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1、学习必备 欢迎下载 专题复习 圆锥曲线 考点 1 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例 1：在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 22的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆9222yax=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平
2、面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程(1)设圆 C 的圆心为(m,n)则,22 2,mnn 解得2,2.mn 所求的圆的方程为 22(2)(2)8xy(2)由已知可得 210a ，5a 椭圆的方程为 221259xy,右焦点为 F(4,0);假设存在 Q 点22 2cos,22 2sin 使QFOF,2222 2cos422 2sin4 整理得 s i n3 c o s22，代入 22sincos1 得:210cos12 2cos70 ,12 2812 22 2cos11010 因此不存在符合题意的 Q 点.例 2：如图,曲线 G 的方程为)0
3、(22yxy.以原点为圆心，以)0(tt 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的 正半轴相交于 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.（）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（）设曲线 G 上点 D 的横坐标为2a,求证：直线 CD 的斜率为定值.考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.解答过程（I）由题意知，).2,(aaA 因为.2,|22taatOA 所以 由于.2,02aatt 故有 （1）学习必备 欢迎下载 由点 B
4、（0，t），C（c，0）的坐标知，直线 BC 的方程为.1tycx 又因点 A在直线 BC 上，故有,12taca 将（1）代入上式，得,1)2(2aaaca解得)2(22aac.（II）因为)2(22(aaD，所以直线 CD 的斜率为 1)2(2)2(2)2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakCD，所以直线 CD 的斜率为定值.例 3已知椭圆2222xyE:1(ab0)ab，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点N(4,1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率1e之间满足1ee1，
5、求：（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设 A、B 坐标分别为1122A(x,y),B(x,y)，则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：21212AB21212yy(xx)bkxx(yy)a 2MN22b1(1)k1a24，所以2222a2b2(ac)，22a2c，则c2ea2；（2）椭圆 E 的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：22(x2)(y1)|PM|2|x2c|x2c|，两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意
6、，舍去；当c3时，双曲线方程为：22(x10)(y1)32，即为所求.小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.考点 2 利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题：二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能
7、力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 例 10(20XX 年山东卷）双曲线 C 与椭圆22184xy有相同的焦点，直线 y=x3为 C 的一条渐近线.(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线l，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合）.当12PQQ
8、AQB，且3821时，求 Q 点的坐标.考查意图:本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（）设双曲线方程为22221xyab,由椭圆22184xy,求得两焦点为(2,0),(2,0)，对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线 3ba 解得 221,3ab，双曲线C的方程为2213yx （）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程：114,(,)ykxA x y，22(,)B xy,则4(,0)Qk.1PQQA,11144(,4)(,)xykk .111111114444()44x
9、kkxkkyy 11(,)A xy在双曲线C上，2121111616()10k.222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk 同理有：2222216(16)32160.3kk 若2160,k则直线l过顶点，不合题意.2160,k 12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的两根.122328163k ,24k，此时0,2k .所求Q的坐标为(2,0).二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆
10、上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程，11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk.1PQQA，Q分PA的比为1.由定比分点坐标
11、公式得 1 111111111144(1)14401xxkkyy 下同解法一 解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程：11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk.12PQQAQB，111222444(,4)(,)(,)xyxykkk .11224yy，114y，224y，又1283 ，121123yy,即12123()2yyy y.将4ykx代入2213yx 得222(3)244830kyyk.230k，否则l与渐近线平行.212122224483,33kyyy ykk.222244833233kkk .2k (2,0)Q.解法四：由题意知直线 l
12、得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程：4ykx，1122(,),(,)A x yB xy,则4(,0)Qk 1PQQA,11144(,4)(,)xykk .1114444kkxxk.同理 1244kx.1212448443kxkx .即 2121225()80k x xk xx.（*）又 22413ykxyx 二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解
