数列知识点和常用的解题方法归纳1_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列知识点和常用的解题方法归纳 一、等差数列的定义与性质 定 义：为 常 数，aad daandnnn111()等差中项：，成等差数列xAyAxy 2 前 项和nSaannan ndnn11212 性质：是等差数列an （）若，则；1mnpqaaaamnpq （）数 列，仍 为 等 差 数 列；2212aak abnnn SSSSSnnnnn，仍为等差数列；232 （）若三个数成等差数列，可设为，；3adaad （）若，是等差数列，为前 项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm （）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn 0 的二次函

2、数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2 项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的 值。adaaSnnnn110000 当，由可得达到最小值时的 值。adaaSnnnn110000 如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123 （由，aaaaannnnn 12113331 又，Saaaa31322233113 Saanaannnnn12122131218 n27）学习必备 欢迎下载 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），aaqqqaa qnnnn1110 等比中项：、成等比数列，或xGyGxyGxy2 前 项和：（要注意）nSnaqaqqqn

3、n111111()()!性质：是等比数列an （）若，则1mnpqaaaamnpq （），仍为等比数列2232SSSSSnnnnn 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、nnaS 求由；（时，时，）naSnaSSnnn12111 3、求差（商）法 如：满足aaaannnn121212251122 解：naa 1122151411时，naaannn 2121212215212211时，12122得：nna，ann21 ，annnn141221()()练习 数列满足，求aSSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比数列，SSSnnn144 na

4、SSnnnn23411时，4、叠乘法 例如：数列中，求aaaannannnn1131 项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法

5、公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann133 5、等差型递推公式 由，求，用迭加法aaf naaannn 110()naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：()()()aafff nn123()()()aafff nn023()()()练习 数列，求aaaanannnnn111132 （）ann1231 6、等比型递推公式 acad cdccdnn 1010、为常数，可转化为等比数列，设 axc axnn 1 acacxnn 11

6、 令，()cxdxdc11 是首项为，为公比的等比数列adcadccn111 adcadccnn1111 aadccdcnn1111 练习 数列满足，求aaaaannnn11934 项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等

7、比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 （）ann 84311 7、倒数法 例如：，求aaaaannnn11122 ，由已知得：1221211aaaannnn 11121aann ，111121aan为等差数列，公差为 11112121annn ，ann21 三、求数列前 n 项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为 的等差数列，求

8、ada ankkkn111 解：由11111011aaaadd aadkkkkkk 11111111a ad aakkknkkkn 11111111111223111daaaaaad aannn 练习 求和：111211231123 n （，）aSnnn 211 3、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前 项aba bnnnnn 和，可由求，其中 为的公比。SqSSqbnnnn 如：Sxxxnxnn 12341231 项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的

9、最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 xSxxxxnxnxnnn 234122341 121121：x Sxxxnxnnn xSxxnxxnnn11112时，xSnn n

10、n 112312时，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121相加 21211Saaaaaannnn 练习 已知，则f xxxfffffff()()()()()2211212313414 （由f xfxxxxxxxx()1111111112222222 原式 fffffff()()()()1212313414 12111312）例 1 设an是等差数列，若 a2=3，a7=13，则数列an前 8 项的和为（）A128 B80 C64 D56（福建卷第 3 题）略解：a2+a7=a1+a8=16，an前 8 项的和为 64，故应选

11、C 例 2 已知等比数列na满足122336aaaa，则7a（）A64 B81 C128 D243 （全国卷第 7 题）答案：A 例 3 已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前 5 项和等于（）A30 B45 C90 D186（北京卷第 7 题）略解：a5-a2=3d=9，d=3，b1=26a，b5=a10=30，nb的前 5 项和等于 90，项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列

12、或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 故答案是 C 例 4 记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A2 B3 C6 D7（广东卷第 4 题）略解：422412,3SSSdd,故选 B.例 5 在数列na中，5

13、42nan，212naaaanbn，*nN,其中,a b为常数，则ab （安徽卷第 15 题）答案：1 例 6 在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则na（）A2lnn B2(1)lnnn C2lnnn D1lnnn（江西卷第 5 题）答案：A 例 7 设数列na中，112,1nnaaan，则通项na _（四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11nnaan 中1,nnaa系数相同是找到方法的突破口 略解：112,1nnaaan 111nnaan ，1221nnaan ，2331nnaan ，3221aa，211 1aa ，121 1a 将以上各式相加

14、，得 1232 11nannnn 111122nnn nn ，故应填(1)2n n+1 例 8 若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A6 B7 C8 D9(重庆卷第 10 题)答案：B 使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列

