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1、学习必备 欢迎下载 第三讲 二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac
2、-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2 y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴 x=-b/2a，f(-b/2a+x)=f(-b/2a-x)，x R），单调区间（-，-b/2a），-b/2a,+、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（b2-4ac）与 X 轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的漫谈 ax2+bx+c一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”：（一元）二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)a=0（一元）一次函数 y=bx+c(b 0)（一元）二次三项式 ax2+bx+c(a 0)a=0 一次二
3、项式 bx+c(b 0)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)a=0 一元一次方程 bx+c=0(b0)一元二次不等式 ax2+bx+c0或 ax2+bx+c0 或 bx+c0(b0)观察这个框图，就会发现：在 a 0 的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式 ax2+bx+c(a 0)像一颗心脏一样，支配着整个学习必备 欢迎下载“四个二次型”的运动脉络。而二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量 X的取值范围是全体实数，即 n R；它的解析式 f(x
4、)即是二次三项式 ax2+bx+c(a 0)；若 y=0，即 ax2+bx+c=0（a 0），就是初中重点研究的一元二次方程；若 y0 或 y0 或 ax2+bx+c0（a 0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半
5、功倍。二、二次函数的解析式 上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数 a 0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。Y=ax2+bx+c(a 0)中有三个字母系数 a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母 a、b、c 的取值。三个未知数的确定需要 3 个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。二次函数有四种待定形式：1标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a 0)2顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.(a 0)3两根式（零点式）：f
6、(x)=a(x-x1)(x-x2).(a 0)4三点式：（见罗增儒高中数学竞赛辅导）过三点 A（x1,f(x1)）、B（x2,f(x2)）、C（x3,f(x3)）的二次函数可设为 f(x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把 ABC 坐标依次代入，即令 x=x1,x2,x3,得 f(x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，f(x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，f(x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)解之，得：a1=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)，a2=f(x2)/(x2-x1)(x2-x3)，a3=f(x3)/(x
7、3-x1)(x3-x2)从而得二次函数的三点式为：f(x)=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)(x-x2)(x-x3)+f(x2)/次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框
8、图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载(x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x3)+f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)(x-x1)(x-x2)根据题目所给的 不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。例 1 已知二次函数的图象过（1,6），（1，2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。解法一：用标准式 图象过三点（1,6）、（1，2）、（2,3）可设 y=f(x)=ax2+bx+c，且有 a-b+c=6，a+b+c=2，4a+2
9、b+c=3 解之得：a=1，b=2，c=5 所求二次函数为 y=x2+2x-5 解法二：用三点式 图象过三点（1，6），（1，2），（2,3）可设 y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2 a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)计算可得：a1=6/(1 1)(1 2)=1，a2=2/(1 1)(1 2)=1，a3=3/(2 1)(2 1)=1 f(x)=x2 2x 5 例 2 二次函数的图象通过点（2，5），且它的顶点坐轴为（1，8），求它的解析式
10、解：它的顶点坐标已知 可设 f(x)=a(x 1)2 8 又函数图象通过点（2，5），a(2 1)2 8=5 解之，得 a=3 故所求的二次函数为：y=3(x 1)2 8 即：y=f(x)=3x2 6x 5 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南
11、教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 评注，以顶点坐标设顶点式 a(x-h)2+k，只剩下二次项系数 a 为待定常数，以另一条件代入得到关于 a 的一元一次方程求 a，这比设标准式要来得简便得多。例 3 已知二次函数的图象过（2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的 纵坐标为 125/4，求它的解析式。解：（2,0）和（3,0）是 X轴上的两点，x1 2，x2 3 可设 y=f(x)=a(x+2)
12、(x-3)=a(x2-x-6)=a(x-1/2)2-25/4=a(x-1/2)2-25/4a 它的顶点的纵坐标为 25/4a 25/4a=125/4，a=5 故所求的二次函数为：f(x)=5(x+2)(x-3)=5x2+5x+30 想一想：本例能否用顶点式来求？例 4 已知二次函数经过 3 点 A（1/2，3/4）、B（1,3）、C（2,3），求解析式。分析 本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求 a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。解法一：顶点式：由二次函数的对称性可知，点 B、C 所连线段的中垂线x=(-1+
