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1、20142014 年湖北省荆州市中考数学真题及答案年湖北省荆州市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题只有唯一正确答案每小题小题，每小题只有唯一正确答案每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分）1（3 分）（2014荆州）若（2）=1，则内填一个实数应该是（）AB2C2D考点：有理数的乘法分析：根据乘积是 1 的两个数互为倒数解答解答：解：（2）=1，内填一个实数应该是 故选 D点评：本题考查了有理数的乘法，是基础题，注意利用了倒数的定义2（3 分）（2014荆州）下列运算正确的是（）A 31=3B=3C（ab2）3=a3b6D a6a2=a3
2、考点：同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂分析：运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算解答：解：A、31=3a，故 A 选项错误；B、=33，故 B 选项错误；C、（ab2）3=a3b6故 C 选项正确；D、a6a2=a4a3，故 D 选项错误故选：C点评：此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心3（3 分）（2014荆州）如图，ABED，AG 平分BAC，ECF=70，则FAG 的度数是（）A 155B145C110D 35考点：平行线的性质分析：首先，由平行线的性质得到BAC=ECF=7
3、0；然后利用邻补角的定义、角平分线的定义来求FAG 的度数解答：解：如图，ABED，ECF=70，BAC=ECF=70，FAB=180BAC=110又AG 平分BAC，BAG=BAC=35，FAG=FAB+BAG=145故选：B点评：本题考查了平行线的性质根据“两直线平行，内错角相等”求得BAC 的度数是解题的难点4（3 分）（2014荆州）将抛物线 y=x26x+5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A y=（x4）26By=（x4）22Cy=（x2）22D y=（x1）23考点：二次函数图象与几何变换专题：几何变换分析：先把 y=x26x+5
4、配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，4），再把点（3，4）向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为（4，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式解答：解：y=x26x+5=（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4），把点（3，4）向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为（4，2），所以平移后得到的抛物线解析式为 y=（x4）22故选 B点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只
5、考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式5（3 分）（2014荆州）已知是一元二次方程 x2x1=0 较大的根，则下面对的估计正确的是（）A 01B11.5C1.52D 23考点：解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小分析：先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案解答：解：解方程 x2x1=0 得：x=，a 是方程 x2x1=0 较大的根，a=，23，31+4，2，故选 C点评：本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中6（3 分）（2014荆州）如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点
6、C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（）A ACD=DABBAD=DECAD2=BDCDD ADAB=ACBD考点：相似三角形的判定；圆周角定理分析：由ADC=ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用解答：解：如图，ADC=ADB，A、ACD=DAB，ADCBDA，故本选项正确；B、AD=DE，=，DAE=B，ADCBDA，故本选项正确；C、AD2=BDCD，AD：BD=CD：AD，ADCBDA，故本选项正确；D、ADAB=ACBD，AD：BD=AC：AB，但ADC
7、=ADB 不是公共角，故本选项错误故选 D点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用7（3 分）（2014荆州）如图，直线 y1=x+b 与 y2=kx1 相交于点 P，点 P 的横坐标为1，则关于 x 的不等式 x+bkx1 的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD考点：一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集专题：数形结合分析：观察函数图象得到当 x1 时，函数 y=x+b 的图象都在 y=kx1 的图象上方，所以不等式 x+bkx1 的解集为 x1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断解答：解：当 x1 时，x+bkx1，
8、即不等式 x+bkx1 的解集为 x1故选 A点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合也考查了在数轴上表示不等式的解集8（3 分）（2014荆州）已知点 P（12a，a2）关于原点的对称点在第一象限内，且 a 为整数，则关于 x的分式方程=2 的解是（）A 5B1C3D 不能确定考点：解分式方程；关于原点对称的点的坐标专题：计算题分析：根据 P 关于原点对称点在第一象限，得到 P 横纵坐标都小于
9、0，求出 a 的范围，确定出 a 的值，代入方程计算即可求出解解答：解：点 P（12a，a2）关于原点的对称点在第一象限内，且 a 为整数，解得：a2，即 a=1，当 a=1 时，所求方程化为=2，去分母得：x+1=2x2，解得：x=3，经检验 x=3 是分式方程的解，则方程的解为 3故选 C点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根9（3 分）（2014荆州）如图，在第 1 个A1BC 中，B=30，A1B=CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1到 A2，使 A1A2=A1D，得到第 2 个A1A2D；在边
