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1、第五章习题答案1 .求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。2s.t. X + 4x2 = 16max or min fxx, x2)- xi x2s,t 2aX + %2 = 33max or min /(x, y) = xys.t. x2 + y2 = 1 木口x + y = 1解：1首先写出拉格朗日函数：L(xpx2,2) =+ 2(16- -4x2)将对王，马和4分别求偏导数可得：解得$*=8,* = 2, 2*=2,此时/ = 16。则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。2首先写出拉格朗日函数:不入2，丸)
2、=%；尤2 +2(3-2xj2-x22)将L对王，马和几分别求偏导数可得：解得光* = 1, 4* = 1，几* = j ,此时/ = 1；或者玉* = 1, 9* = 一1，X*=L,此时 / = 1 ；或者 X* = 1, %* = 1 4* = L 此时 / = 1 ；或者 X* = -1, x2* = -1 , 4* =,此时f= -1 O则点(1,1)、(1,-1). (1,1)和(L1)为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满 足约束规格。3首先写出拉格朗日函数：(x,y92p/l2) = xy + (l-x2 - y2) +- x - y)将上对1,4和4分别求偏导数可得：解得x
3、* = 1, y* = 0,4* =-，4* = 1，此时 / = 0；或者 = 0, y* = 一,，4* = 1 ,此时/ =。则点(1,0)和点(0,1)为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2 .利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值小 du 4PP,(2)=di di-=+6 + 2 o ,表示收入每增加一单位，大小用增加 2M + +舄个单位 2g小 dx _ 1/ + 4 + 鸟dx 1 dx 1dP2 2PX di 2dP2Px IP； dy _ 1 dy 1_/ + 勺 + 舄dy _ 1 dP2P?，dP? . 2P2 2
4、g ，di . 2P2 15.考虑极大化问题利用包络定理解决以下问题: 1求目标函数的最优值在（a/） = （16,4）处分别关于。和Z?的偏导数。2据1，估计当匕=4、。由16变为16.03时，目标函数的最优值的改变量为多少估 计新问题目标函数的最优值 3据1，估计当 =16、Z?由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少估计新问题目标函数的最优值 4据1，估计。由16变为16.03、Z;由4变为3. 98时，目标函数的最优值的改变量为多少估计新问题目标函数的最优值 解：（1）极大化问题为max u = xx2s.t.%)+ 4x2 = 16 ,Lx = x2 A = 0L =%44
5、 = 0，均衡解为L2 16 X 4x9 0玉二8%* = 2,则四1(2,8) ；2 = 2 = 22 da ddX =2拉格朗日函数为：L = xx2 +2(16-Xj -4x2),(2)(16,4) A。+(16,4) AZ? = 2x 0.03 + (-4)x0 = 0.06,则 u = 16.06 dadb(3) (16,4)A + (16,4)AZ? = 2x0 + (-4)x0.02 = -0.08,则 u =15.92 dadb(4) (16,4)A6Z + (16,4)AZ? = 2x0.03 + (-4)x0.02 = -0.02,则 u =15.98 dadb16.设X
6、=（X,X2），效用函数。（入1，%2）= X/2，预算约束条件为1玉+ 2工2 =加。试求 需求函数及间接效用函数。解：极大化问题为max w（xpx2） = xx2s.t. P玉 + p2x2 = m,* m%=4 =-初=02P2* m。, +匕=1）,消费者的收入为/。1求消费者的马歇尔需求函数X，（P,2，/）和工，（1，2，/），并验证它是零次齐次函 数;2求间接效用函数V（P,2，/）；3求货币的边际效用。解：极大化问题为max （M，%2）二2x 二Lx = bx1 xx -2p2 = 0,均衡解为 L九=- P1%1 P2x2 = 04* =al(Q + b)Piblb a-
7、ax2 的Pi间接效用函数为V=bl(a + b) Pi (a + b) p22120 .给定两种投入要素的生产函数为50必户，这里M和分别是两种要素的投入量。，12假设两种要素投入价格分别为6和4,每月费用支出不超过1000。为使每月的产出极大化, 应若何安排每月的两种投入量要求脸证二阶充分条件。_2 j_解：极大化问题为max y = SOQ/I2 J L = 503%23 +几(10006工一4工2)1003 50 T*x 二2_2玉3X2 一 344 = 0，均衡解为v1000 9 250 TLa = 1000 6% 一 4x2 = 0* 5-Z=-X75O39验证二阶条件I冏 0,则
