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1、2 0 1 4 湖 北 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）设 l i m,na a 且 0,a 则 当 n 充 分 大 时 有（）（A）2naa（B）2naa（C）1na an（D）1na an（2）下 列 曲 线 有 渐 近 线 的 是（）（A）s i n y x x（B）2s i n y x x（C）1s i n y xx（D）21s i n y
2、 xx（3）（A）（B）（C）（D）（4）设 函 数()f x 具 有 二 阶 导 数，()(0)(1)(1)g x f x f x，则 在 区 间 0,1 上（）（A）当()0 f x 时，()()f x g x（B）当()0 f x 时，()()f x g x（C）当()0 f x 时，()()f x g x（D）当()0 f x 时，()()f x g x（5）行 列 式0 00 00 00 0a ba bc dc d（A）2()ad bc（B）2()ad bc（C）2 2 2 2a d b c（D）2 2 2 2b c a d（6）设1 2 3,a a a 均 为 3 维 向 量，则
3、对 任 意 常 数,k l，向 量 组1 3 2 3,k l 线 性 无 关 是向 量 组1 2 3,线 性 无 关 的（A）必 要 非 充 分 条 件（B）充 分 非 必 要 条 件（C）充 分 必 要 条 件（D）既 非 充 分 也 非 必 要 条 件（7）设 随 机 事 件 A 与 B 相 互 独 立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4（8）设1 2 3,X X X为 来 自 正 态 总 体2(0,)N 的 简 单 随 机 样 本，则 统 计 量1 232X XX服 从 的分 布 为（A）F（1,1）（B）F
4、（2,1）（C）t(1）（D）t(2)二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（9）设 某 商 品 的 需 求 函 数 为 40 2 Q P（P 为 商 品 价 格），则 该 商 品 的 边 际 收 益 为_ _ _ _ _ _ _ _ _。(1 0)设 D 是 由 曲 线 1 0 x y 与 直 线 0 y x 及 y=2 围 成 的 有 界 区 域，则 D 的 面 积 为_ _ _ _ _ _ _ _ _。(1 1)设2014axx e dx，则 _.a(1 2)二 次 积 分22 1 10()_.xy
5、yedy e dxx（1 3）设 二 次 型2 21 2 3 1 2 1 3 2 3(,)2 4 f x x x x x ax x x x 的 负 惯 性 指 数 为 1，则 a 的 取 值 范 围是 _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 4）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为222(;)30 xxf x 其 它，其 中 是 未 知 参 数,1 2,.,nX X X为 来 自 总 体 X 的 简 单 样 本，若21niic x是2 的 无 偏 估 计，则 c=_ _ _ _ _ _ _ _ _三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指
6、定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）求 极 限12121l i m1l n(1)xtxt e t dtxx（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 区 域2 2(,)|1 4,0,0 D x y x y x y，计 算2 2s i n().Dx x ydx dyx y（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数()f u 具 有 2 阶 连 续 导 数，(c os)xz f e y 满 足2 222 24(c os)x xz zz e y ex y，若(0)0,(0)0 f f，求()f
7、 u 的 表 达 式。（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）求 幂 级 数0(1)(3)nnn n x 的 收 敛 域 及 和 函 数。（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数(),()f x g x 在 区 间,a b 上 连 续，且()f x 单 调 增 加，0()1 g x，证 明：（I）0(),;xag t dt x a x a b（I I）()()()().baa g t dt ba af x dx f x g x dx（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设1 2 3 40 1 1 11 2 0 3A，E 为 3 阶 单 位 矩 阵。求 方 程 组 0 A x 的 一
8、 个 基 础 解 系；求 满 足 A B E 的 所 有 矩 阵 B（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与0 0 10 0 20 0 n 相 似。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X=1=P X=2=12，在 给 定 X i 的 条 件 下，随 机 变 量 Y 服 从均 匀 分 布(0,)(1,2)U i i（1）求 Y 的 分 布 函 数()YF y（2）求 E Y（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量 X 与 Y 的 概 率 分 布 相 同，X 的 概 率
9、 分 布 为1 2 0,1,3 3P X P X 且 X 与 Y的 相 关 系 数12X Y（1）求（X，Y）的 概 率 分 布（2）求 P X+Y 1 参 考 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）D（2）B（3）（4）D（5）B（6）A（7）（B）（8）（C）二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置
10、上.（9）pdpdR4 40（1 0）223l n（1 1）21 a（1 2）)e(121（1 3）-2,2（1 4）25 n三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）【答 案】212111111111020221 1212112 uel i muu el i mx)e(x l i m,xux)e(x l i mxt dt dt t)e(l i m)xl n(xdt t)e(t l i muuuuxxx xxxxxx则令（1 6）【答 案】43
11、21 31 211 112020212021202120212021 d)(ds i n c osc os)d c os c os(ds i n c osc osc os d ds i n c osc osd s i n ds i n c osc osds i n c oss i n c osd（1 7）【答 案】y c os e)y c os e(fxEx x)y c os(e)y c os e(f y s i n e)y c os e(fyE)y s i n(e)y c os e(fyEy c os e)y c os e(f y c os e)y c os e(fxEx x x xx xx
12、 x x x 2 2222 222y c os e)y c os e(f)y c os e(fe)y c os e E(e)y c os e(fyExEx x xx x x x 442 22222令 u y c os ex，则 u)u(f)u(f 4，故)C,C(,ue C e C)u(fu u为任意常数2 122214 由,)(f,)(f 0 0 0 0 得4 16 162 2u e e)u(fu u（1 8）【答 案】由 13 14 2)n)(n()n)(n(l i mn，得 1 R当 1 x 时，03 1n)n)(n(发 散，当 1 x 时，03 1 1nn)n)(n()(发 散，故 收
13、 敛 域 为),(1 1。0 x 时，)x(s)x(x)x(x x()xx(x()x(x()dx x)n(x()x)n(x()x)n()dx x)n()n(x)n)(n(nnnxnnnnnnxn nn 3 22 30300202010001312 3111313131 3 3 1。0 x 时，3)x(s，故 和 函 数313)x(x)x(s，),(x 1 1（1 9）【答 案】证 明：1）因 为 1 0)x(g，所 以 有 定 积 分 比 较 定 理 可 知，xaxaxadt dt)t(g dt 1 0，即 xaa x dt)t(g 0。2）令 dt)t(g a f)x(f)x(g)x(g d
14、t)t(g a f)x(g)x(f)x(F)a(Fdt)t(f dt)t(g)t(f)x(Fxaxadt)t(g xaxaxa 0由 1）可 知 xaa x dt)t(g，所 以 xax dt)t(g a。由)x(f 是 单 调 递 增，可 知0 xa dt)t(g a f)x(f由 因 为 1 0)x(g，所 以 0)x(F，)x(F 单 调 递 增，所 以 0)a(F)b(F，得 证。（2 0）【答 案】1,2,3,1T 1 2 31 2 31 2 31 2 32 6 12 1 2 3 2 13 1 3 4 3 1k k kk k kBk k kk k k 1 2 3,k k k R（2 1）【答 案】利 用 相 似 对 角 化 的 充 要 条 件 证 明。（2 2）【答 案】（1）0,0,3,0 1,41 11,1 2,2 21,2.Yyy yF yy yy（2）34（2 3）【答 案】（1）Y X 0 10 29191 1959（2）49