 置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的 能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即WL AEp。（1）势能的相对性。通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系 统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。（3）只有
6、保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。常见的几种势能:（1）重力势能在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为 （2）弹簧的弹性势能取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx,弹力做的功为由前面保守力所做功与势能变化关系可知（3）引力势能两个质点M、m相距无穷远处，规定后0 =。，设m从无穷远处移近M,引力做功W,由于F弓尸一厂, 厂大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图，取质点n由A到B,位移为r=4-弓，引力做功厂很小，、.差异很小,则由无穷远至距r处，引力功W为开始时初T 00，最后相对距离为末
7、=r又有 W = -AEP= -（EPr - Eg） EPr=四生r质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为E=_GMm仑r r为球半径r质量M,半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m,引力均不做功，引 力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为GMm、r Rp -J 丁pGMm八r RI R6 .功能原理和机械能守恒定律功能原理：根据质点系动能定理当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即于是得到用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到外力的功和
8、非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外 力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。机械能守恒定律：若外力的与非保守内力的功之和为零时，W外+W非保=。则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内 力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。典型例题题型一机车启动问题例1.（“华约咱主招生XI）质量为1 t的汽车在10 s内由静止加速到60 km/h,若不计空气阻力，发动机的平 均输出功率约多少？汽车速度较大时，空气阻力不能忽略
9、，将汽车模型简化为横截面积约1 m2的长方体，并以此模型估算汽 车以60 km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率。（空气密度=1.3 kg/m3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其他阻力 与速度无关，估算其他阻力的大小。变式1.电动机带动电梯上下时要加一配重，其装置如图所示。小5是两个定滑轮，。是动滑轮，不计滑轮 摩擦和重量，配重的质量m=l000 kg,电梯载人后的总质量M=3000 kg。设电梯向上为正方向，取g= 10 m/s2o 求：（1）电梯向上匀速运动，速度为ui = 3m/s,电动机的输出功率。（2）电梯向上运动，加速度为。=
10、一0.5m/s2,速度为V2 = 3m/s时电动机的输出功率。题型二动能定理的理解与应用例2.（清华大学自主招生）在光滑的水平桌面上有两个质量均为根的小球，由长度为2/的拉紧细线相连。以 一恒力作用于细线中点，恒力的大小为R方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两 球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为0变式2.（“北约”自主招生）如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点3、C和D 即A3=3C=CZ）。小滑块P以初速w从A出发，沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑 块到达。位置刚好停下，而后下滑。若设置斜面AB部分与滑块间有处处相同
11、的摩擦，其余部位与滑块间仍 无摩擦，则滑块上行到。位置刚好停下，而后下滑。滑块下滑到3位置时速度大小为,回到A端 时速度大小为 O题型三动能定理在多过程中的应用例3.（2016年全国一卷）如图，一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37。的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态,直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点、，AC=7R, 6A、B、C、。均在同一竖直面内。质量为根的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出）, 随后尸沿轨道被弹回，最高点到达/点，AF=4R,已知P与直轨道间的动摩擦因数=工，重力加速度大小为 g。（m sin 37 =0.6,
12、 cos37 =0.8）（1）求P第一次运动到8点时速度的大小。（2）求产运动到E点时弹簧的弹性势能。（3）改变物块。的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点。处水平飞出后,7恰好通过G点。G点在。点左下方，与。点水平相距一尺、竖直相距R,求P运动到。点时速度的大小和 2改变后尸的质量。变式3.如图所示，水平传送带A、8两轮间的距离L=40m,离地面的高度”=3.2 m,传送带以恒定的速率 vo=2m/s向右匀速运动.两个完全一样的小滑块P、。中间夹有一根轻质弹簧（弹簧与P、Q不拴接），用一轻 绳把两滑块拉至最近（弹簧始终处于弹性限度内），使弹簧处于最大压缩状态.现将P、
