专题复习中考数学归纳与猜想(含答案)_中学教育-中考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 1 12 1 12 2 23 2 23 3 34 3 34 4 45 4 45 专题复习 归纳与猜想 归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。一、知识网络图 二、基础知识整理 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常

2、用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。范例精讲【归纳与猜想】例 1【河北实验区 05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应等式，探究其中的规律：猜想性问题 猜想规律型 猜想结论型 猜想数式规律 猜想图形规律 猜想数值结果 猜想数量关系 猜想

3、变化情况 优秀学习资料 欢迎下载 写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。解：556 556 1 1 nnnnnn。例 2归纳猜想型将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：所剪次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 如果能剪 100 次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？如果剪 n 次共有 An个正方形，试用含 n、An的等式表示这个规律；利用上面得到的规

4、律，要剪得 22 个正方形，共需剪几次？能否将正方形剪成 2004 个小正方形？为什么？若原正方形的边长为 1，设 an表示第 n 次所剪的正方形的边长，试用含 n 的式子表示an；试猜想 a1 a2 a3 an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系 解：100 3 1 301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多 3 个；An 3n 1；若 An 22，则 3n 1 22，n 7，故需剪 7 次；若 An 2004，则 3n 1 2004，此方程无自然数解，不能将原正方形剪成 2004 个小正方形；an12n；a112 1，a1 a2121434 1，a

5、1 a2 a312141878 1，从而猜想到：a1 a2 a3 an 1.直观的几何意义如图所示。例 3【安徽实验区 05】下图中，图是一个扇形 AOB，将其作如下划分：第一次划分：如图所示，以 OA 的一半 OA1为半径画弧，再作 AOB 的平分线，得到扇形的总数为 6 个，分别为：扇形 AOB、扇形 AOC、扇形 COB、扇形 A1OB1、扇1 a1 a2 a3 让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的

6、共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 形 A1OC1、扇形 C1OB1；第二次划分：如图所示，在扇形 C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为 11 个；第三次划分：如图所示；依次划分下去.根据题意，完成下表：划分

7、次数 扇形总个数 1 6 2 11 3 16 4 21 n 5n 1 根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为 2005 个？为什么？解：由 5n 1 2005，得 n20045，n 不是整数，不可能。优化训练 1【烟台 03，桥西 03 04】如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2 1 2 S112（2）2 1 3 S222（3）2 1 4 S332 请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；推算出 OA10的长；求出 S12 S22 S32 S102的值 解：（n）2 1 n 1，Snn2；OA1 1，OA2 2，OA3 3，OA10 10；A6

8、A5 1 1 A4 1 A3 A2 1 A1 1 1 O S1 S2 S3 S4 S5 图第三次划分 图 A B O 图第一次划分 A B O A1 C B1 C1 图第二次划分 A B O A1 C B1 C1 让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想

9、与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 S12 S22 S32 S10214（1 2 3 10）554 2【江苏泰州 04】观察图 1 至图 5 中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第 n 个图中的小黑点的个数为 y.解答下列问题：填表：n 1 2 3 4 5 y 1 3 7 13 21 当 n 8 时，y 57；你能猜想 y 与 n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交

10、流；下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据，把 n 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。解：观察 y 这一行，后面的数比前一个数依次增大 2，4，6，2（n 1），所以当 n 5 时，y 13 2（5 1）21；由知，当 n 8 时，y 21 10 12 14 57；略；根据点的排列情况，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略。设二次函数的解析式为 y ax2 bx c，由（1，1）、（2，3）、（3，7）三点可得，a b c 14a 2b c 39a 3b c 7，解

11、得a 1b 1c 1，故所求的函数关系式为 y x2 x 1.反思：问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系，最后根据猜想求解，这正是“课标”倡导的思想。3 一个自然数 a 恰等于另一个自然数 b 的平方，则称自然数 a 为完全平方数，如 64 82，64 就是一个完全平方数若 a 20022 20022 20032 20032，求证：a 是一个完全平方数，并写出 a 的平方根 解：先从较小的数字探索：a1 12 12 22 22 32（1 2 1）2，a2 22 22 32 32 72（2 3 1）2，a3 3

12、2 32 42 42 132（3 4 1）2，a4 42 42 52 52 212（4 5 1）2，图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造

13、性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 于是猜想：a 20022 20022 20032 20032（2002 2003 1）2（4010007）2，证明采用配方法（略）推广到一般，若 n 是正整数，则 a n2 n2（n 1）2（n 1）2是一个完全平方数 n（n 1）12 解题策略：猜想是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。你能不能想出一

14、个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招”。4【福建龙岩 05】下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形 仔细观察图形可知：图有 1 块黑色的瓷砖，可表示为；21)1 1(1 图有 3 块黑色的瓷砖，可表示为；22)2 1(2 1 图有 6 块黑色的瓷砖，可表示为；23)3 1(3 2 1 实践与探索：请在图的虚线框内画出第 4 个图形；（只须画出草图）第 10 个图形有 块黑色的瓷砖；（直接填写结果）第 n 个图形有 块黑色的瓷砖（用含 n 的代数式表示）解：如右图；55，12n（n 1）（n 为正整数

15、）；5【归纳猜想】观察下列图形，如图所示，若第 1 个图形中的空白面积为 1，第 2 个图形中非阴影部分的面积为34，第 3 个图形中非阴影部分的面积为916，第 4 个图形中非阴影部分的面积为2764，探究：第 n 个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母 n表示）？图 图 图 图 让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生