8、均衡解为极大值 21.给定两种要素投入的。（加-口0118以生产函数为 =%工：只（左,。*0）,这里X1和工2分 别是两种要素的投入量；假设两种要素投入价格分别为叱，卬2；产品的销售价格为p。1求要素需求函数X（P，W，叫）,12（P，*，畛）和产出供应函数/（2*，/）；2求利涧函数（p,出，叼）。解：极小化问题为min C =叱七+叫工2Lx = +- 0+ 7 满足约束 x+y = 0。解：1首先写出拉格朗日函数：(x,y,4) = xy + 4(2 x 2y)将L对x, V和；I分别求偏导数可得：解得 = 1, y* = %* = L2对4 = _a=0, 4 =工_2几=0求偏导数
9、可得加= =0 , Lxy= Lyx= 1,加边元素心=-1, gy=-2 o所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(l,)=，为目标函数的极大值。2首先写出拉格朗日函数：(x,y,2) = x(y+ 4) + 2(8 x y)将上对, y和;I分别求偏导数可得：解得=6, y*=2, %* =6,对& = + 4_丸=0,= X -4 = 0 求偏导数可得= 0 , Lxy - Lyx = 1 ,加边元素&- = %,=-1。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(6,2) = 36为目标函数的极大值。3首先写出拉格朗日函数：L(x,y,A) = x-3y-xy +2(6
10、-x-y)将七对x, 丁和X分别求偏导数可得：解得x* = l, y*=5,万=4,对 4 = _ y _ % = 0 , 4 = x 3 2 = 0 求偏导数可得 L. Lyy 0 , Lxy Lyx 1加边元素gx = gy =-1。所以，海赛加边行列式为:所以，由定理5.2得，z(l,5) = -19为目标函数的极小值。4首先写出拉格朗日函数：L(x, y,/l)=工？ 一 y+ 7 + 4(-%一 y)将L对x, V和；I分别求偏导数可得：解得 x* = , y* = -94* =, 22对人=2工_2 = 0,人=_几=0求偏导数可得心状=2, L =0 ,乙=乙=0,加边元素%=且
11、,，=一1。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5. 2得，z(,一) 7为目标函数的极小值。 2 25 .求原点(0,0)至U椭圆JI? +xy+y2 = 3的最大和最小距离提示：目标函数取为一 +/可简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，首先写出拉格朗日函数：L(x, y9A) = x2+ y2 +2(3-x2-xy- y2)将七对x, V和；l分别求偏导数可得：解得 x* = y* = 1 或者 x* = J5, y* =干,则z(l,l) = 2为最小距离,z(6, V3) = 6为最大距离。6 .绘出有如下特征的曲线z = /(x)1拟凹的，2拟凸的，3既拟凹又拟凸的解:1拟凹
12、2才以凸0x(3)既拟凹又拟凸7 .运用海赛加边行列式检验以下函数的拟凹性和拟凸性：1z = -x2 - y2(x,y0)2z = -(x + l)2(y + 2)2(x,y0)解：1Z = _2x, z, = -2y , zA.x = Z = -2 , zxv = zv, = -2所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。 Zx=-2x-2, Zy =-2,-4, z = z=-2, 2q=2卢=0所以，由定理5. 7得，该函数为拟凹函数。8 .判断以下命题的正误，并给予说明。1设/(x)是单变量递增函数，则/(x)为拟凹函数。2设/(x)是单变量递减函数，则/(x)为拟凹函数。3设/(x)是
13、单变量函数，存在一个实数b使得了在(-叫力区间上递减，在也+ 区间上递增时，/(x)为拟凹函数。解：1命题正确，对于一元递增函数/定义域凸集中任意点 f(u), 则：对任意夕有了(1 一 +为)之)()；则/为拟凹的。2命题错误，对于一元递减函数/定义域凸集中任意点 M的时候, 会出现哪种情况2通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把/和y*代入到效用函数中，找出 间接效用函数的表达式：U* =U(PcP、,M),并推导出支出函数的表达式：E=E(Px，PU*)。3Min Pxx + Pv ys.t. x(y+ 1) = UdE求出这个最小化问题的x和y的解，并证明了和y的解值等于支出函数
14、的偏导数二dE解：1根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为:求解得出其中，是消费者的马歇尔需求函数。可知,商品y的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品。当时,yM 0,则均衡解为极大值(3)正确13 .习题10的解x*和y*能够产生对比静态信息吗求出所有对比静态导数，确定其符号，并解释其经济意义。参见习题10。14 .给定消费者消费商品x和y的效用函数。(,y) = (x+i)(y + i),X和y为商品x和y的消费量，P1和2是商品x和y的价格，消费者的收入为/。1求消费者的效用极大值和相应两种商品的最优消费量(x*, y*) o2收入增加一个单位时，对消费者的的极大效用有何影响求出对比静态函数器含百稔景号,判断其符号，解释其经济学意义。解：极大化问题为：max = (x + l)(y + l) (1) L = (x + l)(y + l) + / X鸟),一阶条件为4 =y + l 环=0Ly=x + 1- AP2 = 0 ，均衡解为L： = / Px P2y = 0* I + R + P. 1 x =-1* = / + + _2 二阶条件为 2P21* I + P1 + P?2g1 -60,均衡解为极大值0-P2-P20