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1、20152015 年陕西高考文科数学试题及答案年陕西高考文科数学试题及答案一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合32,6,8,10,12,14Ax xnnNB，则集合AB中的元素个数为（）.（A）5（B）4（C）3（D）2【答案】D【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章集合中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2、已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC ，则向量BC （）.（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4
2、)（D）(1,4)【答案】A【难度】容易【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章平面向量有详细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。3、已知复数z满足(1)1zii，则z（）.（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i【答案】C【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。4、如果 3
3、 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）.（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【难度】容易【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C yx的焦点重合，,A B是 C的准线与 E 的两个交点，则AB（）.（A）3（B）6
4、（C）9（D）12【答案】B【难度】容易【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对抛物线的专题讲解。6、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺
5、，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（）.（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛【答案】B【难度】中等【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。7、已知na是公差为 1 的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10a（）.（A）172（B）192（C）10（D）12【答案】B【难度】容易【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关
6、知识的总结讲解。8、函数()cos()f xx的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）.（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ【答案】D【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）.（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C【难度】容易【点评】本题考查程序图。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章
7、算法初步有详细讲解，其中第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。10、已知函数1222,1()log(1),1xxf xxx，且()3f a ，则(6)fa（）.（A）47（B）54（C）34（D）14【答案】A【难度】较难【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。第II卷11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则 r（）.（A）
8、1（B）2（C）4（D）8【答案】B【难度】中等【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章几何体的直观图与三视图有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一致的题目解析。12、设函数()yf x的图像与2x ay的图像关于直线yx 对称，且(2)(4)1ff，则 a（）.（A）1（B）1（C）2（D）4【答案】C【难度】中等【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。二、填空题：本大题共 4 小题,每
9、小题 5 分13、数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前n项和，若126nS，则n.【答案】6【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。14.已知函数 31f xaxx的图像在点 1,1f的处的切线过点2,7，则a.【答案】1【难度】容易【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。15.若x,y满足约束条件2021022
10、0 xyxyxy,则z3xy的最大值为【答案】4【难度】中等【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座 2，第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。16.已知P是双曲线22:18yC x 的右焦点，P是C左支上一点，0,6 6A，当APF周长最小时，该三角形的面积为【答案】12 6【难度】较难【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对椭圆的
11、专题讲解。三、解答题17.（本小题满分 12 分）已知,a b c分别是ABC内角,A B C的对边，2sin2sinsinBAC.（I）若ab，求cos;B（II）若90B，且2,a 求ABC的面积.【答案】（I）由题设及正弦定理可得2bac.又 ab，可得 b2c,a2c.由余弦定理可得2221cos24acbBac.（II）由（I）知2bac.因为 B90，由勾股定理得222acb.故222acac，得2ca.所以，ABC 的面积为 1.【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中
12、有对三角函数相关知识的总结讲解。18.（本小题满分 12 分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD 平面，（I）证明：平面AEC 平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以，ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以，ACBE.故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以，平面 AEC平面 BED.(II)设 ABx,在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得3,.22xAGGCx GBGD因为 AEEC,所以在 RtAEC 中，可得32EGx.由 BE平面 ABCD，知
13、EBG 为直角三角形，可得2.2BEx由32EGx已知得，三棱锥 EACD 的体积31166.32243E ACDVAC GD BEx故 x2.从而可得6AEECED.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为5.故三棱锥 EACD 的侧面积为32 5.【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及立体几何的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。19.（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售