13、决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 消去 y 得22(3)8190kxkx.当230k时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k.由韦达定理有：12212283193kxxkx xk 代入（*）式得 24,2kk.所求 Q 点的坐标为(2,0).例 11（20XX 年江西卷理）设动
14、点 P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1和 d2，APB2,且存在常数(01,使得 d1d2 sin2（1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定的范围,使OMON0,其中点 O 为坐标原点 考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程解法 1：（1）在PAB中，2AB，即222121222cos 2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d（常数），点P的轨迹
15、C是以A B，为焦点，实轴长22 1a的双曲线 方程为：2211xy （2）设11()M xy，22()N xy，当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，(11)N，在双曲线上 即2111511012 ，因为01，所以512 当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)yk x 由2211(1)xyyk x 得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk ，由题意知：2(1)0k，所以21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kx xk 于是：22212122(1)(1)(1)ky ykxxk 因为0 ONOM，且MN，在双曲线右支上，所以 2121222122212
16、(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x 由知，51223 二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何
17、知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 CBAoyx解法 2：（1）同解法 1（2）设11()M xy，22()N xy，MN的中点为00()E xy，当121xx时，221101MB ，因为01，所以512；当12xx时，002222212111111yxkyxyxMN 又001MNBEykkx所以22000(1)yxx；由2MON得222002MNxy，由第二定义得2212()222MNe xxa 22000111(1)211xxx 所以222000(1)2(1)(1)yxx 于是由22000222000(1),(1)
18、2(1)(1),yxxyxx 得20(1).23x 因为01x，所以2(1)123，又01，解得：51223 由知51223 考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0)，直线方程为myx1，由222x3ytmyx1 得：22(
19、2m3)y4my2t0 ，设1122A(x,y),B(x,y)，则1224myy2m3 又CA2BC，故1122(x1,y)2(1 x,y)，即12y2y 二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲
20、线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 CBAoyx由得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS|yy|6|22m366322|m|m|，当23m2，即6m2时，AOB面积取最大值，此时2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例 13已知PA(x5,y)，PB(x5,y)，且|PA|PB|6
21、，求|2x3y12|的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(5,0)，B(5,0)，因为|PA|PB|6，且|AB|2 56，所以，动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos,y2sin，则|2x3y12|6 2cos()12|4，当cos()14 时，|2x3y12|取最大值126 2，当cos()14 时，|2x3y12|取最小值126 2.小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用
22、解析几何知识建立等量关系容易.例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0)，直线方程为myx1，由222x3ytmyx1 得：22(2m3)y4my2t0 ，设1122A(x,y),B(x,y)，则1224myy2m3 二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭
23、圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 又CA2BC，故1122(x1,y)2(1 x,y)，即12y2y 由得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS|y
24、y|6|22m366322|m|m|，当23m2，即6m2时，AOB面积取最大值，此时2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例 13已知PA(x5,y)，PB(x5,y)，且|PA|PB|6，求|2x3y12|的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(5,0)，B(5,0)，因为|PA|PB|6，且|AB|2 56，所以，动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos,y2sin，则|2x
25、3y12|6 2cos()12|4，当cos()14 时，|2x3y12|取最大值126 2，当cos()14 时，|2x3y12|取最小值126 2.小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例 14（20XX 年福建卷）已知椭圆2212xy的左焦点为 F，O 为坐标原点.（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求
26、点 G 横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）222,1,1,(1,0),:2.abcFl x 圆过点 O、F，xylGABFO二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程
27、为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 FEPDBAOyx圆心 M 在直线12x 上.设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22r 由,OMr得2213(),22t 解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy（II）设直线 AB 的方程为(1)(0),yk xk 代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F