13、2)/2=1/2 即为图象的对称轴，从而点 A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:f(x)=a(x-(1/2)2+(3/4)把 B 或 C 的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1 f(x)=(x-(1/2)2+3/4=x2-x+1 解法二 由 B、C 的纵坐标相等可知 B、C 两点是函数 y=f(x)与直线 y=3 的交点，亦即 B、C 两点的横坐标是方程 f(x)=3 即 f(x)-3=0 的两个根故可设零点式为：次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数
14、学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 f(x)-3=a(x+1)(x-2)把 A点坐标代入，有 f(1/2)-3
15、=a(1/2+1)(1/2-2)，即 9/4=9/4a，a=1 从而 f(x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 三、二次函数的最值 我们知道，二次函数 y=f(x)ax2+bx+c(a 0)利用配方法，可以得出：y=f(x)=ax2+bx+c=a(x+(b/2a)2+(4ac-b2)/4a)，它的图象是开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标是（-(b/2a)，(4ac-b2)/4a)）1当自变量在全体实数范围内变化时，二次函数的最值为：a0，a0 fmin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmax=maxf(p),f(g)fmin=minf(p),f(g)fmax=maxf(p)
16、,f(g)a0 fmax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmin=minf(p),f(g)例 5 当 X为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2)当 x=(a1+a2+an)/n)时，f(x)有最小值。次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年
17、年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 评注：1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过 程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1、a2、，an共 n 个数据。
18、我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从 a1,a2,an推出 a=读者从例 5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？例 6（1982 年全国高中数学联赛试题）已知 x1,x2是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k 为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：（A）19；（B）18；（C）50/9(D)不存在 解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 x12 x22（x1 x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 如果由此得 K-
19、5 时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知 该 x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别 式 0，即(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4 k-4/3 k=-5-4,-4/3，设 f(k)=-(k+5)2+19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/918 当 k=-4 时，(x12+x22)max=18，选（B）评注：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。例 7 已知 f(x)=x2-2x+2，在 x t,t+1 上的
20、最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式。解：f(x)=(x-1)2+1(1)当 t+11 即 t1 时，g(t)=f(t)=t2-2t+2 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这
21、个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 综合（1）、（2）、（3）得：例 8（1）当 x2+2y2=1 时，求 2x+3y2的最值；（2）当 3x2+2y2=6x 时，求 x2+y2的最值。解：（1）由 x2+2y2=1 得 y2=1/2(1-x2)，代入 2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6)又 1-x2=2y2 0，x2 1，1 x 1 当 x=2/3 时，y=(10)/6，（2x+3y2）max=16/3；
22、当 x=-1 时，y=0，（2x+3y2）min=2(2)由 3x2+2y2=6x，得 y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2(x-3)2+9/2 又 y2=(3/2)x(2-x)0，得 0 x 2 当 x=2，y=0 时，（x2+y2）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 四、二次函数与二次方程 二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与 x 轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。设 f(x)=ax2+bx+c(
23、a 0)的二实根为 x1,x2，(x1 x2)，=b2-4ac，且、()是预先给定的两个实数。1当两根都在区间(,)内，方程系数所满足的充要条件：x1 x2，对应的二次函数 f(x)的图象有下列两种情形(图 1)当 a 0 时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判
24、别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 当 a 0 时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 两种情形合并后的充要条件是：0，-b/2a，af()0，af()0 2当两根中有且仅有一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件：x1 或 x2，对应的函数 f(x)的图象有下列四种情形（图 2）从四种情形得充要条件是：f()f
