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1、2 0 1 4 北 京 市 中 考 题 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 题 共 3 2 分，每 题 4 分）下 面 各 题 均 有 四 个 选 项，其 中 只 有 一 个 是 符 合 题 意 的1 2 的 相 反 数 是（）A 2 B 2 C 12 D 122 据 报 道，某 小 区 居 民 李 先 生 改 进 用 水 设 备，在 十 年 内 帮 助 他 居 住 小 区 的 居 民 累 计 节 水3 0 0 0 0 0吨，将3 0 0 0 0 0用 科 学 计 数 法 表 示 应 为（）A 60.3 1 0 B 53 10 C 63 10 D 430 10 3 如 图，有 6 张
2、 扑 克 牌，从 中 随 机 抽 取 1 张，点 数 为 偶 数 的 概 率（）A 16B 14C 13D 124 右 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图，该 几 何 体 是（）A 圆 锥 B 圆 柱C 正 三 棱 柱 D 正 三 棱 锥5 某 篮 球 队 1 2 名 队 员 的 年 龄 如 下 表 所 示：年 龄（岁）1 8 1 9 2 0 2 1人 数 5 4 1 2则 这 1 2 名 队 员 年 龄 的 众 数 和 平 均 数 分 别 是（）A 18，19 B 19，19 C 18，1 9.5 D 19，1 9.56 园 林 队 公 园 进 行 绿 化，中 间 休 息 了 一 段 时
3、 间 已 知 绿 化 面 积 S（单 位：平 方 米）与 工 作时 间t（单 位：小 时）的 函 数 关 系 的 图 像 如 图 所 示，则 休 息 后 园 林 队 每 小 时绿 化 面 积 为（）A 4 0 平 方 米 B 5 0 平 方 米C 8 0 平 方 米 D 1 0 0 平 方 米7 如 图，O 的 直 径 A B 垂 直 于 弦 C D，垂 足 是 E，2 2.5 A，4 O C，C D的 长 为（）A 2 2B 4C 4 2D 88 已 知 点 A 为 某 封 闭 图 形 边 界 的 一 定 点，动 点 P 从 点 A 出 发，沿 其 边界 顺 时 针 匀 速 运 动 一 周，
4、设 点 P 的 时 间 为x，线 段 A P 的 长 为y，表 示y与x的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 如 图 所 示，则 该 封 闭 图 形 可 能 是（）二 填 空 题（本 体 共 1 6 分，每 题 4 分）9 分 解 因 式：2 4ay 9 x a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 0 在 某 一 时 刻，测 得 一 根 高 为1.8 m的 竹 竿 的 影 长 为3 m，同 时 测 得 一 根 旗 杆 的 影长 为2 5 m，那 么 这 根 旗 杆 的 高 度 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _m
5、1 1 如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，正 方 形 O A B C 的 边 长 为 2 写 出 一 个 函 数(0)ky kx 使 它 的 图 象 与 正 方 形 O A B C 有 公 共 点，这 个 函 数 的 表 达 式 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 2 在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，对 于 点(,)P x y，我 们 把 点(1,1)P y x 叫 做 点 P 伴 随 点，一 直 点1A 的 伴 随 点 为2A，点2A 的 伴 随 点 为3A，点3A 的 伴 随 点 为4A，这 样 依 次 得 到 点1A，2A，3A，
6、nA，若 点1A 的 坐 标 为(3,1)，则 点3A 的 坐 标 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，点2 0 1 4A 的 坐标 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；若 点1A 的 坐 标 为(,)a b，对 于 任 意 正 整 数n，点nA 均 在x轴 上 方，则a，b 应 满 足 的 条 件 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三 解 答 题（本 题 共 3 0 分，每 小 题 5 分）1 3 如 图，点 B 在 线 段 A D 上，B C D E，A B E D，B C D B 求 证：A E 1 4 计 算：3-3 t a n 3 0-15160
7、 1 5 解 不 等 式2132121 x x，并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来（添 加 图）1 6、已 知 x-y=3,求 代 数 式（x+1)2-2 x+y(y-2 x)的 值 1 7、已 知 关 于 x 的 方 程 m x2-(m+2)x+2=0（m 0)(1)求 证：方 程 总 有 两 个 实 数 根；(2)若 方 程 的 两 个 实 数 根 都 是 整 数，求 正 整 数 m 的 值 1 8 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题小 马 自 驾 私 家 车 从 A 地 到 B 地，驾 驶 原 来 的 燃 油 汽 车 所 需 油 费 1 0 8 元，驾 驶 新