28、，方程有两个不等实根.记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy 则21224,21kxxk AB的垂直平分线 NG 的方程为001().yyxxk 令0,y 得 222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx 点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2 例 15已知双曲线 C：2222xy1(a0,b0)ab，B 是右顶点，F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为 P，（1）求证：PA OPPA FP；（2）若l与双曲
29、线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，故22|OB|a|OA|c|OF|，即2aA(,0)c，直线l：ay(xc)b，由2ay(xc)aabbP(,)bccyxa，二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的
30、方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 故：22abaabbabPA(0,),OP(,),FP(,)ccccc，则：222a bPA OPPA FPc，即PA OPPA FP；（或PA(OPFP)PA(PFPO)PA OF0，即PA OPPA FP）（2）由44422222222222222ay(xc)aaa c(b)x2cx(a b)0bbbb
31、b xa ya b，由4222212422a c(a b)bx x0abb得：4422222babcaae2e2.（或由DFDOkkabba 22222bcaae2e2）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例 16已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，（1）求点P(x,y)的轨迹 C 的方程；（2）若直线ykxm(m0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,1)，且|AD|BD|，试求 m 的取值范围.解答过程：（1）a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)
32、(a3b)，故(a3b)(a3b)0，即22(x3,3y)(x3,3y)x3y30 ，故 P 点的轨迹方程为22xy13.（2）由22ykxmx3y3得：222(13k)x6kmx3m30，设1122A(x,y),B(x,y)，A、B 的中点为00M(x,y)则22222(6km)4(13k)(3m3)12(m1 3k)0 ，二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理
33、运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 PQCBAxyO1226kmxx1 3k，1202xx3kmx21 3k，002mykxm1 3k，即 A、B 的中点为223kmm(,)1 3k1 3k，则线段 AB 的垂直平分线为：22m13kmy()(x)1 3kk1 3k，将D(0,1)
34、的坐标代入，化简得：24m3k1，则由222m1 3k04m3k1 得：2m4m0，解之得m0或m4，又24m3k11 ，所以1m4，故 m 的取值范围是1(,0)(4,)4.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例 17已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心 O，且AC BC0，|BC|2|AC|，（1）求椭圆的方程；（
35、2）如果椭圆上的两点 P,Q 使PCQ的平分线垂直于 OA，是否总存在实数，使得PQ AB？请说明理由；解答过程：（1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222xy14b，不妨设 C 在 x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC|AC|OC|，又AC BC0ACOC，即 OCA为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b3，即，椭圆方程为22x3y144；（2）假设总存在实数，使得PQ AB，即AB/PQ，二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已
36、知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 由C(1,1)得B(1,1)，则AB0(1)1k2(1)3，若设
37、CP：yk(x1)1，则 CQ：yk(x1)1 ，由22222x3y1(13k)x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1 ，由C(1,1)得x1是方程222(13k)x6k(k1)x3k6k10 的一个根，由韦达定理得：2PP23k6k1xx11 3k，以k代 k 得2Q23k6k1x1 3k，故PQPQPQPQPQyyk(xx)2k1kxxxx3，故AB/PQ，即总存在实数，使得PQ AB.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题
38、，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例 18设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B(0,a)(a0)，且GMAB，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P、Q 两点，且OP OQ0？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)3 3，因为GMAB，所以GM/AB，则xM(,0)3，由 M 为ABC的外心，则|MA|MC|，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)
39、3aa；（2）假设直线 m 存在，设方程为yk(xa)，二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的
40、两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查学习必备 欢迎下载 由2222yk(xa)xy1(x0)3aa得：22222(13k)x6k ax3a(k1)0，设1122P(x,y),Q(x,y)，则21226k axx1 3k，221223a(k1)x x1 3k，22212121212y yk(xa)(xa)k x xa(xx)a 2222k a1 3k，由OP OQ0得：1212x xy y0，即2222223a(k1)2k a01 3k1 3k，解之得k3，又点(a,0)在椭圆的内部，直线 m 过点(a,0)，故存在直线 m，其方程为y3(xa).小结：（1）解答存在性
41、的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.二定义的统一性都是考试的重点内容要能够熟练运用常用的解题技巧要熟记于心例在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程试探究圆上是小题主要考查直线椭圆等平面解析几何的基础知识考查综合运用数学知识进行理运算的能力和解决问题的能力解答过程设圆的圆心为则解得所求的圆的方程为由已知可得椭圆的方程为右焦点为假设存在点使整理得代入得因此不存在于点求点的横坐标与点的横坐标的关系式设曲线上点的横坐标为求证直线的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式直线的方程与斜率抛物线上的点与曲线方程的关系考查