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1、20152015 年湖南省长沙市中考数学真题及答案年湖南省长沙市中考数学真题及答案一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3636 分）分）1（3 分）（2015长沙）下列实数中，为无理数的是（）A 0.2BCD 52（3 分）（2015长沙）下列运算中，正确的是（）A x3+x=x4B（x2）3=x6C3x2x=1D（ab）2=a2b23（3 分）（2015长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线每天承动力约为 18500
2、0 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（）A 1.85105B1.85104C1.8105D 18.51044（3 分）（2015长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）ABCD5（3 分）（2015长沙）下列命题中，为真命题的是（）A 六边形的内角和为 360 度B 多边形的外角和与边数有关C 矩形的对角线互相垂直D 三角形两边的和大于第三边6（3 分）（2015长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）ABCD7（3 分）（2015长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm
3、2222.52323.52424.525销售量/双 46610211A 平均数B中位数C众数D 方差8（3 分）（2015长沙）下列说法中正确的是（）A“打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件B某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，一定有一张中奖C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查9（3 分）（2015长沙）一次函数 y=2x+1 的图象不经过（）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限10（3 分）（2015长沙）如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（）ABCD11（3 分）（
4、2015长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为，则树 OA 的高度为（）A米B30sin米C30tan米D 30cos米12（3 分）（2015长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A 562.5 元B875 元C550 元D 750 元二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分）13（3 分）（2015长沙）一个不
5、透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是14（3 分）（2015长沙）圆心角是 60且半径为 2 的扇形面积为（结果保留）15（3 分）（2015长沙）把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）16（3 分）（2015长沙）分式方程=的解是 x=17（3 分）（2015长沙）如图，在ABC 中，DEBC，DE=6，则 BC 的长是18（3 分）（2015长沙）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若 BC=6，AB=10，ODBC 于点 D，则 OD 的长
6、为三三、解答题解答题（共共 8 8 小题小题，第第 1919、2020 题每小题题每小题 6 6 分分，第第 2121、2222 题每小题题每小题 6 6 分分，第第 2323、2424 题每小题题每小题 6 6 分分，第第2525、2626 题每小题题每小题 6 6 分，满分分，满分 6666 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19（6 分）（2015长沙）计算：（）1+4cos60|3|+20（6 分）（2015长沙）先化简，再求值：（x+y）（xy）x（x+y）+2xy，其中 x=（3）0，y=221（8 分）（2015长沙
7、）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分频数频率50 x60100.0560 x70200.1070 x8030b80 x90a0.3090 x100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在 90
8、分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等约有多少人？22（8 分）（2015长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，ABC=60，对角线 AC、BD 相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角（090）后得直线 l，直线 l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F（1）求证：AOECOF；（2）当=30时，求线段 EF 的长度23（9 分）（2015长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件
9、和 12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24（9 分）（2015长沙）如图，在直角坐标系中，M 经过原点 O（0，0），点 A（，0）与点 B（0，），点 D 在劣弧上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且COD=CBO（1）求M 的半径；（2）求证：BD 平分ABO；（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为M 的切线，求此时点 E 的坐标25（
10、10 分）（2015长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”（1）求函数 y=x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数 y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k 为常数）的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26（10 分）（2015长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c 是常数）与 x 轴
11、交于两个不同的点 A（x1，0），B（x2，0）（0 x1x2），与 y 轴交于点 P，其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点（1）当 x1=c=2，a=时，求 x2与 b 的值；（2）当 x1=2c 时，试问ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当 x1=mc（m0）时，记MAB，PAB 的面积分别为 S1，S2，若BPOPAO，且 S1=S2，求 m 的值20152015 年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3636 分）分）1（3
12、分）（2015长沙）下列实数中，为无理数的是（）A 0.2BCD 5考点：无理数菁优网版权所有分析：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可解答：解：5 是整数，5 是有理数；0.2 是有限小数，0.2 是有理数；，0.5 是有限小数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数故选：C点评：此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数2（3 分）（2015长沙）下列运算中，正确的是（）A x3+x=x4B（x2）3=x6C3x2x=1D（ab）2=
13、a2b2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式菁优网版权所有分析：根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可解答：解：A、x3与 x 不能合并，错误；B、（x2）3=x6，正确；C、3x2x=x，错误；D、（ab）2=a22ab+b2，错误；故选 B点评：此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算3（3 分）（2015长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（）A 1.