8、 购 买 的 纯电 动 汽 车 所 需 电 费 2 7 已 知 每 行 驶 1 千 米，原 来 的 燃 油 汽 车 所 需 的 油 费 比 新 购 买 的 纯电 动 汽 车 所 需 的 电 费 多 0 5 4 元，求 新 购 买 的 纯 电 动 汽 车 每 行 驶 1 千 米 所 需 的 电 费 1 9 如 图，在 A B C D 中，A E 平 分 B A D，交 B C 于 点 E，B F 平 分 A B C，交 A D 于 点 F，A E与 B F 交 于 点 P，连 接 E F P D（1）求 证：四 边 形 A B E F 是 菱 形；（2）若 A B=4，A D=6，A B C=6
9、 0，求 t a n A D P 的 值 2 0 根 据 某 研 究 院 公 布 的 2 0 0 9-2 0 1 3 年 我 国 成 年 国 民 阅 读 调 查 报 告 的 部 分 数 据，绘 制 的 统 计图 表 如 下：2 0 1 3 年 成 年 国 民 2 0 0 9 2 0 1 3 年 成 年 国 民倾 向 的 阅 读 方 式 人 数 分 布 统 计 图 年 人 均 阅 读 图 书 数 量 统 计 表年 份 年 人 均 阅 读 图 书 数 量（本）2 0 0 9 3.8 82 0 1 0 4.1 22 0 1 1 4.3 52 0 1 2 4.5 62 0 1 3 4.7 8根 据 以
10、 上 信 息 解 答 下 列 问 题：（1）直 接 写 出 扇 形 统 计 图 中 m 的 值；（2）从 2 0 0 9 到 2 0 1 3 年，成 年 国 民 年 人 均 阅 读 图 书 的 数 量 每 年 增 长 的 幅 度 近 似 相 等，估算 2 0 1 4 年 成 年 国 民 年 人 均 阅 读 图 书 的 数 量 约 为 _ _ _ _ _ _ _ 本；（3）2 0 1 3 年 某 小 区 倾 向 图 书 阅 读 的 成 年 国 民 有 9 9 0 人，若 该 小 区 2 0 1 4 年 与 2 0 1 3 年 成年 国 民 的 人 数 基 本 持 平，估 算 2 0 1 4 年
11、该 小 区 成 年 国 民 阅 读 图 书 的 总 数 量 约 为 _ _ _ _ _ 本 2 1 如 图，A B 是 O 的 直 径，C 是 弧 A B 的 中 点，O 的 切 线 B D 交 A C 的 延 长 线 于 点 D，E是 O B 的 中 点，C E 的 延 长 线 交 切 线 D B 于 点 F，A F 交 O 于 点 H，连 结 B H（1）求 证：A C=C D；（2）若 O B=2，求 B H 的 长 2 2 阅 读 下 面 材 料：小 腾 遇 到 这 样 一 个 问 题：如 图 1，在 A B C 中，点 D 在 线 段 B C 上，B A D=7 5，C A D=3
12、0，A D=2，B D=2 D C，求 A C 的 长 E图 1 图 2小 腾 发 现，过 点 C 作 C E A B，交 A D 的 延 长 线 于 点 E，通 过 构 造 A C E，经 过 推 理 和 计 算 能 够使 问 题 得 到 解 决（如 图 2）请 回 答：A C E 的 度 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，A C 的 长 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 参 考 小 腾 思 考 问 题 的 方 法，解 决 问 题：如 图 3，在 四 边 形 A B C D 中，B A C=9 0，C A D=3 0，A D C=7 5，A C 与 B
13、 D 交 于 点 E，A E=2，B E=2 E D，求 B C 的 长 五 解 答 题（本 题 共 2 2 分，第 2 3 题 7 分，第 2 4 题 7 分，第 2 5 题 8 分）2 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，抛 物 线 y=2 x2+m x+n 经 过 点 A（0，-2），B（3，4）（1）求 抛 物 线 的 表 达 式 及 对 称 轴；（2）设 点 B 关 于 原 点 的 对 称 点 为 C，点 D 是 抛 物 线 对 称 轴 上 一 动 点，记 抛 物 线 在 A，B 之间 的 部 分 为 图 象 G（包 含 A，B 两 点）若 直 线 C D 与 图 象
14、 G 有 公 共 点，结 合 函 数 图 象，求 点D 纵 坐 标 t 的 取 值 范 围 2 4 在 正 方 形 A B C D 外 侧 作 直 线 A P，点 B 关 于 直 线 A P 的 对 称 点 为 E，连 接 B E，D E，其 中 D E交 直 线 A P 于 点 F（1）依 题 意 补 全 图 1；（2）若 P A B=2 0，求 A D F 的 度 数；（3）如 图 2，若 4 5 P A B 9 0，用 等 式 表 示 线 段 A B，F E，F D 之 间 的 数 量 关 系，并 证明 2 5 对 某 一 个 函 数 给 出 如 下 定 义：若 存 在 实 数 M 0，