10、A2D 上任取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3=A2E，得到第 3 个A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为顶点的内角度数是（）A（）n75B（）n165C（）n175D（）n85考点：等腰三角形的性质专题：规律型分析：先根据等腰三角形的性质求出BA1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律即可得出第 n 个三角形中以 An为顶点的内角度数解答：解：在CBA1中，B=30，A1B=CB，BA1C=75，A1A2=A1D，BA1C 是A1A2D 的外角，DA2A1=BA1C=75；同理可得，
11、EA3A2=（）275，FA4A3=（）375，第 n 个三角形中以 An为顶点的内角度数是（）n175故选：C点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键10（3 分）（2014荆州）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A 4dmB2dmC2dmD 4dm考点：平面展开-最短路径问题分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可解答：解：如图，把
12、圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm，AC2=22+22=4+4=8，AC=2，这圈金属丝的周长最小为 2AC=4cm故选 A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分）11（3 分）（2014荆州）化减4（1）0的结果是考点：二次根式的混合运算
13、；零指数幂专题：计算题分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2，然后合并即可解答：解：原式=241=2=故答案为点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂12（3 分）（2014荆州）若2xmny2与 3x4y2m+n是同类项，则 m3n 的立方根是2考点：立方根；合并同类项；解二元一次方程组分析：根据同类项的定义可以得到 m，n 的值，继而求出 m3n 的立方根解答：解：若2xmny2与 3x4y2m+n是同类项，解方程得：m3n=23（2）=88 的
14、立方根是 2故答案为 2点评：本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解体的关键是根据定义求出对应 m、n的值13（3 分）（2014荆州）如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为位似中心，相似比为 1：，点 A 的坐标为（0，1），则点 E 的坐标是（，）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：由题意可得 OA：OD=1：，又由点 A 的坐标为（1，0），即可求得 OD 的长，又由正方形的性质，即可求得 E 点的坐标解答：解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：，OA：OD=1：，点 A 的坐标为（1，0），即 OA=1，OD
15、=，四边形 ODEF 是正方形，DE=OD=E 点的坐标为：（，）故答案为：（，）点评：此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键14（3 分）（2014荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数 例如：将转化为分数时，可设=x，则 x=0.3+x，解得 x=，即=仿此方法，将化成分数是考点：一元一次方程的应用分析：设 x=，则 x=0.4545，根据等式性质得：100 x=45.4545，再由得方程 100 xx=45，解方程即可解答：解：设 x=，则 x=0.4545，根据等式性质得：100 x=45.4545，由得：100 xx=4
16、5.45450.4545，即：100 xx=45，解方程得：x=故答案为点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法15（3 分）（2014荆州）如图，电路图上有四个开关 A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是考点：列表法与树状图法分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有 6 种情况，小灯泡发光的概率为：=故答案
17、为：点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比16（3 分）（2014荆州）如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案分析：利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得
18、出符合题意的答案解答：解：如图所示：这个格点正方形的作法共有 4 种故答案为：4点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握中心对称以及轴对称图形的定义是解题关键17（3 分）（2014荆州）如图，在ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交AD 于点 E，延长 BA 与A 相交于点 F若的长为，则图中阴影部分的面积为考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算分析：求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的很显然图中阴影部分的面积=ACD 的面积扇形 ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可
19、解答：解：连接 AC，DC 是A 的切线，ACCD，又AB=AC=CD，ACD 是等腰直角三角形，CAD=45，又四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，CAD=ACB=45，又AB=AC，ACB=B=45，CAD=45，CAD=45，的长为，解得：r=2，S阴影=SACDS扇形 ACD=故答案为：点评：本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差18（3 分）（2014荆州）如图，已知点 A 是双曲线 y=在第一象限的分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也
20、不断变化，但点 C 始终在双曲线 y=（k0）上运动，则 k 的值是6考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值专题：动点型分析：连接 OC，易证 AOOC，OC=OA由AOC=90想到构造 K 型相似，过点 A 作 AEy轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，可证AEOOFC 从而得到 OF=AE，FC=EO.设点 A 坐标为（a，b）则 ab=2，可得 FCOF=6设点 C 坐标为（x，y），从而有 FCOF=xy=6，即 k=xy=6解答：解：双曲线 y=关于原点对称，点 A 与点 B 关于原点对称OA=OB连接 OC