13、Q轻放在传送带的最左 端，P、Q一起从静止开始运动，4=4 s时轻绳突然断开，很短时间内弹簧伸长至本身的自然长度（不考虑弹 簧的长度的影响），此时滑块P速度反向，滑块Q的速度大小刚好是P的速度大小的两倍.已知小滑块的质量 均为m=0.2kg,小滑块与传送带之间的动摩擦因数=0.1,重力加速度g=10m/s2.求： 弹簧处于最大压缩状态时的弹性势能；两滑块落地的时间差；两滑块在传送带上运动的全过程中由于摩擦产生的热量.题型四机械能守恒定律的应用例4.（“北约”自主招生）如图，一个质量为2机的球和一个质量为根的球，用长度为2r的轻杆连在一起，两 个球都限制在半径为一的光滑圆形竖直轨道上，轨道固定于
14、地面。初始时刻，轻杆竖直，且质量为2根的球 在上方；此时，受扰动两球开始运动，当质量为2加的球运动到轨道最低点时，速度为 o轨道对两球组成的系统的力为 o变式4. （29届预赛）如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，两端各系一个质 量相等的小球A和B,球A刚好接触地面，球B被拉到与细杆同样高度的水平位置，当球B到细杆的距离 为L时，绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球B,使球B从静止开始向下摆动.求球A刚要离开地面时球B 与其初始位置的高度差.题型五系统机械能守恒的应用1 .速率相等的连接体模型如图所示的两物体组成的系统，当释放3而使A、5运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方
15、向，在相等时间 内A、3运动的路程相等，则A、5的速率相等。判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能 相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。2 .角速度相等的连接体模型如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、8在竖直平面内绕。点的轴转动，在转动的过程中相等时间内 4 8转过的角度相等，则A、8转动的角速度相等。系统机械能守恒的特点一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。 内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。3分速度大小相等的连接体模型如
16、图所示的两物体组成的系统，当释放后A、3运动的过程中，A、3的速度并非均沿绳子方向，在相等时间 内A、3运动的路程不相等，则A、8的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。列系统机械能守恒的两种思路（1）系统动能的减少（增加）等于重力势能的增加（减少）。（2）一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。例5.（浙江大学自主招生）如图所示，一根长为I的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b,它们的质量分别为 如和机。杆可绕距。球为;处的水平定轴。在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置。小球匕几乎接触桌 面。在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中A3C
17、Q为过立方体中心 且与细杆共面的截面。现用一水平恒力/作用于。球上，使之绕。轴逆时针转动，求当。转过。角时小球b 速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离。不计一切 摩擦。变式5.（清华大学自招）如图所示，一个半径为R的半球形碗固定在桌面上，碗口水平，。点为其圆心，碗 的内表面及碗口是光滑的。一根足够长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A（可视为质点）和b 当它们处于平衡状态时，小球A与。点的连线与水平线的夹角为60。求：（1）小球A与小球B的质量比mA:恤。现将A球质量改为2”，8球质量改为根，且开始时A球位于碗口右端的。点，由静止沿碗下滑
18、。当A球 滑到碗底时，两球总的重力势能改变量的大小。在的条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小。变式6. （17届预赛）如图所示，B是质量为加b、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为 以的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB = 2mAo 初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A, A、B便 开始运动。设A杆的位置用陵示，为碗面的球心。至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹 角。求A与B速度的大小（表示成知勺函数）。题型六功能关系的应用例6.（北京大学自主招生）长为6
19、、质量为6根的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外， 另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块，如图所示，木块在A3段与桌面无摩擦，在8E段与桌面有 摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停在A处，绳处于绷紧状态，AB=BC=CD = DE=L,放手后，木块最终停在C处，桌面距地面高度大于6L求木块与8E段的动摩擦因数心.21 %7若木块在3石段与桌面间的动摩擦因数变为川=券，则木块最终停在何处？是否存在一个值，能使木块从A处释放后，最终停在石处，且不再运动？若能，求出该4值；若不能， 简要说明理由。变式7.(上海交通大学自主招生)如图所示，甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的 顶点。处有光滑的水平固定转动轴，且。4 =。8=L 系统平衡时，04与竖直方向的夹角为37。(1)求甲、乙两个小球的质量之比。若将直角尺顺时针缓慢转动到0A处于水平位置后由静止释放，求开始转动后B球可能达到的最大速度和 可能达到的最高点。