15、对 于 任 意 的 函 数 值 y，都 满 足-M y M，则 称 这 个 函 数 是 有 界 函 数 在 所 有 满 足 条 件 的 M 中，其 最 小 值 称 为 这 个 函 数 的 边 界 值 例 如，下 图 中 的 函 数 是 有 界 函 数，其 边 界 值 是 1（1）分 别 判 断 函 数 y=x1（x 0）和 y=x+1（-4 a）的 边 界 值 是 2，且 这 个 函 数 的 最 大 值 也 是 2，求 b 的 取 值 范 围；（3）将 函 数2(1,0)y x x m m 的 图 象 向 下 平 移 m 个 单 位，得 到 的 函 数 的 边 界 值 是 t，当 m 在 什
16、么 范 围 时，满 足 143 t？2 0 1 4 年 北 京 高 级 中 等 学 校 招 生 考 试数 学 答 案一.选 择 题（本 题 共 3 2 分，每 小 题 4 分）：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8选 项 B B D C A B C A二.填 空 题（本 题 共 1 6 分，每 小 题 4 分）：题 号 9 1 0 1 1 1 2答 案 1 5（-3,1）；（0,4）；1 a 1且 0 b 2三.解 答 题（本 题 共 3 0 分，每 小 题 5 分）：1 3（本 小 题 满 分 5 分）证 明：B C D E A B C=E D B；在 A B C 和 E D B 中：A
17、B=E D；A B C=E D B；B C=D B；A B C E D B；A=E1 4.（本 小 题 满 分 5 分）解：原 式=1 5.（本 小 题 满 分 5 分）解：移 项 得：；合 并 同 类 项 得：系 数 化 为 1：x 在 数 轴 上 表 示 出 来：1 6.（本 小 题 满 分 5 分）解：化 简 代 数 可 得：原 式=原 式=41 7.（本 小 题 满 分 5 分）（1）证 明：可 知=0 方 程 总 有 两 个 实 数 根。（2）解：由 公 式 法 解 方 程 可 得：x1=x2=由 题 意：方 程 的 两 个 实 数 根 均 为 整 数 x2必 为 整 数；又 m 为
18、 正 整 数；m=1 或 者 2。1 8.（本 小 题 满 分 5 分）解：（方 法 不 唯 一）设 A、B 两 地 距 离 为 x 千 米由 题 意 可 知：解 得：x=1 5 0 纯 电 动 汽 车 每 行 驶 一 千 米 所 需 电 费 为：四.解 答 题（本 题 共 2 0 分，每 小 题 满 分 5 分）：1 9.（本 小 题 满 分 5 分）（1）证 明：因 为 A B C D 是 平 行 四 边 形 A B C D；A D C B A E 平 分 B A D；B F 平 分 A B C；B A E=D A E；A B F=C B F；可 知：D A E=B E A；E B F=A
19、 F B；A B F=A F B；B A E=A E B A B=B E；A B=A F；A F B E 四 边 形 A B E F 为 菱 形（2）解：作 P H A D A B C=6 0，A B=B E；A B E 为 等 边 三 角 形；A E=A B=4；D A E=6 0；A B E F 为 菱 形；P 点 为 A E 中 点；A P=2；H可 知：A H=1；P H=；A D=6；D H=5；P H=t a n A D P=2 0.（本 小 题 满 分 5 分）（1）6 6；（2）5.0 1；（3）7 5 7 5.2 1.（本 小 题 满 分 5 分）（1）证 明：连 接 C O
20、 B D 为 O 的 切 线，A B 为 直 径；A B D=9 0；C 点 为 弧 A B 中 点；C O A=9 0 C O B D；O 点 为 A B 中 点；点 C 为 A D 中 点；即：A C=C D（2）解：C O A B；E 为 O B 中 点；O B=2；O E=1=B E；C O F D C O E F B E B F=C O=2；A B 为 直 径；A H B=9 0=A B F；B F H=A F B A B F B H F；B H：F H：B F=1：2：；B F=2；B H=2 2.（本 小 题 满 分 5 分）（1）7 5，3（2）解：过 点 D 作 D F A
21、C；B A C=9 0；A B D F B E=2 E D；A E=2；E F=1；A F=3；C A D=3 0；A F D=9 0；D F=；A D=2；C A D=3 0，A D C=7 5；A C D=7 5；即 A C=A D可 知：A C=A D=2 D F=A B=2 A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形；B C=A B=2F五.解 答 题（本 题 共 2 2 分，第 2 3 题 7 分，第 2 4 题 7 分，第 2 5 题 8 分）：2 3.（本 小 题 满 分 7 分）解：（1）y=2 x2+m x+n 经 过 点 A（0，-2），B（3，4）代 入，得：n=-21 8+3 m+n=4 m=-4；n=-2 抛 物 线 的 表 达 式 为：y=对 称 轴 为：x=-1（2）由 题 意 可 知：C（-3，-4）二 次 函 数 的 最 小 值 为 4；由 图 像 可 以 看 出 D 点 坐 标 最 小 值 即 为 4；最 大 值 即 B C 的 解 析 式：当 x=1 时，y=4 t 2 4.（本 小 题 满 分 7 分）解：（1）补 全 图 形 如 图 所 示：2 5.（本 小 题 满 分 8 分）