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1、焦作市博爱一中焦作市博爱一中2023202320242024学年高三年级（上）定位考试学年高三年级（上）定位考试数学考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、一、单项单项选择题：选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2、1.已知集合12Ax axa，35Bxx，则能使AB成立的实数a的取值的集合是().A.34aaB.34aaC.34aaD.2.已知0a，0b，2abab，若不等式2229abm恒成立，则m的最大值为()A.1B.2C.3D.73.对于问题“求证方程345xxx只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程345xxx化为34155xx，设 34155xxf x，因为 f x在 R R 上单调递减，且 20f，所以原方程只有一个解2x”.类比上述解题思路，则不等式632(23)(23)xxxx的解集是()A.,13,B.1,3C.3,1D.,31,4.若复数z所对应的点在第四象限，且满足2220
3、zz，则2z()A.1 iB.1 iC.2iD.2i5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.214B.212C.214D.2126.已知四面体ABCD的所有棱长都等于 2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则EF AC 等于()A.12B.12C.52D.527.已知O为坐标原点，设1F，2F分别是双曲线221xy的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点1F作12FPF的平分线的垂线，垂足为H，则|OH()A.1B.2C.4D.128
4、.若对任意正实数x，y都有2(lnln)0exyyxym，则实数m的取值范围为()A.(0,1B.(0,eC.(,0)1,)D.(,0)e,)二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分.9.已知集合20,0 x xaxba有且仅有两个子集，则下列结论正确的是()A.224abB.214abC.若不等式20 xaxb的解集为
5、12x xxx，则120 x x D.若不等式2xaxbc的解集为12x xxx，且124xx，则4c 10.已知(2,0)A，(2,0)B，若圆22:(21)(22)1Cxaya上存在点M满足0MA MB，则实数a可以是()A.-1B.12C.0D.111.已知直线11:30lxy，2:250lxy，3:30lxay不能围成三角形，则实数a的取值可能为()A.1B.13C.-2D.-112.若定义在 R R 上的函数()f x，对任意两个不相等的实数1x，2x，都有12120 xxf xf x，则称函数()f x为“H函数”，下列函数是“H函数”的有().A.3()1f xxx B.()32
6、(sincos)f xxxxC.()e1xf x D.ln|,0()0,0 x xf xx三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.已知02，2sin46则sin1tan_.14.正四棱柱1111ABCDABC D中，1BC与平面11ACC A所成角的正弦值为24，则异面直线1BC与1DC所成角的余弦值为_.15.已知函数()2f xxa，()ln2g xxx，如果对任意的1x，21,22x，都有 12f xg x成立，则实数a的取值范围是_.16.某市教育局人事部门打算将甲乙丙丁戊这 5 名应届大学毕业生安排到
7、该市 4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知函数 1axbfxx，且 14f，22f.（1）求 f x的解析式；（2）判断 f x在1,上的单调性，并用定义证明.18.（12 分）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中1,2a.（1）若2 5c，且/c a，求c的坐标；（2）若1,1b，a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围.19.（12 分）如图，在三棱锥
8、PABC中，ABAC，D是BC的中点，PO 平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知8BC，4PO，3AO，2OD.（1）求证：APBC.（2）若点M是线段AP上一点，且3AM，试证明平面AMC 平面BMC.20.（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)A，直线:24l yx.设圆C的半径为 1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使|2|MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.21.（12 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物
9、线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为 60 米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为 40 米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求该段抛物线的方程；（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？22.（12 分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过(2,0)，33,2两点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆221xy相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足0OA OB (O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存
