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1、2014 山 东 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题:1 8 小 题,每 小 题 4 分,共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 的,请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置上.(1)当 0 x 时，若 l n(1 2)x，1(1 c os)x 均 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小，的 取 值 范 围 是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2(2)下 列 曲 线 中 有 渐 近 线 的 是()(A)s i n y x x(B)2s i n y
2、 x x(C)1s i n y xx(D)21s i n y xx(3)设 函 数()f x 具 有 2 阶 导 数，()(0)(1)(1)g x f x f x，则 在 区 间 0,1 上（）(A)当()0 f x 时，()()f x g x(B)当()0 f x 时，()()f x g x(C)当()0 f x 时，()()f x g x(D)当()0 f x 时，()()f x g x(4)曲 线2274 1x ty t t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是（）(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10(5)设 函 数()a r c t a n
3、 f x x，若()()f x x f，则220l i mxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13(6)设 函 数(,)u x y 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续，在 D 的 内 部 具 有 2 阶 连 续 偏 导数，且 满 足20ux y 及2 22 20u ux y，则（）(A)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 边 界 上 取 得(B)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 内 部 上 取 得(C)(,)u x y 的 最 大 值 在 D 的 内 部 取 得，最 小 值 在 D 的 边 界 上 取 得(D)(,)u x
4、 y 的 最 小 值 在 D 的 内 部 取 得，最 大 值 在 D 的 边 界 上 取 得(7)行 列 式0 00 00 00 0a ba bc dc d（）(A)2()ad bc(B)2()ad bc(C)2 2 2 2a d b c(D)2 2 2 2b c a d(8)设1 2 3,均 为 3 维 向 量，则 对 任 意 常 数,k l，向 量 组1 3 2 3,k l 线 性 无 关 是 向 量 组1 2 3,线 性 无 关 的（）(A)必 要 非 充 分 条 件(B)充 分 非 必 要 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 非 充 分 也 非 必 要 条 件二、填 空 题：9
5、 1 4 小 题,每 小 题 4 分,共 2 4 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位置 上.(9)1212 5dxx x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 0)设()f x 是 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且()f x 2(1),x 0,2 x，则(7)f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 1)设(,)z z x y 是 由 方 程2 274y ze x y z 确 定 的 函 数，则1 1(,)2 2dz _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 2)曲 线()r r 的 极 坐 标 方 程 是 r，则 L 在 点(,)(,)2 2r
6、处 的 切线 的 直 角 坐 标 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 3)一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于 x 轴 的 区 间 0,1 上,若 其 线 密 度 22 1 x x x,则 该 细 棒 的 质 心 坐 标 x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 4)设 二 次 型 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3,2 4 f x x x x x ax x x x 的 负 惯 性 指 数 为 1，则 a 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _.三、解 答 题：1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定