21、，如图所示ABC 是等边三角形，OA=OB，OCABBAC=60tanOAC=OC=OA过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，AEOE，CFOF，OCOA，AEO=FOC，AOE=90FOC=OCFAEOOFC=OC=OA，OF=AE，FC=EO设点 A 坐标为（a，b），点 A 在第一象限，AE=a，OE=bOF=AE=a，FC=EO=b点 A 在双曲线 y=上，ab=2FCOF=ba=3ab=6设点 C 坐标为（x，y），点 C 在第四象限，FC=x，OF=yFCOF=x（y）=xy=6xy=6点 C 在双曲线 y=上，k=xy=6故答案为：6点评：本
22、题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度由AOC=90联想到构造 K 型相似是解答本题的关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 题，共题，共 6666 分）分）19（7 分）（2014荆州）先化简，再求值：（），其中 a，b 满足+|b|=0考点：分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根专题：计算题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，代入计算即可求出值解答：解：原式=，+|b
23、|=0，解得：a=1，b=，则原式=点评：此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（8 分）（2014荆州）如图，正方形 ABCD 的边 AB，AD 分别在等腰直角AEF 的腰 AE，AF 上，点 C 在AEF 内，则有 DF=BE（不必证明）将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转一定角度（090）后，连结 BE，DF请在图中用实线补全图形，这时 DF=BE 还成立吗？请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质分析：根据旋转角求出FAD=EAB，然后利用“边角边”证明ABE 和ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=D
24、F解答：解：DF=BE 还成立；理由：正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转一定角度，FAD=EAB，在ADF 与ABE 中ADFABE（SAS）DF=BE点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键21（8 分）（2014荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的 A 处和正东方向的 B 处，这时两船同时接到立即赶往 C 处海域巡查的任务，并测得 C 处位于 A 处北偏东 59方向、位于 B 处北偏西 44方向若甲、乙两船分别
25、沿 AC，BC 方向航行，其平均速度分别是 20 海里/小时，18 海里/小时，试估算哪艘船先赶到 C处（参考数据：cos590.52，sin460.72）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：作 CDAB 于点 D，由题意得：ACD=59，DCB=44，设 CD 的长为 a 海里，分别在 RtACD 中，和在 RtBCD 中，用 a 表示出 AC 和 BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案解答：解：如图，作 CDAB 于点 D，由题意得：ACD=59，DCB=44，设 CD 的长为 a 海里，在 RtACD 中，=cosACD，AC=1.92a；在 RtBCD 中，=cosBC
26、D，BC=1.39a；其平均速度分别是 20 海里/小时，18 海里/小时，1.92a20=0.096a.1.39a18=0.077a，a0，0.096a0.077a，乙先到达点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数 a，使得运算更加方便，难度中等22（9 分）（2014荆州）我市某中学七、八年级各选派 10 名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用 10 分制，选手得分均为整数，成绩达到 6 分或 6 分以上为合格，达到 9 分或 10 分为优秀这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得 6分、10 分的
27、选手人数分别为 a，b队别平均分中位数方差合格率优秀率七年级6.7m3.4190%n八年级7.17.51.6980%10%（1）请依据图表中的数据，求 a，b 的值；（2）直接写出表中的 m，n 的值；（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好请你给出两条支持八年级队成绩好的理由考点：条形统计图；统计表；加权平均数；中位数；方差专题：计算题分析：（1）根据题中数据求出 a 与 b 的值即可；（2）根据（1）a 与 b 的值，确定出 m 与 n 的值即可；（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可解答：
28、解：（1）根据题意得：a=5，b=1；（2）七年级成绩为 3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为 6，即 m=6；优秀率为=20%，即 n=20%；（3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，故八年级队比七年级队成绩好点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键23（10 分）（2014荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 1
29、0 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务（1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围；（2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售即可求出 x 的取值（2）用 x 表示
30、y，然后再用 x 来表示出 w，根据函数关系式，即可求出最大 w；解答：解：（1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 千克，则月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50，化简得：y=5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于450 台，则，解得：300 x350y 与 x 之间的函数关系式为：y=5x+2200（300 x350）；（2）W=（x200）（5x+2200），整理得：W=5（x320）2+72000 x=320 在 300 x350 内，当 x=320 时，最大值为 72
