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1、（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为，摆杆的质量忽视不计，摆杆末端两个质量块（质量均为）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，及分别为两摆杆及竖直方向的夹角。当时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力作用在左杆中点处，假设摆杆及支点之间没有摩擦及阻尼，而且位移足够小，满意近似式，。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有对右边的质量块，有在位移足够小的条件下，近似写成：即（2）定义状态变量则或写成二.（本题满分10分）状态响应为x(t) =21x(0)=1时,-1状态响应为设一个线性定常系统的状态方程为x = Ax,其中A R”2。
2、若 x(0) = 1 时, -12ef1Q)二 ,。试求当”(。)=q时的状态响应工。7|_3_【解答】系统的状态转移矩阵为见/)=*,依据题意有 求得状态转移矩阵为当*(0)=；时的状态响应为三.(本题满分10分)已知某系统的方块图如下，回答下列问题：(1)依据上图指定的状态变量建立状态空间表达式；(2)确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数2的取值范围。【解答】(1)系统的状态空间表达式为(2)使系统状态完全能控且完全能观时，参数Zw3且攵工0。四.(本题满分10分)离散系统的状态方程为(1)是否存在一个有限限制序列(0) (N),使得系统由已知的初 始状态E(0),(。)转移到(N +
3、 D = O，%2(% + 1) = 0?试给出推断依据和推断过 程。(2)若存在，求N的最小值及限制序列(N)。【解答】(1)由题意，G =, h -， Q. = h Gh =，rankgc = 2 ,由系统能控性的定2 311 3义可知：存在有限限制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。(2)由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的(0), ,使得“(2) = 0,即N的最小值为1。依据状态方程x(A + l) = Gx(Q + /uZ)进行递推如下：由上面最终一步可得即即 w(0) = -l8x,(0) + 7x2(0) , w(l) = 40%(0) +10x2(0)。五.（本题满分10分）对下列系统试设计一个状态反馈限制器，满意以下要求：闭环系统的阻尼系数0, /1, 一遭立。贝IJ有一正一心一1 + ”正一1,所以表达 33333式7 +李丁恒小于零，因此，V(x)为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳 X +3定。