14、85105B1.85104C1.8105D 18.5104考点：科学记数法表示较大的数菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答：解：将 185000 用科学记数法表示为 1.85105故选 A点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）（2015长沙）下列图形中，是
15、轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）ABCD考点：中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案解答：解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合5（3 分）（2015长沙）下列命题中，为真命题的是（）A 六边形
16、的内角和为 360 度B 多边形的外角和与边数有关C 矩形的对角线互相垂直D 三角形两边的和大于第三边考点：命题与定理菁优网版权所有分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可解答：解：A、六边形的内角和为 720，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选 D点评：本题考查命题的真假性，是易错题注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握6（3 分）（2015长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）ABCD考点：在数轴上表示不等式的解集；解
17、一元一次不等式组菁优网版权所有分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可本题解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解解答：解：由 x+20 得 x2，由 2x60，得 x3，把解集画在数轴上为：故选 A点评：本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要
18、用空心圆点表示7（3 分）（2015长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm2222.52323.52424.525销售量/双 46610211A 平均数B中位数C众数D 方差考点：统计量的选择菁优网版权所有分析：根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据解答：解：众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，鞋店最喜欢的是众数故选：C点评：此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行
19、合理的选择和恰当的运用8（3 分）（2015长沙）下列说法中正确的是（）A“打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件B某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，一定有一张中奖C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式菁优网版权所有分析：根据随机事件，可判断 A；根据概率的意义，可判断 B、C；根据调查方式，可判断 D解答：解：A、“打开电视机，正在播放动物世界”是随机事件，故 A 错误；B、某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故
20、B 错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故 C 错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确；故选：D点评：本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生9（3 分）（2015长沙）一次函数 y=2x+1 的图象不经过（）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限考点：一次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析：先根据一次函数 y=2x+1 中 k=2，b=1 判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论解答：解：一次函数 y=2x+1 中 k=20，b=10，此函数的图
21、象经过一、二、四象限，不经过第三象限故选 C点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时，函数图象经过一、二、四象限10（3 分）（2015长沙）如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（）ABCD考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答解答：解：为ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项故选 A点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键11（3 分）（2015长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树
22、 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为，则树 OA 的高度为（）A米B30sin米C30tan米D 30cos米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有分析：根据题意，在 RtABO 中，BO=30 米，ABO 为，利用三角函数求解解答：解：在 RtABO 中，BO=30 米，ABO 为，AO=BOtan=30tan（米）故选 C点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解12（3 分）（2015长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元
23、，其利润率为 20%现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A 562.5 元B875 元C550 元D 750 元考点：一元一次方程的应用菁优网版权所有分析：设进价为 x 元，则该商品的标价为 1.5x 元，根据“按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元”可以得到x 的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润解答：解：设进价为 x 元，则该商品的标价为 1.5x 元，由题意得1.5x0.8x=500，解得：x=2500则标价为 1.52500=3750（元）则 37500.92500=875（元）故选：B点评：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量
24、关系是解决问题的关键二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分）13（3 分）（2015长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是考点：概率公式菁优网版权所有分析：由一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案解答：解：一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
25、即除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：点评：此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14（3 分）（2015长沙）圆心角是 60且半径为 2 的扇形面积为（结果保留）考点：扇形面积的计算菁优网版权所有分析：根据扇形的面积公式代入，再求出即可解答：解：由扇形面积公式得：S=故答案为：点评：本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为 n，半径为 r 的扇形的面积为S=15（3 分）（2015长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）考点：二次根式的混合运算菁优网版权所有分析：先进行二次根式的化简，然后合并解答：解