25、()0 3当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间，之外的两旁时：x1 x2，对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形（图 3）：当 a 0 时的充要条件是：f()0，f()0 当 a 0 时的充要条件是：f()0，f()0 两种情形合并后的充要条件是：af()0，af()0（2）两根分别在区间，之外的同旁时：x1 x2 或 x1 x2，对应函数 f(x)的图象有下列四种情形（图4）：次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也
26、年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 当 x1 x2 时的充要条件是：0，-b/2a，af()0 当 x1 x2时的充要条件是：0，-b/2a，af()0 例 9已知方程 x2+2px+1=0
27、有一个根大于 1，有一个根小于 1，则 P 的取值 为。解：记 f(x)=x2+2px+1，则 f(x)r 的图象开口向上，当 f(x)与 x 轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有 f(1)0，即：12+2P 1 0，即 P 1 所以 P 的取值为（，1）例 10如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0 的两个根一个小于零，另一个大于 1，试确定 m的范围。解：令 f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图 5）：得充要条件：（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即 1-m2 0,(1-m2)(2m-m2)0
28、解得：-1 m 0 例 11已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0).若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 ff(x)=x 也无实根，（北京市 1994 年高中一年级数学竞赛复赛试题）。证明：已知 f(x)=ax2+bx+c(a 0)次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相
29、离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0 无实根，f(x)-x 仍是二次函数，f(x)-x=0 仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac 0 若 a 0，则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方，y 0，即 f(x)-x 0 恒成立，即：f(x)x 对任意实数 x 恒成立。对 f(x
30、)，有 f(f(x)f(x)x 恒成立 f(f(x)=x 无实根 若 a 0，函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 y 0，即 f(x)-x 0 恒成立 对任意实数 x，f(x)0 恒成立 对实数 f(x)，有：f(f(x)f(x)x 恒成立 f(f(x)=x 无实根 综上可知，当 f(x)=x 无实根时，方程 f(f(x)=x 也无实根 五二次函数与二次不等式 前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x轴的位置关系等。例 12对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，求证，必存在
31、 x=M 0，使 f(M)均与 a 同号。分析：这是一道证明题。从图象上看，当 a 0 时，抛物线开口向上，f(x)0 的解集要么为全体实数集合 R（0)；要么为（-,x0）(x0,+)(=0,f(x0)=0)，要么为（-,x1）(x2,+)(0,f(x1)=f(x2)=0)，故总可以找到 M 0，M R，或 M（-,x0）(x0,+)，或 M（-,x1）(x2,+)，使 f(M)0，因此 af(M)0，对于 a 0 的情形，也是如此，只不过 f(M)0，从代数的角度看问题，af(x)0 即 a2x2+abx+ac 0 它有解且解集合中包含着 x=M与 x=-M（M 0）一对相反数，因此，需考
32、虑所对应的二次方程的判别式。证明：f(x)=ax2+bx+c(a 0)af(x)=a2x2+abx+ac=1/4 4a2x2+4abx+4ac=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次
33、函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 af(x)0 即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)0（1）当=b2-4ac 0 时，af(x)0 的解集为(-,+)（2）当=b2-4ac=0 时，af(x)0 的解集为(-,-b/2a)（-b/2a,+)（3）当=b2-4ac 0 时，方程 af(x)=0 有两个不等的实数根 x1,x2(x1 x2)，相应的不等式 af
34、(x)0 的解集合为：（-,x1）(x2,+)因为三种情况下的解集合均为无穷区间，故均存在-M与 M同属于解集合，使 af(M)0，从而 a 与 f(M)同号。例 13若 a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n)当 a12+a22+a2n 0 即 a1,a2,an不全为零时，显然有对 x R，f(x)0，故 f(x)
35、0 的判别式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)0 即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)当 a1=a2=an=0 时，结论显然成立，故命题成立。评注 本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有时它也写作。等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=an/bn时成立。例 14设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2满 足 0 x1 x2 1/a。（1）当 x(0,x1)时，证明 x f(x)x1（2）设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0对
36、称，证明：x0 x1/2。分析该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第 24 题，它综合考查二次函数、二次方程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考：次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等
37、全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0(a 0)是二次方程，由于 x1,x2是它的两个根，且方程中 x2的系数是 a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。从几何角度看，抛物线 y=f(x)-x
