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1、1.4.1.1 1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示平面向量空间向量代数运算推广建系空间向量解决了哪些几何问题？距离问题夹角问题平行、垂直问题几何中点线面向量中？我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面【思考】如何用向量表示空间中的一个点？定点OPp向量的坐标起点的坐标终点的坐标坐标 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量.点点点点+位置向量位置向量PaAB 点P
2、在直线l上充要条件【思考】如何用向量表示空间中的直线？l 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 =a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：存在实数t，使得 ，即线线点点+方向向量方向向量取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAtaOAtABlABPa结论：空间任意直线由直线上一点和直线的方向向量唯一确定.【思考】一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？PO 这样点O与向量a,b不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.我们把
3、我们把式称为式称为空间平面空间平面ABC的向量的向量表示式表示式由此可知，空间中任意平面由由此可知，空间中任意平面由空间一空间一点及两个及两个不共线向量唯一确定唯一确定abBCPAO 除此之外除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量还可以用垂直于平面的直线的方向向量(平面的法平面的法向量向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.平面的法向量平面的法向量给定空间一点 A 和一条直线 l，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的.由此可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面.直线l，取直线取直线l的方向向量的方向向量a，则，则a叫做平面叫做平面的法向量的法向量过空间点A，
4、且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 P|aAP=0APlaA几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相一个平面的所有法向量都互相平行平行;3.向量向量 是平面的法向量是平面的法向量,若一条直线的方向若一条直线的方向向量向量 满足满足 ，则该直线与平面，则该直线与平面的位置关系：的位置关系：与平面平行或在平面内与平面平行或在平面内.l 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定为法向量的平面是完全确定的的.1.判断下列命题是否正确(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面
5、的法向量。（）(2)若v是直线l的方向向量，则v(R)也是直线l的方向向量。（）(3)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。()3因为A，B，D三点共线，即9amb(3ab).解得m3.设B点坐标为(x，y，z)，则ABa(0)，即(x2，y1，z7)(8，9，12)，所以x18，y17，z17.yxzDABCD1A1B1C1M【例例1 1】已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量；（2）求平面MC
6、A1的一个法向量解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.z是自由变量最好法向量不最好法向量不要出现分数，要出现分数，方便运算方便运算求平面法向量的步骤zyx如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量ABCDEFA1B1D1四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴建立如图空
7、间直角坐标系，xyz取z11，则n1(1,1,1)ABCDEFA1B1D1xyz1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)点点+位置向量 (2)线点+方向向量 (3)平面点+法向量2.求平面的法向量的步骤：我我们们知道，直知道，直线线的的方向向量方向向量和平面的和平面的法向量法向量是确定空是确定空间间中的直中的直线线和平面的关和平面的关键键量，那么是否能用量，那么是否能用这这些向量来刻画空些向量来刻画空间间直直线线、平、平面的平行、垂直关系呢面的平行、垂直关系呢?首先来看首先来看平行平行的的问题问题.【思考思考】由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直由直线与直线、直线与平面或
8、平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?如图如图(1)所示，设所示，设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量，由方向向量的定义可知，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以l1l2(1)(1)直线与直线平行直线与直线平行(2)直线与平面平行直线与平面平行如图如图(2)所示，设所示，设 是直线是直线l的方向向量，的方
9、向向量，是平面是平面的法向量，的法向量，则则(3)平面与平面平行平面与平面平行如图如图(3)所示，设所示，设 分别是平面分别是平面,的法向量，则的法向量，则l(2)m(3)Pmn 元素元素直线直线平面平面平面平面POABoA点点向量表示点、直线、平面向量表示点、直线、平面空空间间图图形形向向量量位置关系图形语言符号语言向量形式向量运算线线平行线线垂直线面平行线面垂直面面平行面面垂直位置关系位置关系图形语言图形语言符号语言符号语言向量形式向量形式向量运算向量运算线线平行线线平行线线垂直线线垂直线面平行线面平行线面垂直线面垂直面面平行面面平行面面垂直面面垂直abP【例例2 2】证明“平面与平面平行
10、的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行abP【例例2 2】证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行Qab【练习练习】用向量方法证明用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理”：若平面：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ABCDD1A1B1C1xyzP【例例3】如图示，在长方体如图示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段线段B1C上是否存在点上是否存在点P，使得，使得A1P/平面平面ACD1?点P的坐标怎么设？ABCDD1A1B1C1xyzP如何去判断点P是否存在？【练习练习】如图，在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使得AE/CF?CABD