26、：原式=+=2故答案为：2点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简16（3 分）（2015长沙）分式方程=的解是 x=5考点：解分式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为 x（x2），去分母，化为整式方程求解解答：解：去分母，得 5（x2）=7x，解得：x=5，经检验：x=5 是原方程的解点评：解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验17（3 分）（2015长沙）如图，在ABC 中，DEBC，DE=6，则 BC 的长是18考点：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：由平行可
27、得到 DE：BC=AD：AB，由 DE=6 可求得 BC解答：解：DEBC，DE：BC=AD：AB=，即 6：BC=1：3，BC=18故答案为：18点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键18（3 分）（2015长沙）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若 BC=6，AB=10，ODBC 于点 D，则 OD 的长为4考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：根据垂径定理求得 BD，然后根据勾股定理求得即可解答：解：ODBC，BD=CD=BC=3，OB=AB=5，OD=4故答案为 4点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学
28、生要熟练掌握三三、解答题解答题（共共 8 8 小题小题，第第 1919、2020 题每小题题每小题 6 6 分分，第第 2121、2222 题每小题题每小题 6 6 分分，第第 2323、2424 题每小题题每小题 6 6 分分，第第2525、2626 题每小题题每小题 6 6 分，满分分，满分 6666 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19（6 分）（2015长沙）计算：（）1+4cos60|3|+考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值菁优网版权所有分析：原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊
29、角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果解答：解：原式=2+4 3+3=4点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（6 分）（2015长沙）先化简，再求值：（x+y）（xy）x（x+y）+2xy，其中 x=（3）0，y=2考点：整式的混合运算化简求值；零指数幂菁优网版权所有分析：首先去掉括号，然后合并同类项，最后把 x=1，y=2 代入化简式进行计算即可解答：解：（x+y）（xy）x（x+y）+2xy=x2y2x2xy+2xy=xyy2，x=（3）0=1，y=2，原式=24=2点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，
30、解答本题的关键是掌握平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大21（8 分）（2015长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分频数频率50 x60100.0560 x70200.1070 x8030b80 x90a0.3090 x100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）
31、a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80 x90分数段；（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等约有多少人？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数菁优网版权所有分析：（1）根据第一组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两
32、数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可解答：解：（1）样本容量是：100.05=200，a=2000.30=60，b=30200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 101 个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在 80 x90 分数段；（4）30000.40=1200（人）即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人故答案为 60，0.15；80 x90；1200点评：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取
33、信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了中位数和利用样本估计总体22（8 分）（2015长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，ABC=60，对角线 AC、BD 相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角（090）后得直线 l，直线 l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F（1）求证：AOECOF；（2）当=30时，求线段 EF 的长度考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有分析：（1）首先证明 AE=CF，OE=OF，结合 AO=CO，利用 SSS 证明AOECOF；（2
34、）首先画出=30时的图形，根据菱形的性质得到 EFAD，解三角形即可求出OE 的长，进而得到 EF 的长解答：解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ADBC，AO=OC，AE=CF，OE=OF，在AOE 和COF 中，AOECOF（2）当=30时，即AOE=30，四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，OAD=60，AEO=90，在 RtAOB 中，sinABO=，AO=1，在 RtAEO 中，cosAOE=cos30=，OE=，EF=2OE=点评：本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大23（9 分）（2015
35、长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用菁优网版权所有专题：增长率问题分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年三月份与五月份完成投递
36、的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年 6 月份的快递投递任务，再求出 21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年 6 月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数解答：解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得 x1=0.1，x2=2.2（不合题意舍去）答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%；（2）今年 6 月份的快递投递任务是 12.1（1+10%）=13.31（万件）平均每人每月最多可投递 0