7、位 置 上.解 答应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 5)(本 题 满 分 1 0 分)求 极 限12121l i m.1l n 1xtxt e t dtxx(1 6)(本 题 满 分 1 0 分)已 知 函 数 y y x 满 足 微 分 方 程2 21 x y y y，且 2 0 y，求 y x 的 极 大 值 与 极 小值.(1 7)(本 题 满 分 1 0 分)设 平 面 区 域 2 2,1 4,0,0,D x y x y x y 计 算 2 2s i nDx x ydx dyx y.(1 8)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数()f u 具 有
8、 二 阶 连 续 导 数，(e c os y)xz f 满 足2 222 2(4 e c os)ex xz zz yx y，若(0)0,(0)0 f f，求()f u 的 表 达 式.(1 9)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数(),()f x g x 的 区 间 a,b 上 连 续，且()f x 单 调 增 加，0()1 g x.证 明：(I)0(),xag t dt x a x a b,(I I)()()d()g()baa g t dt ba af x x f x x dx.(2 0)(本 题 满 分 1 1 分)设 函 数(x),0,11xf xx，定 义 函 数 列1 2 1()
9、(),()(),f x f x f x f f x,1()(),n nf x f f x，记nS 是 由 曲 线()ny f x，直 线 1 x 及 x 轴 所 围成 平 面 图 形 的 面 积，求 极 限 l i mnnnS.(2 1)(本 题 满 分 1 1 分)已 知 函 数(,)f x y 满 足 2(1)fyy，且2(,)(1)(2)l n,f y y y y y 求 曲 线(,)0 f x y 所 围 成 的 图 形 绕 直线 1 y 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积.(2 2)(本 题 满 分 1 1 分)设 矩 阵1 2 3 40 1 1 11 2 0 3A，E 为
10、三 阶 单 位 矩 阵.(I)求 方 程 组 0 A x 的 一 个 基 础 解 系；(I I)求 满 足 A B E 的 所 有 矩 阵.(2 3)(本 题 满 分 1 1 分)证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与0 0 10 0 20 0 n 相 似.参 考 答 案一、选 择 题:1 8 小 题,每 小 题 4 分,共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 的,请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置上.(1)当 0 x 时，若 l n(1 2)x，1(1 c os)x
11、均 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小，则 的 取 值 范 围 是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2【答 案】B【解 析】由 定 义10 0 0l n(1 2)(2)l i m l i m l i m 2 0 x x xx xxx x 所 以 1 0，故 1.当 0 x 时，211(1 c os)2xx 是 比 x 的 高 阶 无 穷 小，所 以21 0，即 2.故 选 B(2)下 列 曲 线 中 有 渐 近 线 的 是()(A)s i n y x x(B)2s i n y x x(C)1s i n y xx(D)21s i n y xx【答 案】C【解 析
12、】关 于 C 选 项：1 1s i n s i nl i m l i m 1 l i m 1 0 1x x xxx xx x.1 1l i m s i n l i m s i n 0 x xx xx x，所 以1s i n y xx 存 在 斜 渐 近 线y x.故 选 C(3)设 函 数()f x 具 有 2 阶 导 数，()(0)(1)(1)g x f x f x，则 在 区 间 0,1 上（）(A)当()0 f x 时，()()f x g x(B)当()0 f x 时，()()f x g x(C)当()0 f x 时，()()f x g x(D)当()0 f x 时，()()f x g
13、x【答 案】D【解 析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x，则(0)(1)0 F F,()(0)(1)()F x f f f x,()()F x f x.若()0 f x，则()0 F x，()F x 在 0,1 上 为 凸 的.又(0)(1)0 F F，所 以 当 0,1 x 时，()0 F x，从 而()()g x f x.故 选 D.(4)曲 线2274 1x ty t t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是（）(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10【答 案】C【解 析】1112 21 1 22