38、开口向上，因此在区间 x1,x2 的外部，f(x)-x 0，（1）的左端得证。其次，抛物线 y=f(x)的开口也向上，又 x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数 f(x)在区间 0,x1 的最大值是 f(x1)，这相当于证明 f(0)f(x1)，也即 C x1，利用韦达定理和题设，立即可得。至于（）的证明，应用配方法可得 x0=-b/2a，进而利用韦达定理与题设，即得证明。证明：欲证：x f(x)x 只须证：0 f(x)-x x1-x 因为方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a 0)，f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)式即:0
39、 a(x-x1)(x-x2)x1-x a 0，x(0,x1),x1-x 0,a(x1-x)0 式两边同除以 a(x1-x)0，得：0 x2-x 1/a，即：x x2 1/a+x 这由已知条件：0 x x1 x2 1/a，即得：x x2(1/a)1/a+x，故命题得证。（2）欲证 x0 x1/2，因为 x0=-b/2a，故只须证：x0-x1/2=-b/2a-x1/2 0 由韦达定理，x1+x2=(-b-1)/a，(x1+x2)/2=-(b-1)/2a，代入式，有(-(b/2a)-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a)0 即：x2 1/a 由已知：0 x1 x2 1/a，命题得证。评注证（1）
40、用到了二次函数的零点式 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)证（2）用到了 x0=-(b/(2a),(x1+x2)/2)=-(b-1)/2a)，都是二次函数二次方程的基础知识。六、“四个二次型”的综合运用 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河
41、南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 二次三项式、一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是相辅相成的 一个有机整体，函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样 要结合函数的性质。例 15当 K为什么实数时，关于 X的二次方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0 的两个 实根 和 分别满足 0 1 和 1 2？分析它是一个一元二次方程的问题，利用求根公式解出、，再解不 等式
42、 0 1 和 1 2 顺理成章，但计算变形较繁难。如果把此题的方程的 左端看作是一个二次函数的话，结合函数的图象和性质来解此题，那就简便得多 了。解：设 y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为 a=7 0，且方程 f(x)=0 有两实 根，所以它的图象是开口向上且与 X轴相交于两点（,0）、(,0)的抛 物线。由于 0 1，1 2，可知在 x 或 x 时，f(x)取正值；在 x 时，f(x)取负值。于是，当 x 分列取 0,1，2 时，有：f(0)=k2-k-2 0，f(1)=k2-2k-8 0，f(2)=k2-3k 0 解这三个不等式组成的不等式组，可得-2 k-1 和
43、3 k 4。显然，上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。例 16函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在-3,3 上的最小值是。分析这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复试题，是一个四次函数的最值问题。表面上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极（最）值性质，可得结果。解：y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+5=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5=(x2+5x+5)2+4 设 Z=x2+5x+5，则 y=Z2+4，对 Z=x2+5x+5=(x+5/2
44、)2-5/4，x-3,3，易知Zmin=-5/4，Zmax=29 y=Z2+4，Z-5/4,29 抛物线开口向上，对称轴 Z=0-5/4,29，ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在-3,3 上的最小值是 4。习题三 1 f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于 x=2 为轴对称，已知当x(-2,2 时 f(x)的表达式为-x2+1，则当 x(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。（）次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与
45、练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 2已知 x2-4x+b=0 的一个根的相反数为
46、x2 4x-b=0 的根，则 x2+bx-4=0 的正 根为。3 已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb 且 f(-1)=-2，又 f(x)2x 对一切 x R 都成立，求 a+b=?4设 0,，关于 x 的方程 x2-2 x cos+1=0 有实根，则 4x2+13 x+23=。5已知方程 ax2+bx+c=0(a0)有实根 x1与 x2，设P=x12002+x22002,q=x12001+x22001,r=x12000+x22000则 ap+bq+cr=。6若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)满足 f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002
47、)的大小关系是（A）f(0)f(2002)f(-2002)，(B)f(2002)f(0)f(-2002)，(C)f(-2002)f(0)f(2002)，(D)f(-2002)f(2002)f(0)7若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数 a 的取值范围是什么？8已知 x,y 都是实数，C=x2+y2-xy-x+y，则 C 的最小值等于。9代数式 2x2+2xy+2y2+2x+4y+5 的最小值为：（A）0（B）5（C）9/2（D）3 10函数 f(x)=x4-2x2+2 的单调增区间是：（A）1,+)，（B）(-,-1)1,+)，(C)-1,0 1,+)，(D)以上都不对 11若
48、二次函数 f(x)=ax2+bx，有 f(x1)=f(x2)(x1x2)则f(x1+x2)=。12给定函数 f(x)=x2+ax+b 设 P，q 是满足 P+q=1 的实数，证明，若对于任意的实数 x,y，均有：pf(x)+qf(y)f(px+qy)，则 0 p 1 参考答案 1（D）；2.2；3.110；4.40；5.0；6.(D)；7.-5/4,1；8.-1/3；9.(D)；10.(D)；11.0；12.(略)。次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅 函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版 次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整