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1、1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋乱表象下，波函数甲如何归一化？解释各项的几率意义。6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数材（乙。所描述的状态时，简述在群（乙。状态中测量力学量F的可能 值及其几率的方法。8、设粒子在位置表象中处于态（乙。，采用Dirac符号时，若将改写为| （）有何 不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？9、简述定态微扰理论。10、StemGerlach实验证实了什么？11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？12、两
2、个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如方e的某一能级对应f个正交归一本征函数。,（i = l, 2,f）,为什么一般地储不能直接作为H=6+印的零级近似波函数？15、在自旋态;（工）中，g和，的测不准关系（不,尸是多少?16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Scr方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否定不能同时确定？举例说明。18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共挽。19何谓选择定则。20 能否由Sch rod
3、inger方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。22、厄米算符是如何定义的？23、据d, ci+=, N = a a ,可=力2，证明：a n） =y/7tn-l Q24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。25、自旋 = &椅，问标是否厄米算符？言是否一种角动量算符？226、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。54 .对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数 有关的积分R.，/（DR/r）一公在和取任何整数值时均不恒等于零。55 .在初等量子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。56不一定能归一化，因为波函数满足的方程不
4、是线性方程时，”与C表示的就不一定是同一态。57 在动量表象中：x = ih- , f -/V f, px= px, P = P58满足仍=产）的算符为幺正算符。59因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的一，所以忽略了磁场对电子的作用。 13760四行一列。 h -61德布罗意关系：P = n = hk自由粒子的德布罗意波： 二 Ai62由口喂口得：广产2么=3口田衣令片二得7-*公=3563首先求解力学量F的本征方程：耙=儿耙中力=2人，然后将9亿。按F的本征态展开：d,t） = Zc&+JcMcU,则F的可能值为44,，4,%，F = 4的几率为|cn，F在之4 + cU
5、 n范围内的几率为|cJcU。64可以适用。65自旋是一种内票角动量，并不是自转。66光是粒子和波的统一。67不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。小，112了3 =0,1,2,)68球谐振子能级Ej,=方。n+? （n = II1+i12 +/ ； En的简并度为（n + D（n + 2）。269不一定。偶极近似下的结果才为/1 = 1,在多极近似下或精确解时/1 = 3也可能会实现。70克莱布希一高登系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的。71、”与。+ 2万在球坐标系下为同一点,根据波函数的单值性，同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数 川几夕。）为进动角0的周期函
6、数.72、二维定态薛定丹方程：一2fj + Ul + U。W = E.dy2 。+令材=WW, E = E,J Ey.=Ux+Uy.力2 d2y/x2/ dx2 方2心73、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符4（4,它们的共同本征函数记为忆（Z是一组量子 数的笼统记号）.若给定之后就能够确定体系的一个可能状态，则凡A，&，）构成体系的一组力学量完 全集.力学量完全集中厄米算符的数FI与体系的自由度数相同.74、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark效应.加入外电场后，势场的对称性受 到破坏，能级发生分裂，使简并部分被消除，可用简并情况下的微扰理论来处理.在一级st
7、ark效应中，由于通 常情况下，外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多，故可以把外电场看作微扰.二 方 A二 二二人 人人AA75、将S = 万代入自旋角动量定义式SxS = /%S得=访3,即算符万不满足角动量定义式.276经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。在Plank, Einstein, Bohr, de Broglie等的基础上,Heisenberge, Schrodinger,分别提出矩阵力学、波动力学，经Dirac, Pauli等 人的完善发展形成了当今的量子力学。= -ihz + ihxdx6、2dz-3oxl2=-a2Vz一d dzx
8、一dx 6z4-dx、2y一 dx78不一定成立，仅当/= /时成立。因为角动量的本征态（对应量子数/）是关于角向正交归一的。79不适用，n很大时，耳* 一与可能很小,UUnin,2011,1即定态能量的最小值不可能低于势能的最小值。 一维线性谐振子能量本征值方程方匕=耳口，其中 + %2j引入产生、消灭算符&-=金XpN（f）x +p JLICO以Dirac符号表示心，则因 H =Jrf.ico2x2故 H =（aa + hco = N + hco , 2 2I 2）=算符启的本征值为小以忖为基矢的表象称为占有数表象。AA AA AA AA/人人、+A A/ AI A A IA A/V A8