14、 432212tttt tdy tdx td y dytdx dx t 3 3 22 21 1,10 1011yk Rkqy 故 选 C(5)设 函 数()a r c t a n f x x，若()()f x x f，则220l i mxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13【答 案】D【解 析】因 为2()1()1f xfx，所 以2()()x f xf x 222 2 2 20 0 0 011()a r c t a n 11l i m l i m l i m l i m()a r c t a n 3 3x x x xx f x x xxx x f x x x x 故 选 D.(6)设
15、 函 数(,)u x y 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续，在 D 的 内 部 具 有 2 阶 连 续 偏 导数，且 满 足20ux y 及2 22 20u ux y，则（）(A)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 边 界 上 取 得(B)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 内 部 上 取 得(C)(,)u x y 的 最 大 值 在 D 的 内 部 取 得，最 小 值 在 D 的 边 界 上 取 得(D)(,)u x y 的 最 小 值 在 D 的 内 部 取 得，最 大 值 在 D 的 边 界 上 取 得【答 案】A【解 析
16、】记2 2 22 2,0,u u uA B C B A Cx x y y 相 反 数则2=A C-B 0,所 以(x,y)u 在 D 内 无 极 值，则 极 值 在 边 界 处 取 得.故 选 A(7)行 列 式0 00 00 00 0a ba bc dc d()(A)2()ad bc(B)2()ad bc(C)2 2 2 2a d b c(D)2 2 2 2b c a d【答 案】B【解 析】由 行 列 式 的 展 开 定 理 展 开 第 一 列0 00 00 00 0 00 00 0 00 0a ba b a ba ba c d c bc dd c dc d()()ad ad bc bc
17、ad bc 2()ad bc.(8)设1 2 3,a a a 均 为 三 维 向 量，则 对 任 意 常 数,k l,向 量 组1 3a k a,2 3a l a 线 性 无 关 是 向 量 组1 2 3,a a a 线 性 无 关 的()(A)必 要 非 充 分 条 件(B)充 分 非 必 要 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 非 充 分 也 非 必 要 条件【答 案】A【解 析】1 3 2 3 1 2 31 00 1 k lk l.)记 1 3 2 3A k l，1 2 3B，1 00 1k l C.若1 2 3,线 性 无 关，则()()()2 r A r B C r C，故1
18、 3 2 3,k l 线 性 无 关.)举 反 例.令30，则1 2,线 性 无 关，但 此 时1 2 3,却 线 性相 关.综 上 所 述，对 任 意 常 数,k l，向 量1 3 2 3,k l 线 性 无 关 是 向 量1 2 3,线 性 无 关 的 必 要 非 充 分 条 件.故 选 A二、填 空 题：9 1 4 小 题,每 小 题 4 分,共 2 4 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位置 上.(9)1212 5dxx x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】38【解 析】1 112 21 1 1 1a r c t a n2 5 2 21 41 32 4
19、2 8xdx dxx xx(1 0)设()f x 是 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且()f x 2(1),x 0,2 x，则(7)f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】1【解 析】2 1 0,2 f x x x，且 为 偶 函 数则 2 1 2,0 f x x x，又 22 f x x x c 且 为 奇 函 数，故=0 c 22 2,0 f x x x x，又 f x 的 周 期 为 4，7 1 1 f f(1 1)设(,)z z x y 是 由 方 程2 274y ze x y z 确 定 的 函 数，则1 1(,)2 2dz _ _ _ _ _ _ _ _ _
20、 _.【答 案】1()2dx dy【解 析】对2 274y ze x y z 方 程 两 边 同 时 对,x y 求 偏 导222 1 0(2 2)2 0y zy zz ze yx xz ze z y yy y 当1 1,2 2x y 时,0 z 故1 1 1 1(,)(,)2 2 2 21 1,2 2z zx y 故1 1(,)2 21 1 1()()2 2 2dz dx dy dx dy(1 2)曲 线 l i mnnnS 的 极 坐 标 方 程 是 r，则 L 在 点(,)(,)2 2r 处 的 切线 的 直 角 坐 标 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】22