15、等概念的综合运用重庆卷第 1 题，浙江卷第 4题，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习 例 9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数 y=x2+1项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数

16、列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 的图象上.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足 b1=1，bn+1=bn+2na，求证：bnbn+2b2n+1.（福建卷第 20 题）略解：（）由已知，得 an+1-an=1，又 a1=1,所以数列an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列故 an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而

17、bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.bn bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n0,bnbn+2b21n 对于第（）小题，我们也可以作如下的证明：b2=1,bn bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1 bn+1-2n bn+1-2n 2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，bn-bn+2b2n+1.例 10 在数列na中，11a，122nnnaa（

18、）设12nnnab证明：数列nb是等差数列；（）求数列na的前n项和nS（全国卷第 19 题）略解：（）1nnbb=1122nnnnaa=122nnnaa=22nn=1，则nb为等差数列，11b，nbn，12nnan（）01211 22 2(1)22nnnSnn ，12121 22 2(1)22nnnSnn 两式相减，得01121 222221nnnnnSnn =(1)21nn 对于例 10 第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数 可以用迭代法，但不可由 b2-b1=1，b3-b2=1 等有限个的验证归纳得到nb为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比

19、差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示 例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽

20、象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主 例 11 等差数列na的各项均为正数，13a，前n项和为nS，nb为等比数列,11b，且2264,b S 33960b S()求na与nb；()求和：12111nSSS （江西卷第 19项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时

21、求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 题）略解：()设na的公差为d，nb的公比为q，依题意有2223 3(6)64,(93)960.S bd qS bd q 解之，得2,8;dq或6,540.3dq(舍去，为什么？)故132(1)21,8nnnannb （）35(nSnnn，1211111111 32 43 5(2)n

22、SSSn n 111111(1232435 11)2nn 1111(1)2212nn 32342(1)(2)nnn “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法 使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用 例 12 设数列na的前n项和为22nnnSa，（）求14,a a；（）证明：12nnaa是等比数列；（）求na的通项公式（四川卷第 21 题）略解：（）1111,22aS

23、aS，所以112,2aS由22nnnaS知，11122nnnaS 112nnnaS得，112nnnaS 222122226,8aSS，3332328216,24aSS，443240aS（）由题设和式知，11222nnnnnnaaSS122nn2n，12nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列（）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa 11 2nn 此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等 推移脚标，两式相减是解决含有nS的递推公式的重要手段，使其转化为不含nS的递推公式，从而有针项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数

24、列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差学习必备 欢迎下载 对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，

25、首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向 例 13 数列na满足,2,021 aa222(1cos)4sin,1,2,3,22nnnnaan（I）求43,aa，并 求 数 列na的 通 项 公 式；（II）设1321kkSaaa ，242kkTaaa，2(2kkkSWkT)N，求使1kW 的所有 k的值，并说明理由（湖南卷第 20 题）略解：（I）22311(1cos)4sin44,22aaa 22422(1cos)4sin24,aaa 一般地,当21()nkkN=时，22212121(21)(21)1cos4sin4,

26、22kkkkkaaa 即21214.kkaa 所以数列 21ka是首项为 0、公差为 4 的等差数列，因此214(1).kak当2()nk kN=时，22222222(1cos)4sin2,22kkkkkaaa 所以数列 2ka是首项为2、公 比 为2的 等 比 数 列，因 此22.kka故 数 列na的 通 项 公 式 为22(1),21(),2,2().nnnnkkNank kN（II）由（I）知，1321kkSaaa =044(1)2(1),kk k 242kkTaaa 2122222,kk12(1).22kkkkSk kWT 于是，10,W 21,W 33,2W 43,2W 55,4W

27、 61516W.下面证明:当6k 时，1.kW 事实上,当6k 时，11(1)(1)(3)0,222kkkkkkkk kkkWW即1.kkWW又61,W 所以当6k 时，1.kW 故满足1kW 的所有 k 的值为 3,4,5.项和性质是等差数列若则数列仍为等差数列仍为等差数列若三个数成等差数列可设为若是等差数列为前项和则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得为常数等比中项成等比数列或前项和要注意性质是等比数列若则仍为等比数列三求数列通项公式的常用方法公式法求由时时求差商法如满足解时时得练习数列满足求注意到代入得又是等比数列时叠乘法例如数列中求学习必备欢迎下项为为公比的等比数列练习数列满足求学习必备欢迎下载倒数法例如求由已知得为等差数列公差为三求数列前项和的常用方法公式法等差等比前项和公式裂项法把数列各项拆成两项或多项之和使之出现成对互为相反数的项如是公差