10、在，请说明理由.参参 考考 答答 案案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：解：由AB知，13a 且25a，解得34a.2.答案：C解析：因为2abab，所以121ba.又因为0a，0b，所以21222(2)4 152 49baabababab，当且仅当3ab时取等号.由题意可得2299m，即33m，则m的最大值为 3.故选 C.3.答案：A解析：由不等式63223(23)xxxx，得3223(2
11、3)23xxxx.设函数 3f ttt，则 2310ftt，所以 f t在 R R 上单调递增.因为223f xfx，所以223xx.解得3x 或1x .故选：A.4.答案：C解析：根据已知有：因为复数z满足：222zz0，即2(1)1z ，故1 iz 或1 iz ，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数1 iz ，所以22iz .故选 C.5.答案：D解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，则由题意可知，2222114222hahahh，因此有2222ahhah，即2104hhaa，解得122ha，因为0ha，所以122ha.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边
12、长的比值为212.故选：D.6.答案：D解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以1124EFABBCCD ，所以1124EF ACAB ACBC ACCD AC .因为|cos,2 2 cos602AB ACABACAB AC ，|cos,2 2 cos602BC ACBCACBC AC ，|cos,2 2 cos1202CD ACCDACCD AC ，所以11522(2)242EF AC .故选 D.7.答案：A解析：根据双曲线的对称性，不妨在双曲线右支上取点P，延长2PF，1FH交于点Q，图略.由角平分线性质及1PHFQ可知1|PFPQ.根据双曲线的定义得，122P
13、FPF，从而22QF，在12FQF中，OH为其中位线，故|1OH.故选 A.8.答案：A解析：因为2(lnln)0exyyxym，所以12lnexxyym，设xty，0t，()2lnetf tt则ln21()eetf tt，lne21(e)0eeef，令ln21()eetg tt 212()0eg ttt 恒成立，故()yft单调递减，当(0,e)t时，()0ft，函数()f t单调递增；当(e,)t时，()0ft，函数()f t单调递减；故max()(e)1f tf所以11m，得到(0,1m.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
14、 2020 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分.9.答案：ABD解析：由于集合20,0 x xaxba有且仅有两个子集，所以240ab，24ab.因为20a，所以0b.22224(2)44abbbb，当且仅当2b，2 2a 时等号成立，故 A 正确.211142 44abbbbb，当且仅当14bb，即12b，2a 时等号成立，故 B 正确.不等式20 xaxb的解集为12x xxx，则120 x xb ，故 C 错误.不等式
15、2xaxbc的解集为12!x xxx，即不等式20 xaxbc的解集为12x xxx，且124xx，又因为12xxa，12x xbc，所以221212124xxxxx x24()416abcc，所以4c，故 D正确.选 ABD.10.答案：ABC解析：0MA MB 点M在以AB为直径的圆22:4O xy上，故问题等价于圆O与圆C有公共点，所以221|(21)(22)3OCaa，解得112a，故选 ABC.11.答案：BCD解析：因为直线1l的斜率为 3，直线2l的斜率为12，所以直线1l，2l一定相交，交点坐标是方程组31,25xyxy的解，解得1,2,xy所以交点坐标为(1,2).当0a 时
16、，直线3l与x轴垂直，方程为3x，不经过点(1,2)，所以三条直线能围成三角形.当0a 时，直线3l的斜率为1a.若直线1l与直线3l的斜率相等，则13a，即13a，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线2l与直线3l的斜率相等，则112a，即2a ，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线3l过直线1l，2l的交点(1,2)，则1 230a，即1a ，此时三条直线不能围成三角形.故选 BCD.12.答案：BC解析：由题意可知()f x是 R R 上的增函数.对于 A，由2()310fxx ，得3333x，所以()f x在区间33,33上为增函数，故 A 中函
17、数不是“H函数”；对于 B，()32(cossin)32 2sin4fxxxx，又2 2sin 2 2,2 24x，所以()32 2sin04fxx恒成立，故 B 中函数是“H函数”；对于 C，()e0 xfx恒成立，故 C 中函数是“H函数”；对于 D，易知()f x为偶函数，所以它不可能为 R R 上的增函数，故 D 中函数不是“H函数”.三、填空题：每小题三、填空题：每小题 5 5 分，共分，共 4 4 小题，共小题，共 2020 分分.13.答案：4 1751解析：因为02，444，所以2234cos1466，所以sinsinsincoscossin444444223421176262
18、6，所以171sin6，2171cos1sin6，所以sin171tancos171，则171sin4 1761tan511711171.故答案为：4 1751.14.答案：34解析：以A为原点，AB，AD，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.设1ABAD，1(0)AAa a，则(1,0,0)B，1(1,)0,Ba，(1,1,0)C，(0,1,0)D，1(1,1,)Ca，所以1(0,1,)BCa，平面11ACC A的一个法向量(1,1,0)BD .设1BC与平面11ACC A所成的角为，则111sincos,|BD BCBD BCBD BC 22|(1,1,0)(0