21、y x【解 析】由 直 角 坐 标 和 极 坐 标 的 关 系c os c oss i n s i nx ry r，于 是,2 2r 对 应 于,0,2x y 切 线 斜 率c os s i nc os s i ndydyddxdxd 0,22 dydx 所 以 切 线 方 程 为 202y x 即2=2y x(1 3)一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于 x 轴 的 区 间 0,1 上,若 其 线 密 度 22 1 x x x,则 该 细 棒 的 质 心 坐 标 x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】1120【解 析】质 心 横 坐 标 1010 x x dxxx dx 3
22、1 12 2 100 04 21 12 3 100 05=2 13 32 11=2 14 3 2 12xx dx x x dx x xx xx x dx x x x dx x 111112=5203x(1 3)设 二 次 型 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3,2 4 f x x x x x ax x x x 的 负 惯 性 指 数 是 1，则 a 的 取 值 范 围 _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2,2【解 析】配 方 法：2 22 2 21 2 3 1 3 3 2 3 3,2 4 f x x x x ax a x x x x 由 于 二 次 型 负 惯 性 指 数 为
23、 1，所 以24 0 a，故 2 2 a.三、解 答 题：1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 5)(本 题 满 分 1 0 分)求 极 限12121l i m.1l n 1xtxt e t dtxx【解 析】1 12 21 12 2d d(e 1)(e 1)l i m l i m1 1l n(1)x xt tx xt tt t t tx xx x 12l i m(e 1)xxx x 120 0 0e 1 e 1 1l i m l i m l i m2 2 2t
24、t txt t tt tt t t.(1 6)(本 题 满 分 1 0 分)已 知 函 数 y y x 满 足 微 分 方 程2 21 x y y y，且 2 0 y，求 y x 的 极 大 值 与 极 小值.【解 析】由2 21 x y y y，得2 2(1)1 y y x 此 时 上 面 方 程 为 变 量 可 分 离 方 程，解 的 通 解 为3 31 13 3y y x x c 由(2)0 y 得23c 又 由 可 得221()1xy xy 当()0 y x 时，1 x，且 有：1,()01 1,()01,()0 x y xx y xx y x 所 以()y x 在 1 x 处 取 得
25、 极 小 值，在 1 x 处 取 得 极 大 值(1)0,(1)1 y y 即：()y x 的 极 大 值 为 1，极 小 值 为 0.(1 7)(本 题 满 分 1 0 分)设 平 面 区 域 2 2,1 4,0,0,D x y x y x y 计 算 2 2s i nDx x ydx dyx y.【解 析】D 关 于 y x 对 称，满 足 轮 换 对 称 性，则：2 2 2 2s i n()y s i n()D Dx x y x ydx dy dx dyx y x y 2 2 2 2 2 2s i n()s i n()s i n()12D Dx x y x x y y x yI dx d
26、y dx dyx y x y x y 2 21s i n()2Dx y dx dy 220 1211s i n21()c os4d r r drr d r 22111c os|c os4r r r dr 211 12 1 s i n|4r 34(1 8)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数()f u 具 有 二 阶 连 续 导 数，(e c os y)xz f 满 足2 222 2(4 e c os)ex xz zz yx y，若(0)0,(0)0 f f，求()f u 的 表 达 式.【解 析】由 c os,xz f e y(c os)c os,(c os)s i nx x x xz z
27、f e y e y f e y e yx y 22(c os)c os c os(c os)c osx x x x xzf e y e y e y f e y e yx，22(c os)s i n s i n(c os)c osx x x x xzf e y e y e y f e y e yy 由 2 222 2+4 c osx xz zz e y ex y，代 入 得，2 2c os 4 c os c os x x x x xf e y e f e y e y e 即 c os 4 c os c osx x xf e y f e y e y，令 c os=,xe y t 得 4 f t f
28、 t t 特 征 方 程24 0,2 得 齐 次 方 程 通 解2 21 2t ty c e c e 设 特 解*y at b，代 入 方 程 得1,04a b，特 解*14y t 则 原 方 程 通 解 为 2 21 21=4t ty f t c e c e t 由 0 0,0 0 f f，得1 21 1,16 16c c,则 2 21 1 1=16 16 4u uy f u e e u.(1 9)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数(),()f x g x 在 区 间,a b 上 连 续，且()f x 单 调 增 加，0()1 g x，证 明：（I）0(),xag t dt x a x