9、4 .令 A+ =AyB =B,C = AB，则 C+ =(A司=B+A+ = BA ,若卜闾=0 则 AB = BA ,有 & =(z*y=么4=(?,即e为厄米算符。85 . 在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度， 得出跃迁几率32,oc|e*J,其中4为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。86、旧量子理论有下列不足：其角动量量子化的假设很生硬；比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使是 氢原子，对其谱线强度也无能为力。量子力学的优点：量子化是解方程得出的很自然的结果；可以解释比氢原子更复杂的原子；对于氢原 子不仅可以给出谱线的位置，也可
10、以给出谱线的强度。人d187、设以=-访:的本征值为访，本征函数耙=-7=*其中加=0,1,2,.c(pN2兀88、一个物理体系存在束缚态的条件是：存在能量值，其大小小于无穷远处的势能，且对应该能量的方程 存在满足无穷远处为零的边界条件的解方必/r, .iTj求极小值%：丁 = 0, 得基态能量用）=后（4），基态波函数“0 = “（4）,尸）.需要注意的是，在选尝试波函数时，需要许多技巧.95 .在表象下.电子的三个泡利（Pauli）矩阵为:()r1 011 ()、o -I96 .同人们理解所有基本概念的过程一样,人们对物质粒子波动性的理解也并非一帆风顺：由于深受经典概 念的影响，包括波动力
11、学的创始人在内,他们把电子衍射实验中的电子波看成三维空间中连续分布的某 种物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度.但这种观点连自由粒子的运动 都无法解释:随着时间的推移，与自由粒子对应的物质波包必然要扩散，即导致粒子越来越“胖”，这与实 际相矛盾;物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面,带有片面性；与物质波包相反的另种看法是，波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波.但电子 衍射实验表明:即使是单个电子也具有波动性.这种观点夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子具有波动 性的一面.以上观点的局限在于试图用经典的观点给予解释.经典力学中说到一个“粒子”时，意
12、味着一个具有一定质量和电荷等属性的客体，物质粒子的这种 “原子性”是实验证实了的.而粒子具有完全确定轨道的看法在宏观世界里则只是一个很好的近似，无限精确的坑道概念从来也没有为实验所验证过;经典力学中说到一个“波动”时，总是意味着某种实在的物理量的周期性空间分布.但实际上，更本质的在于波的相干叠加性.分析电子衍射实验司.知，电子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”，而并不与 “粒子具有确定的轨道”的概念相联系;电子所呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西一一波 的叠加性，而不与某种实在的物理量在空间的波动相联系.把粒子性与波动性统一起来，更确切的说，把微观粒子的“原子性”与波的“
13、叠加性”统一起来的 是M.Born（1928）,他在用薛定谓方程处理散射问题时为解决散射粒子的角分布而提出了波函数的统计 解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成比例.即描写粒子的波为几率波.97 .定态薛定谓方程:?+ + = E+ . 2）（t.2取其复共挽： V2+U =EW*,（.E为实数，且UJU）I 2）即也是对应同一本征能级的解.如果能级不兼并，则W与*是同一量子态，故可设/* = c/（C为常数）.取复共桅：/=/* =/= M = 1 n c = ,a为实数，取相位a = 0,则/* = W即/可以取为实数.98 .我们知道,几何中的矢量，经典力学中的规律，都
14、和所选坐标系无关.同样量子力学的规律也应和所选用的 表象无关，态和力学量的描述可以不涉及具体表象，为此Dirac最先引入了狄拉克符号.99 .前提是方=0，+力中:小，此。=仔此。己解出,方是小量.理论适用条件:刖合而1（E俨w E俨）.即不仅决定于矩阵元的大小，还决定于能级间的距离怛丁）-卜实际上，这一条件即H是小量的明确表示.100 .两个角动量可以是:两个凯道角动量;两个自旋角动量;一个凯道角动量与一个自旋角动量.统一 用4,2表示两个角动量耦合时：tn =叫 + m2,J=J-J2 +1k,Vl +人卜和人所满足的关系称三角关系27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。28、知
15、6问能否得到存=且？为什么？ax29、简述变分法求基态能量及波函数的过程。30、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？31、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E”的简并度是多少？若粒子自旋为s,问 的简并度又是多少？ClF 苏 1 A A32、根据二十 一 /,”说明粒子在轼力场中运动时，角动量守恒。 dt ct m33、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？34、简述氢原子的一级stark效应。35、写出的计算公式。36、由说明波函数的量纲。37、户、为厄米算符，问户，6与江户，C是否厄米算符？38、据近，* =I, N = a+a ,证明:an
16、） = y/n + n + ） o39、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？40、什么是耦合表象？41、不考虑粒子内部自由度，宇称算符户是否为线性厄米算符？为什么？42、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。1 143、已知 =）优+ ），px=j1一 &），且奴“ =而可乙+1， 试推出线性谐振子波函数的递推公式。44、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。45、何谓无耦合表象？46、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。47、G=6是否线性算符？48、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？49、何谓选择定则？50、写出）02）公式。51、何为束缚态？52、写出位置表象