19、,1,)|1241 1121aaa，解得3a.所以1(0,1,3)BC，1(1,0,3)DC .设异面直线1BC与1DC所成的角为，则1111|(0,1,3)(1,0,3)|3cos2 24BC DCBC DC .15.答案：(,ln28解析：求导函数，可得11 2()2xg xxx，12 2x，()0g x，min()(2)ln24g xg，()2f xxa()f x在122，上单调递增，max1()42f xfa，对任意的1x，21,22x，都有 12f xg x成立，4ln24a，ln2 8a，故答案为：(,ln28.16.答案：240解析：先将 5 名学生分成 4 组共有1112543
20、233C C C C10A种，再将 4 组学生安排到 4 所不同的学校有44A24种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10 24240种.故答案为：240.四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）2101xfxx（2）单调递增，证明见解析解析：（1）由题意，得 +1=422+2=23a bfa bf，即+=82+=6a ba b，解得：2a，10b .故 2101xfxx.（2）方法一：f x在1,上单调递增.证明：12,1,x x ，且12xx，则 21122121212
21、121212101210112210210111111xxxxxxxxfxfxxxxxxx.由211xx，得210 xx，210 x ，10 x，所以 210f xf x，即 21f xf x.故 f x在1,上单调递增.方法二：f x在1,上单调递增.证明：12,1,x x ，且12xx，则212121212121021011xxf xf xxxyxxxxx 211221212121012101111211xxxxxxxxxx.由211xx，得210 x ，10 x，所以0yx.故 f x在1,上单调递增.18.答案：（1）2,4c 或2,4（2）5,00,3 解析：（1）因为1,2a，且/
22、c a，则(,2)ca，又2 5c，所以22(2)20，即2，故2,4c 或2,4；（2）由1,1b，则1,2ab，由()1(1)2(2)0aab ，解得53，又a与ab不共线，则1(2)2(1)，解得0，故a与ab的夹角为锐角时，实数的取值范围为：5,00,3.19.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(0,3,0)A，(4,2,0)B，(4,2,0)C，(0,0,4)P，所以(0,3,4)A
23、P ，(8,0,0)BC ，所以0(8)3 04 00AP BC ，所以APBC ，即APBC.（2）因为PO 平面ABC，AO 平面ABC，所以POAO.因为4PO，3AO，所以5AP.因为M为AP上一点，且3AM，所以35AMAP.由（1）得(0,3,4)AP ，所以9 120,55AM.又(0,3,0)A，所以6 120,55M.所以16 124,55BM ，16 124,55CM.设平面BMC的法向量为(,)a b cn，则0,0,BMCM nn即161240,55161240.55abcabc令1b，则0a，43c，所以40,1,3n.设平面AMC的法向量为(,)x y zm，则0,
24、0,AMCM mm即9120,55161240.55yzxyz令5x，则4y，3z ，所以(5,4,3)m.所以40 5 1 4(3)03 n m，所以nm，所以平面AMC 平面BMC.20.答案：（1）3y 或334yx，即3y 或34120 xy（2）120,5解析：（1）由24,1yxyx得3,2,xy则圆心(3,2)C.又圆C的半径为 1，圆C的方程为22(3)(2)1xy.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为3ykx，即30kxy.2|323|11kk，2|31|1kk，2(43)0kk，0k 或34k .所求圆C的切线方程为3y 或334yx，即3y 或34120 xy.
25、（2）设(,)M x y，则由|2|MAMO，得2222(3)2xyxy，即22(1)4xy，故点M的轨迹方程为22(1)4xy，记为圆D.根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.设(,24)C aa，则1|3DC，即221(23)3aa，解得1205a.圆心C的横坐标a的取值范围为120,5.21.答案：（1）224045yx，3030 x（2）20 米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大解析：（1）设该抛物线的方程为2yaxc，由条件知，30,0B，0,40P，所以2403040cac，解得40245ca，故该段抛物线的方程为224045yx，3030 x.（2）由（1）可设22,4045C
26、 xx，所以梯形ABCD的面积22121260402302024545Sxxxx，030 x，设 21302045fxxx，030 x，则 21030142015315xxfxxx ，令 0fx，解得10 x，当010 x时，0,fxf x在0,10上是增函数；当1030 x时，0,fxf x在10,30上是减函数.所以当10 x 时，f x取得极大值，也是最大值.故当CD长为 20 米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.22.答案：（1）22143xy（2）不存在直线l满足题意，理由见解析解析：（1）设椭圆C的方程为221(0,0,)mxnymnmn.因为过(2,0)，33,2两点，故41,
27、331,4mmn解得14m，13n 所以椭圆C的方程为22143xy.（2）假设存在直线l满足题意.(i)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为1x .当:1l x 时，31,2A，31,2B，0OA OB ，同理可得，当:1l x 时，0OA OB .(ii)当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxm，设11,A x y，22,B xy，因为直线l与圆O相切，所以2|11mk，即221mk，联立方程组22,1,43ykxmxy整理得2223484120kxkmxm，2248 430km，由根与系数的关系得12221228,34412.34kmxxkmx xk因为0OA OB，所以12120 x xy y.所以221212121210 x xkxmkxmkx xkm xxm，所以222224128103434mkmkkmmkk，整理得22712120mk，联立，得21k ，此时方程无解.由(i)(ii)可知，不存在直线l满足题意.