29、 a b,（I I）()()d()g()baa g t dt ba af x x f x x dx.【解 析】（I）由 积 分 中 值 定 理,xag t dt g x a a x 0 1 g x，0 g x a x a 0 xag t dt x a（I I）直 接 由 0 1 g x，得 到 0 1=x xa ag t dt dt x a（I I）令 uau a g t dta aF u f x g x dx f x dx uauaF u f u g u f a g t dt g ug u f u f a g t dt 由（I）知 0uag t dt u a uaa a g t dt u 又
30、 由 于 f x 单 增，所 以 0uaf u f a g t dt 0 F u F u，单 调 不 减，0 F u F a 取 u b，得 0 F b，即（I I）成 立.(2 0)(本 题 满 分 1 1 分)设 函 数(x),0,11xf xx，定 义 函 数 列1 2 1 1()(),()(),()(),n nf x f x f x f f x f x f f x，记nS 是 由 曲 线()ny f x，直 线 1 x 及 x 轴 所 围 成 平 面 图 形 的 面 积，求 极 限 l i mnnnS.【解 析】1 2 3(),(),(),(),1 1 2 1 3 1nx x x xf
31、 x f x f x f xx x x nx 1 1 10 0 01 1()1 1n nxxn nS f x dx dx dxnx nx 1 110 20 01 1 1 1 11 l n(1)1dx dx nxn n nx n n 21 1l n(1)nn n l n(1)l n(1)1l i m 1 l i m 1 l i m 1 l i m1nn n x xn xnSn x x 1 0 1(2 1)(本 题 满 分 1 1 分)已 知 函 数(,)f x y 满 足 2(1)fyy，且2(,)(1)(2)l n,f y y y y y 求 曲 线(,)0 f x y 所 围 成 的 图 形
32、 绕 直 线1 y 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积.【解 析】因 为 2(1)fyy,所 以2(,)2(),f x y y y x 其 中()x 为 待定 函 数.又 因 为 2(,)(1)2 l n,f y y y y y 则()1 2 l n y y y，从 而 2 2(,)2 1 2 l n(1)2 l n f x y y y x x y x x.令(,)0,f x y 可 得 2(1)2 l n y x x，当 1 y 时，1 x 或 2 x，从 而 所 求 的 体 积 为 22 21 12211 2 l nl n 22V y dx x x dxxx d x 2221122
33、1l n(2)22 25 52 l n 2(2)2 l n 2 2 l n 2.4 4 4x xx x dxxx(2 2)(本 题 满 分 1 1 分)设 矩 阵1 2 3 40 1 1 11 2 0 3A，E 为 三 阶 单 位 矩 阵.(I)求 方 程 组 0 A x 的 一 个 基 础 解 系；(I I)求 满 足 A B E 的 所 有 矩 阵 B.【解 析】1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 00 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 01 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 1 0 1A E 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 10 1
34、 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 3 10 0 1 3 1 4 1 0 0 1 3 1 4 1,(I)0 A x 的 基 础 解 系 为 1,2,3,1T(I I)1 2 31,0,0,0,1,0,0,0,1T T Te e e 1A x e 的 通 解 为 1 1 1 1 12,1,1,0 2,1 2,1 3,T Tx k k k k k 2A x e 的 通 解 为 2 2 2 2 26,3,4,0 6,3 2,4 3,T Tx k k k k k 3A x e 的 通 解 为 3 3 3 3 31,1,1,0 1,1 2,1 3,T Tx k k k k k 1 2 31 2 3
35、1 2 31 2 32 6 11 2 3 2 1 21 3 4 3 1 3k k kk k kBk k kk k k（1 2 3,k k k 为 任 意 常 数）(2 3)(本 题 满 分 1 1 分)证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与0 0 10 0 20 0 n 相 似.【解 析】已 知 11 11A，120 0 1 Bn=，则 A 的 特 征 值 为 n，0(1 n 重).A 属 于 n 的 特 征 向 量 为(1,1,1)T；()1 r A，故 0 A x 基 础 解 系有 1 n 个 线 性 无 关 的 解 向 量，即 A 属 于 0 有 1 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向量；故 A 相 似 于 对 角 阵0=0n.B 的 特 征 值 为 n，0(1 n 重)，同 理 B 属 于 0 有 1 n 个 线 性 无 关的 特 征 向 量，故 B 相 似 于 对 角 阵.由 相 似 关 系 的 传 递 性，A 相 似 于 B.