17、中A , P , X和尸的表示式。53、对于定态问题，试从含时Schrodinger方程推导出定态Schrodinger方程；54、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制？为什么？55、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出 的？56、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？八八A.57、试写出动量表象中X,九儿，万的表式58、幺正算符是怎样定义的？59、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们 为什么忽略了磁场对电子的作用？60、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函
18、数应是几行一列的矩阵？61、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波.62、一维线性谐振子基态归一化波函数为尧6s，试计算积分OOJ dx； c63、当体系处于归一化波函数3所描述的状态时，简述在力态中测量力学量F的可能值及其几率的方 法：64、己知氢原子径向Sc/zzt九ger方程无简并，微扰项只与,有关，问非简并定态微扰论能否 适用？65、自旋是否意味着自转？66、光到底是粒子还是波；67、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？68、不考虑自旋，求球谐振子能级&的简并度：69、我们学过，氢原子的选择定则/= 1,这是否意味着& = 3的跃迁绝对不可能发生？7
19、0、克莱布希一高登系数是为解决什么问题提出的？71、在球坐标系卜，波函数核（厂，仇0）为什么应是进动角。的周期函数？72、设当|x|Va和|y|Vb时，势能为常数U。，试将此区域内的二维Sc/z川厂方程分离 变量（不求解）：73、何谓力学量完全集？74、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将方=eE 产视为微扰项？TV75、Pauli算符3是否满足角动量的定义式？76、简述量子力学产生的背景；77、写出位置表象中直角坐标系下、丫、的表示式；878、R”为有心力场中的径向波函数，问Jr：/2尸=5,5,；是否成立？为什么？ 079、定态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况？为什么？
20、80、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？81、说明b(x)的量纲;82、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值：83、简述占有数表象；84、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；85、何为偶极近似？86、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？* 力a87、写出=三的本征值及对应本征函数：i3。88、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？89、简述态的表象变换的方法；90、已知总角动量亍=彳+12,试说明户,/门=0。91、旧量子论存在哪些不足？92、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？93、两个不对易的力学最一定不能同时
21、确定吗？举例说明；94、简述变分法的思想；95、写出电子在乱表象下的三个Pauli矩阵。96、简述波函数的Born统计解释；97、设犷是定态SC历次历火方程的解，说明“也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能 级的波函数一定可以取为实数；98、引入Dirac符号的意义何在？99、定态微扰论的适用范围是什么？100、简述两个角动量耦合的三角形关系。答案1 .波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。2 .电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。轨道：电子径向分布几率最大之处。3 .力学量c在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为e的本征值。4 .能量测不准关系的数
22、学表示式为国加之，/2,即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测 量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。5 .利用弘(x,y,z)|2+弘(x,y,z)|2 jdr = 1进行归一化，其中：卜(x,y,z)表示粒子在(x,y,z)处 Sz弓的几率密度，帆(x,y,z);表示粒子在(x,y,z)处S, =-g的几率密度。6 .束缚态：无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。7 .首先求解力学量F对应算符的本征方程：巨媒=%媒 巨我=4必，然后将按F的本征态展开:d,t)=ZcM+c/cU,则F的可能值为4,4,4,2 , F = 4的几率
23、为|cj, F在 n%X + cU范围内的几率为8 . Dirac符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为行9 .求解定态薛定评方程力二E时，若可以把不显含时间的力分为大、小两部分力=加+力，其 中(1)，加的本征值和本征函数忆，是可以精确求解的，或已有确定的结果 H；。)= E叱， 方很小,称为加在“上的微扰，则可以利用此和碎构造出和 Eo10 . Stein -Gerlack实验证明了电子自旋的存在。11、条件：能量比无穷远处的势小：能级满足的方程至少有一个解。12、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。13、无关。14、因为作为零级近似的波函数必须保证3)-e2