31、000，即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元点评：本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识24（12 分）（2014荆州）已知：函数 y=ax2（3a+1）x+2a+1（a 为常数）（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求 a 的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0）两点，与 y 轴相交于点 C，且 x2x1=2求抛物线的解析式；作点 A 关于 y 轴的对称点 D，连结 BC，DC，求 sinDCB 的值考点：二次函数综合题分析：（1
32、）根据 a 取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解（2）函数与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0）两点，则 x1，x2，满足 y=0 时，方程的根与系数关系因为 x2x1=2，则可平方，用 x1+x2，x1x2表示，则得关于 a 的方程，可求，并得抛物线解析式已知解析式则可得 A，B，C，D 坐标，求 sinDCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得解答：解：（1）函数 y=ax2（3a+1）x+2a+1（a 为常数），若 a=0，则 y=x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；若 a0 且图象过原点时，2a+1=0，a=，有两个交点（0，0），（1，0）；若 a0
33、 且图象与 x 轴只有一个交点时，令 y=0 有：=（3a+1）24a（2a+1）=0，解得 a=1，有两个交点（0，1），（1，0）综上得：a=0 或或1 时，函数图象与坐标轴有两个交点（2）函数与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0）两点，x1，x2为 ax2（3a+1）x+2a+1=0 的两个根，x1+x2=，x1x2=，x2x1=2，4=（x2x1）2=（x1+x2）24x1x2=（）24，解得 a=（函数开口向上，a0，舍去），或 a=1，y=x24x+3函数 y=x24x+3 与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0）两点，与 y 轴相交于点 C，且 x1x2，A
34、（1，0），B（3，0），C（0，3），D 为 A 关于 y 轴的对称点，D（1，0）根据题意画图，如图 1，过点 D 作 DECB 于 E，OC=3，OB=3，OCOB，OCB 为等腰直角三角形，CBO=45，EDB 为等腰直角三角形，设 DE=x，则 EB=x，DB=4，x2+x2=42，x=2，即 DE=2在 RtCOD 中，DO=1，CO=3，CD=，sinDCB=点评：本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目25（12 分）（2014荆州）如图，已知：在矩形 ABCD 的边 AD 上有一点 O，O
35、A=，以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，交 AD 于 M，恰好与 BD 相切于 H，过 H 作弦 HPAB，弦 HP=3若点 E 是 CD 边上一动点（点 E 与C，D 不重合），过 E 作直线 EFBD 交 BC 于 F，再把CEF 沿着动直线 EF 对折，点 C 的对应点为 G设 CE=x，EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S（1）求证：四边形 ABHP 是菱形；（2）问EFG 的直角顶点 G 能落在O 上吗？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由；（3）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出 FG 与O 相切时，S 的值考点：圆的综合题；含 30 度角的直角三角形
36、；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值专题：压轴题分析：（1）连接 OH，可以求出HOD=60，HDO=30，从而可以求出 AB=3，由 HPAB，HP=3 可证到四边形 ABHP 是平行四边形，再根据切线长定理可得 BA=BH，即可证到四边形 ABHP 是菱形（2）当点 G 落到 AD 上时，可以证到点 G 与点 M 重合，可求出 x=2（3）当 0 x2 时，如图，S=SEGF，只需求出 FG，就可得到 S 与 x 之间的函数关系式；当 2x3 时，如图，S=SGEFSSGR，只需求出 SG、RG，就可得到 S 与 x 之间的函数关系式
37、当 FG 与O 相切时，如图，易得 FK=AB=3，KQ=AQAK=22+x再由 FK=KQ 即可求出 x，从而求出 S解答：解：（1）证明：连接 OH，如图所示四边形 ABCD 是矩形，ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180ANH=90HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60BD 与O 相切于点 H，OHBDHDO=30OD=2AD=3BC=3BAD=90，BDA=30tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四边形 ABHP 是平行四边形BAD=90，AM 是O 的直径，BA 与O 相切于点 ABD 与O 相切于点 H，BA
38、=BH平行四边形 ABHP 是菱形（2）EFG 的直角顶点 G 能落在O 上如图所示，点 G 落到 AD 上EFBD，FEC=CDBCDB=9030=60，CEF=60由折叠可得：GEF=CEF=60GED=60CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAOGD=3=OG=OM点 G 与点 M 重合此时EFG 的直角顶点 G 落在O 上，对应的 x 的值为 2当EFG 的直角顶点 G 落在O 上时，对应的 x 的值为 2（3）如图，在 RtEGF 中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如图，ED=3x，RE=2ED=62x，G
39、R=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6综上所述：当 0 x2 时，S=x2；当 2x3 时，S=x2+6x6当 FG 与O 相切于点 T 时，延长 FG 交 AD 于点 Q，过点 F 作 FKAD，垂足为 K，如图所示四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ABC=BAD=90AQF=CFG=60OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90，四边形 ABFK 是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在 RtFKQ 中，tanFQK=FK=QK3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=（3）2=6FG 与O 相切时，S 的值为6点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强