14、量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费ix，和年销售量1,2,3,8iy i 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I）根据散点图可以判断，yabx与ycdx，哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为0.2zyx，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费90 x 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【答案】（I）由散点图可以判断
15、，ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。（II）令wx，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于81821()()108.8681.6()iiiiiww yydww56368 6.8100.6,cydw所以 y 关于 w 的线性回归方程为100.668,yw因此 y 关于 x 的回归方程为100.668.yx（III）(i)由（II）知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值100.668 49=576.6,y 年利润 z 的预报值576.6 0.24966.32,z（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxx
16、x 所以，当13.66.82x，即 x46.24 时，z取得最大值。故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。【难度】较难【点评】本题考查函数的相关计算求解。在高二数学（文）下学期，第五章统计第 01 讲，统计案例中有详细讲解。20.（本小题满分 12 分）已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于 M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OM ON ，其中O为坐标原点，求MN.【答案】（I）由题设，可知直线 l 的方程为 ykl1.因为 l 与 C 交于两点，所以，2|23 1|11kk 解得474733k所以 k 的取值范围为47 47(,)33.（II
17、）设 M(x1,y1),N(x2,y2).将 ykx1 代入方程22(2)(3)1xy，整理得22(1)4(1)70kxk x所以，1212224(1)7,11kxxx xkk1212212122(1)()14(1)81OM ONx xy ykx xk xxkkk 由题设可得24(1)8121kkk，解得 k1,所以 l 的方程为 yx1故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2.【难度】较难【点评】本题考查圆锥曲线及向量的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程以及高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章平面向量有详细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题
18、讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对此相关知识的总结讲解。21.（本小题满分 12 分）设函数 2lnxf xeax.（I）讨论 f x的导函数 fx的零点的个数；（II）证明：当0a 时 22lnf xaaa.【答案】(I)f(x)的定义域为（0，），22(0).xafxexx当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点；当 a0 时，因为2xe单调递增，ax单调递增，所以 f(x)在（0，）单调递增.又 f(a)0，当 b 满足04ab且14b 时，f(b)0，故当 a0 时，f(x)存在唯一零点.（II）由（I），可设 f(x)在（0，）的唯一零点为 x0，当 x（0
19、，x0）时，f(x)0；当 x（x0，）时，f(x)0.故 f(x)在（0，x0）单调递减，在（x0，）单调递增，所以当 xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2020 xaex，所以00022()2ln2ln.2af xaxaaaxaa。故当 a0 时，2()2ln.f xaaa【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学（文）强化提高班下学期，第一章导数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第五章不等式有详细讲解。请考生在请考生在 2222、2323、2424 题中任选一
20、题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,作答时请写清题号作答时请写清题号22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线；（II）若3OACE，求ACB的大小.【答案】（I）连结 AF，由已知得，ADBC,ACAB.在 RtAEC 中，由已知得，DEDC,故DECDCE.连结 OE,则OBEOEB 又90,ACBABC所以，90,DECOEB故90,OEDDE 是O的切线（II）设 CE1，AEx,由已知得22 3,12.ABBEx由射影定理可得，2
21、,AECE BE所以，224212,+-12=0.xxxx即可得3x，所以60.ACB【难度】较难【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆、椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对圆的专题讲解。23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx ，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求12,C C的极坐标方程.（II）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,C C
22、的交点为,M N，求2C MN的面积.【答案】(I)因为 xpcosx,ypsinx,所以，C1的极坐标方程为cos2,C2的极坐标方程为22 cos4 sin40.（II）将4代入222 cos4 sin40,3 2+4=0得，解得12122 22.2,|2MN，故即.由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.【难度】中等【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式
23、证明选讲已知函数 12,0f xxxa a.（I）当1a 时求不等式 1f x 的解集；（II）若 f x图像与x轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.【答案】（I）当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40,无解；当1x1 时，不等式化为 3x20，解得21;3x当 x1 时，不等式化为x20,解得 1x2.所以，f(x)1 的解集为2|2.3xx（II）由题设可得，1 2,1,31 2,1,12,.xa xxaxaxa xa 所以，函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,+1)3aABaC a a，ABC 的面积为22(1).3a由题设得22(1)6.3a，故 a2.所以，a 的取值范围为（2，）.【难度】较难【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座 2，第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对不等式相关知识的总结讲解。