16、事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 解：当 n 1 时，S 1；当 n 2 时，S34（34）21；当 n 3 时，S916（34）31；当 n 4 时，S2764（34）41；所以，第 n 个图形中非阴影部分的面积为（34）n1；点拨：认真分析 n、S 与34三者之间存在的内在关系探求其规律。6【青岛 03】随着信

17、息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有 56 名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数 n 与通电话次数 s 间的关系用下列模型来表示：若把 n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；根据中得出的函数关系式，求该班 56 名同学间共通了多少次电话 解：略；根据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象

18、上，用待定系数法可求得 s21n221n；当 n 56 时，s 1540；7【大连课改 05】在数学活动中，小明为了求2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 2n 的值（结果用n 表示），设计如图 1 所示的几何图形。请你利用这个几何图形，求2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 2n 的值为；请 你 利 用 图 2，再 设 计 一 个 能 求图 1 图 2 12212312412让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之

19、处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 2n 的值的几何图形。解：（1）112n；（2）如图 1 或如图 2 或如图 3 或如图 4 等，图形正确。8【2004 全国初中

20、竞赛湖北赛区预赛，贵阳实验区 05】如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形 操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成 4 个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成 4 个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去 请你设计出两种符合题意的分割方案图；设正方形的边长为 a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积 S 填入下表：分割次数 n 1 2 3 最小直角三角形的面积 S 41a2 在条件下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积 S 与分割次数 n 有什么关系？用数学表达式表示出来

21、解：现提供如下三种分割方案：每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的41，所以当 n 2 时，S24141a2161a2；当 n 3 时，S341S2641a2；当分割次数为 n 时，Snn41a2（n 1，且 n 为正整数）9【徐州 04】下面的图形是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而组成的 12121212212212212212312312312312412412让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二

22、基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 观察图形，填写下表：图形 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 推测第 n 个图形中，正方形的个数为 5n 3，周长为 10n 8（都用含

23、n 的代数式表示）；这些图形中，任意一个图形的周长 y 与它所含正方形个数 x 之间的关系式为 y 2x 2 10【福建南平实验区 05】定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把 DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割（如图 1）；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割（如图 2）依次规则操作下去。n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整

24、数），设此时小三角形的面积为 Sn.若 DEF 的面积为 10000，当 n 为何值时，2 Sn 3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当 n 1 时，请写出一个反映 Sn 1，Sn，Sn 1之间关系的等式（不必证明）。解：DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为n41，Snn410000 当 n 5 时，S5510000S 9.77；当 n 6 时，S6610000S 2.44；让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络

25、图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 当 n 7 时，S7710000S 0.61；当 n 6 时，2 S6 3；Sn2 S1 n S1 n；（写出 S1 n 4Sn，Sn 4S1 n可得 2 分

26、）11【福建三明 04】据我国古代周髀算经记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过。计算12（9 1）、12（9 1）与12（25 1）、12（25 1），并根据你发现的规律，分别写出能表示 7，24，25 的股和弦的算式；根据的规律，用 n（n 为奇数且n 3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；继续观察 4，3，

27、5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 4 起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用 m（m 为偶数且m 4）的代数式来表示他们的股和弦。【考生注意】：除第小题中已发现的相等关系之外，你还有其他新的发现，并能正确证明，将酌情另加 1 3 分。分析：本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明。解：12（9 1）4，12（9 1）5；12（25 1）12，12（25 1）13；7，24，25 的股的算式为：12（49 1）12（72 1）弦的算式为：12（49 1）12（72 1）；当 n 为奇数且 n 3，勾、股、弦的代数式分别为：n，1

28、2（n2 1），12（n2 1）。例如关系式：弦股 1；关系式：勾2股2弦2；证明关系式：弦股12（n2 1）12（n2 1）12（n2 1）（n2 1）1；或证明关系式：勾2股2 n212（n2 1）214n412n21414（n2 1）2弦2；猜想得证。例如探索得，当 m 为偶数且 m 4 时，让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也

29、正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示优秀学习资料 欢迎下载 股、弦的代数式分别为：（m2）2 1，（m2）2 1。【另加分问题】例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股。即上一组为：n，12（n2 1），12（n2 1）（n 为奇数且 n 3），分别记为：A1、B1、C1，下一组为：n 2，12（

30、n 2）2 1，12（n 2）2 1（n 为奇数且 n 3），分别记为：A2、B2、C2，则：A1 B1 A2 n12（n2 1）（n 2）12（n2 4n 3）12（n 2）2 1 B2.或 B1 C2 B2 C1等等（证略）。评阅注意：本题、和另加分的解答，仅仅是提供一种参考案例。考生只要有一个新的再发现，并能正确证明，均属另加分范围。由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识。让学生认真分析仔细观察综合归纳大胆猜想得出结论进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性一知识网络图二基础知 同之处这个存在于个例中的共性就是规律其中蕴含着特殊一般特殊的常用模式体现了总结归纳的数学思想这也正是人类认识新生事物的一般过程相对而言猜想结论型问题的难度较大些具体题目往往是直观猜想与科学论证具体应用的 方法也是人们探索发现新知的重要手段非常有利于培养创造性思维能力所以备受命题专家的青睐逐步成为中考的又一热点范例精讲归纳与猜想优秀学习资料欢迎下载写出第五个等式并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示