24、)mp有解。_方415、 o1616、不是，是17、不一定，如互不对易，但在加态下，Lx =L =LZ =()o18、厄米矩阵的定义为矩阵经转置、共规两步操作之后仍为矩阵本身，即= Amn，可知对角线 上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共规。19、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只 有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。20、不能。21、如果必和忆是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加沙+c22(5、C2是复数)也是这个体系的可能状态。22、如果对于两任意函数材和0,算符户满足下列等式J下贝一伸/“if,则称宜为厄米算符
25、。23、,.,石=1 即赤+百5 = 1又.而=6+百. Na|n) = a aa,aa|n) = (aa, -l)a|n) = (aN-aj|n = aN|n)-a|n = an|n)-a|-a|n) = a(n-l)|n)= (n.1)A|n)/. a| n) = c| n -1)又网11)= (n|n|n) = n 且(n|N|n = (n|a+a|n) =n|c|2|n = |c|2- lc|2=n取 c =石得 n)= Vn| n _ 1)24、EE? + HjZmHnmE（。）- E（。）.i _ /(。) I H，nnAO) I . 匕一忆 + 乙 p(o)_p(o)+ m nC
26、m适用条件:HmnE（。）- e125、标是厄米算符，但不是角动量算符。26.有关，例如/在位置表象和动量表象下的本征态分别为收卜）=-才和匕,伊）二3/-冗）, p必2加p0它们的量纲显然不同。27 .坐标表象下动量的本征方程为外（F）=Cer,它有两种归一化方法：归一化为S函数：由* （加式9,=版-就得出C = 箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中, （2就）3边长为L,取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由川。）（瓦（钢汇 = 1得出C = 1。28 .不能，因为所作用的波函数不是任意的。29 .第一步:写出体系的哈密顿算符；第二步：根据体系的特点（对称性
27、,边界条件和物理直观知识），寻找尝试波函数“（4）,人为变分参数, 它能够调整波函数（猜一个）；第三步:计算哈密顿在犷（4）态中的平均值IV WH （A）y/（A）drJ- （2）（2）Jr第四步:对丽求极值，即令幽& 二 （）,求出则dzEoLn (孙必产30.不可以。31不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为七“，其简并度为2。若考虑粒子的自旋为s,则E”的简并度为(2s+ 1)/。2人)32粒子在奏力场中运动时., Hamilton算符为：H =- -r2 + U(r),则有：2jli r- dr dr 2”|4,方=上,方=0, 乂因角动量不显含时间，得察=0、角动量
28、守恒。33旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为,力切；另外，量子力学表 2明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。34在氢原子外场作用下，谱线( = 2f = 1)发生分裂(变成3条)的现象。*乙I4昉=1(/ + 1) ?(加+ 1)川Am+1。36波函数的量纲由坐标r的维数来决定。对一维、二维、三维，丁的量纲分别为、L则波 函数的量纲依次为L川2、产。37 户，不是厄米算符，订户，是厄米算符。因为(户，)+=(户38证明：可证明算符4,4+对于能量本征态的作用结果是：a )=.D 一 1).+同=v(ri +1)(1)/Iw为待定系数。上式的共辄方
29、程是：户是线性厄米算符。42、几率流密度/上J与几率密度a)= w*W满足的连续性2m方程为：+ VJ =0 dt2/jco43、 X% =f-H + +Vn =X2n =l/ACOh2/69力2/769h2/J CD2 +/4A人人.人+人人+人.|口。科n +aa Wn +a ay/n + a y/n)Qn(n-ln.2 +(n + lVn +nn +，+ 痴 +2Mli+2)(7n(n-ln.2 +(2n +1 % + J(n + l)(n + 2HliJN * /八与a人+人+人人+人+ =ciay/n -aa y/n-a/ +a a 外) 2/7=(jn(n - I，-(n + 配-
30、叱、+ J(n + “】+ 23+2)=詈(向口Vn-2 -(2n + 1kn +J(n + 】Xn + 23+2)1 I244、一级近似下，由初态之跃迁到终态耙的几率为：Wk_m = fH；keifdl,其中， 法-H【k =/想小加丁, 0mk4)。Jn45 j：,兀，唠，22相互对易，有共同的本征态|i mJ2 m2三5 m)| j2 m2)，则该本征态对应的表象 为无耦合表象。46线性谐振子定态波函数的递推公式：攵少“ 二:(#P向，-而不钻用)，其中，”为线性谐振子定态47不是，因为6(。)=。*。工。6夕。48在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。49为了使越迁几率不为零，一定
31、对量子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。50 4加=JA/ + 1)_痴训 jnf。51 .束缚态:能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。- 方 d 二 方 -52 . Pr, P = -V, x = x, r = xi+yj + zk i dx i53 .当U(r)不显示时间r ,设(rft) =(p(r)f(t)代入含时薛定谓方程 c(r八方2iti ； ,V2P(r,/)4-(/(r)P(r,/), 分离变量得：dt2ju访 df(t)1 rh2 _2 z_ ./_7v(P(r) + U(r)dr)f(t) dt (p( r) 2这个等式左边只是/的函数，右边只是的函数，而/和是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能满足。以E表示这个常量，由等式右边等于E,有：方2 72(p(r) + U(r)(p(r)=E(p(r)2此即为定态薛定郡方程。