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1、学习必备 欢迎下载 高一数学必修 5 第一章解三角形教学设计 教学过程 理解定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinabABsincC（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，
2、已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析 例题.在ABC中,已知3a,2b,B=450.求 A、C和 c.解:004590B 且,ba A有两解.由正弦定理,得23245sin3sinsin0bBaA 0012060AA或 1)当 A=600时,C=1800-A-B=750,00sin2sin7562sin2sin45bCcB 2)当 A=1200时,C=1800-A-B=150,00sin2sin1562sin2sin 45bCcB 练习：1),32,45,6,0aAcABC中求 B、C、b.2),2,45,6,0aAcABC中求 B、C、b.3）已知ABC中，si
3、n:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c 小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabck kABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。学习必备 欢迎下载 课题:1.1.2 余弦定理 授课类型：新授课 理解定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA 2222cosbacacB 2222coscababC 思考：这个式子中有几个量
4、？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2bacCba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析 例 1在AB
5、C中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A 解：2222cos bacacB=22(2 3)(62)2 2 3(62)cos045=212(62)4 3(3 1)=8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos222222(2 2)(62)(2 3)1,222 2 2(62)bcaAbc 060.A 解法二：sin02 3sinsin45,2 2aABb 又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac，即00A090,060.A 评述：解法二应注意确定 A的取值范围。练习：在ABC中，若222abcbc，求角 A（答案：A=1200）小结：（1
6、）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。课题:113 解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课 教学过程 探索研究 例 1在ABC中，已知,a b A，讨论三角形解的情况 分析：先由sinsinbABa可进一步求出 B；则0180()CA B，从而sinaCcA 1当 A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。对角的正弦的比相等即正弦定理说明同一三角形中边与其对角的正弦成正比且比例系数为同一正数即存在正数使等价于从而知正弦定理的基本作用为已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边如
7、已知三角形的任意两边与其中一边题在中已知有两解求和解且由正弦定理得或当时当时练习中求中求已知中求小结由学生归纳总结定理的表示形式或正弦定理的应用范围已知两角和任一边求其它两边及一角已知两边和其中一边对角求另一边的对角学习必备欢迎下载它们的夹角的余弦的积的两倍即思考这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量可求出第四个量能否由三边求出一角由学生推出从余弦定理又可得到以下推论从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及学习必备 欢迎下载 2当 A为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解
8、；（3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第 9-10 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A为锐角且sinbA ab 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习:（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的 b 的值有_个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）22 2x）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例 2根据所给条件,判断ABC的形状.1）在ABC
9、中，已知7a，5b，3c。2）;coscosBbAa 3）CcBbAacoscoscos 分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角abcAabcAabcA ABC 是锐角三角形（注意：是锐角A ABC 是锐角三角形）1）解：222753，即222abc，ABC 是钝角三角形。2）解:解法一(化边)由余弦定理得)2()2(coscos222222acbcabbcacbaBbAa 0422422bcbaca,0)()(22222bacba 022ba 或0222bac222cba 或ba 故ABC是直角三角形或等腰三角形 解法二(化角)由;c
10、oscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2 即BA2sin2sin BA22或,180220 BA即BA或 A+B=900 故ABC是直角三角形或等腰三角形 3）解：(化角)解法一:由正弦定理得CAcasinsin,CBcbsinsin 代入已知等式得CcCBBcCAAccossincossinsincossin,CCBBAAcossincossincossin 即CBAtantantan ),0(,CBA CBA 故ABC是等边三角形 对角的正弦的比相等即正弦定理说明同一三角形中边与其对角的正弦成正比且比例系数为同一正数即存在正数使等价于从而知正弦定理的基本作用为已知三角
11、形的任意两角及其一边可以求其他边如已知三角形的任意两边与其中一边题在中已知有两解求和解且由正弦定理得或当时当时练习中求中求已知中求小结由学生归纳总结定理的表示形式或正弦定理的应用范围已知两角和任一边求其它两边及一角已知两边和其中一边对角求另一边的对角学习必备欢迎下载它们的夹角的余弦的积的两倍即思考这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量可求出第四个量能否由三边求出一角由学生推出从余弦定理又可得到以下推论从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及学习必备 欢迎下载(化边)解法二:由已知等式得CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2 即CBAtantanta
12、n ),0(,CBA CBA 故ABC是等边三角形 练习：1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。2）在ABC中，060A，1a，2b c，判断ABC的形状。3）判断满足下列条件的三角形形状，sinC=BABAcoscossinsin 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”三角形面积公式，S=21absinC，S=21bcsinA,S=21acsinB 例 3、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证
13、明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 Aasin=Bbsin=Ccsin=k 显然 k0，所以 左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin=CBA222sinsinsin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边 变式练习 1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求 a 及ABC的面积 例 4在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcA
14、BC 的值 分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理 sinsinabABsincCsinsinsinabcABC 解：由13sin22SbcA得2c，则2222cosabcbcA=3，即3a，从而sinsinsinabcABC 2sinaA 练习：（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积220 3S，求角 C（2）在ABC中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角 C（答案：（1）060或0120；（2）045）小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简对角的正弦的
15、比相等即正弦定理说明同一三角形中边与其对角的正弦成正比且比例系数为同一正数即存在正数使等价于从而知正弦定理的基本作用为已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边如已知三角形的任意两边与其中一边题在中已知有两解求和解且由正弦定理得或当时当时练习中求中求已知中求小结由学生归纳总结定理的表示形式或正弦定理的应用范围已知两角和任一边求其它两边及一角已知两边和其中一边对角求另一边的对角学习必备欢迎下载它们的夹角的余弦的积的两倍即思考这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量可求出第四个量能否由三边求出一角由学生推出从余弦定理又可得到以下推论从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及学习必
16、备 欢迎下载 并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。对角的正弦的比相等即正弦定理说明同一三角形中边与其对角的正弦成正比且比例系数为同一正数即存在正数使等价于从而知正弦定理的基本作用为已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边如已知三角形的任意两边与其中一边题在中已知有两解求和解且由正弦定理得或当时当时练习中求中求已知中求小结由学生归纳总结定理的表示形式或正弦定理的应用范围已知两角和任一边求其它两边及一角已知两边和其中一边对角求另一边的对角学习必备欢迎下载它们的夹角的余弦的积的两倍即思考这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量可求出第四个量能否由三边求出一角由学生推出从余弦定理又可得到以下推论从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及