37、.6 万件，21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.621=12.613.31，该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务需要增加业务员（13.3112.6）0.6=12（人）答：该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务，至少需要增加 2 名业务员点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解24（9 分）（2015长沙）如图，在直角坐标系中，M 经过原点 O（0，0），点 A（，0）与点 B（0，），点 D 在劣弧上，连接 BD 交 x 轴于点 C
38、，且COD=CBO（1）求M 的半径；（2）求证：BD 平分ABO；（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为M 的切线，求此时点 E 的坐标考点：圆的综合题菁优网版权所有分析：（1）由点 A（，0）与点 B（0，），可求得线段 AB 的长，然后由AOB=90，可得 AB 是直径，继而求得M 的半径；（2）由圆周角定理可得：COD=ABC，又由COD=CBO，即可得 BD 平分ABO；（3）首先过点 A 作 AEAB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EFOA 于点F，易得AEC 是等边三角形，继而求得 EF 与 AF 的长，则可求得点 E 的坐标解答
39、：解：（1）点 A（，0）与点 B（0，），OA=，OB=，AB=2，AOB=90，AB 是直径，M 的半径为：；（2）COD=CBO，COD=CBA，CBO=CBA，即 BD 平分ABO；（3）如图，过点 A 作 AEAB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EFOA于点 F，即 AE 是切线，在 RtAOB 中，tanOAB=，OAB=30，ABO=90OAB=60，ABC=OBC=ABO=30，OC=OBtan30=，AC=OAOC=，ACE=ABC+OAB=60，EAC=60，ACE 是等边三角形，AE=AC=，AF=AE=，EF=AE=，OF=OAAF=，点 E 的
40、坐标为：（，）点评：此题属于一次函数的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键25（10 分）（2015长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”（1）求函数 y=x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数 y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k 为常数）的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界
41、），一共包含有多少个“中国结”？考点：反比例函数综合题菁优网版权所有分析：（1）因为 x 是整数，x0 时，x 是一个无理数，所以 x0 时，x+2 不是整数，所以 x=0，y=2，据此求出函数 y=x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可（2）首先判断出当 k=1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；然后判断出当 k1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上最少有4 个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可（3）首先令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，
42、求出 x1、x2的值是多少；然后根据 x1、x2的值是整数，求出 k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可解答：解：（1）x 是整数，x0 时，x 是一个无理数，x0 时，x+2 不是整数，x=0，y=2，即函数 y=x+2 的图象上“中国结”的坐标是（0，2）（2）当 k=1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；当 k=1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1，1）当 k1 时，
43、函数 y=（k0，k 为常数）的图象上最少有 4 个“中国结”：（1，k）、（1，k）、（k，1）、（k，1），这与函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；k=1 时，函数 y=（k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）（3）令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，x2（x1+2）=1，x1、x2都是整数，或或当时，k=；当时，k
44、=k1，无解；综上，可得k=，x1=3，x2=1，y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=23+2x2+2（）24+1x+（）2=x2 x当 x=2 时，y=x2 x=（2）2（2）+=当 x=1 时，y=x2 x=（1）2（1）+=1当 x=0 时，y=，综上，可得若二次函数 y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k 为常数）的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有 6 个“中国结”：（3，0）、（2，0）、（1，0）（1，1）、（0，0）、（1，0）点评：（1）此题主要考查了反比例函数问题
45、，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”26（10 分）（2015长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c 是常数）与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0），B（x2，0）（0 x1x2），与 y 轴交于点 P，其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点（1）当 x1=c=2，a=时，求 x2与 b 的值；（2）当 x1=2c 时，试问ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当 x1=mc（m0）时，记MAB，PAB
46、 的面积分别为 S1，S2，若BPOPAO，且 S1=S2，求 m 的值考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，把 a、c 代入得：x2+bx+2=0，根据 x1=2 是它的一个根，求出 b，再根据 x2 x+2=0，即可求出另一个根，（2）根据 x1=2c 时，x2=，得出 b=（2ac+），4ac=2b1，根据 M 的坐标为（，），得出当ABM 为等边三角形时=（2c），求出 b1=1，b2=21（舍去），最后根据 4ac=2b1=1，得出 2c=，A、B 重合，ABM 不可能为等边三角形；（3）根据BPOPAO，得出=，ac=1，由
47、S1=S2得出 b2=4a2c=8ac=8，求出 b=2，最后根据 x22x+c=0 得出 x=（1）c，从而求出 m解答：解：（1）设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，把 a=，c=2 代入得：x2+bx+2=0，x1=2 是它的一个根，22+2b+2=0，解得：b=，方程为：x2 x+2=0，另一个根为 x2=3；（2）当 x1=2c 时，x2=，此时 b=a（x1+x2）=（2ac+），4ac=2b1，M（，），当ABM 为等边三角形时|=AB，即=（2c），=，b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=1，b2=21（舍去），此时 4ac=2b1=1，即 2c=，A、B 重合，ABM 不可能为等边三角形；（3）BPOPAO，=，即 x1x2=c2=，ac=1，由 S1=S2得 c=|=c，b2=4a2c=8ac=8，b1=2，b2=2（舍去），方程可解为 x22x+c=0，x1=（1）c，m=1点评：此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、一元二次方程，关键是综合运用有关知识求解，注意把不合题意的解舍去