数列的求和涵盖所有高中数列求和的方法_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 根据常见的几种不同的递推公式求数列的通项公式(1)已知满足 an 满足 an 1=3nan,且 a1=1,求 an(2)数列 an 中,a1=1,an+1=an+2n,求 an(3)数列 an 满足 an 1=2an 3,a1=1,求 an(4)数列 an 满足 an 1=2an 3n+1,a1=1,求 an(5)数列 an 满足a1=1,a2=35,an+2=35an+132an(n=1,2,-),求 an(6)数列 an 满足a1=1,an=an 132an an 1(n=2,3,-),求 an 答:(1)迭乘法 n(n)na12 3(2)迭加法 na n n 21(3

2、)待定系数法 12 3nna(4)同除指数2 12 3n nna(5)待定系数法23 3()3nna(5)同除乘积,倒数成等差32 1nan 数列的求和 一、教学目标:1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算;3熟记一些常用的数列的和的公式 二、教学重点:特殊数列求和的方法 三、教学过程:(一)主要知识:1直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式:dn nnaa a nSnn2)1(2)(11(2)等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqq aq naSnn(切记:公比含字母时一定要讨论)2公式

3、法:2 2 2 2 21(1)(2 1)1 2 36nkn n nk n 23 3 3 3 31(1)1 2 32nkn nk n 3错位相减法:比如.,2 2 1 1的和 求 等比 等差n n n nb a b a b a b a 4裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常 见 拆 项 公 式:11 1)1(1 n n n n;1 1 1 1()(2)2 2 n n n n 学习必备 欢迎下载)1 211 21(21)1 2)(1 2(1 n n n n!)!1(!n n n n 5分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。6合并求和法:

4、如求2 2 2 2 2 21 2 97 98 99 100 的和。7倒序相加法:8其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等(二)主要方法:1求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式;2求和过程中注意分类讨论思想的运用;3转化思想的运用;(三)例题分析:例 1求和:个 nnS 1 11 111 11 1 2 222 2)1()1()1(nnnxxxxxx S 思路分析:通过分组,直接用公式求和。解:)1 10(9110 10 10 1 1 112 k kkka 个)10 10 10(91)1 10()1 10()1 10(912 2n Sn nn 8110 9 109)1 10(10911 n

5、nn n)21()21()21(224422 nnnxxxxxx S nx x xx x xnn2)1 1 1()(2 4 22 4 2(1)当1 x时,nx xx xnxx xxx xSnn n n nn2)1()1)(1(21)1(1)1(2 22 2 222 222 2(2)当n S xn4,1 时 总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比1 1 q q 或讨论。2错位相减法求和 例 2已知数列)0()1 2(,5,3,11 2 a a n a an,求前 n 项和。思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,2n-1 与等比数列1 2 0,na a a a 对应项积,可用错位

6、相减法求和。解:1)1 2(5 3 11 2 nna n a a S 2)1 2(5 33 2 nna n a a a aS n nna n a a a a S a)1 2(2 2 2 2 1)1(:2 11 3 2 当nnnnaa aS a a)1 2()1()1(21)1(,121 时 21)1()1 2()1 2(1aa n a n aSn nn 当2,1 n S an 时 满足求数列满足满足求求数列答迭乘法迭加法待定系数法同除指数待定系数法同除乘积倒数成等差数列的求和一教学目标熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式能运用倒序相加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟 列的求和公式

7、求和等差数列的求和公式等比数列的求和公式切记公比含字母时一定要讨论公式法错位相减法比如等差求等比的和裂项相消法把数列的通项拆成两项差正负相消剩下首尾若干项常见拆项公式学习必备欢迎下载分组求和 纳猜想法奇偶法等二主要方法求数列的和注意方法的选取关键是看数列的通项公式求和过程中注意分类讨论思想的运用转化思想的运用三例题分析例求和个思路分析通过分组直接用公式求和解个当时当时总结运用等比数列前项和公学习必备 欢迎下载 3.裂项相消法求和 例 3.求和)1 2)(1 2()2(5 343 122 2 2 n nnSn 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)1 211 21(211)1 2)(1 2

8、(11)1 2)(1 2(1 1)2()1 2)(1 2()2(2 2 k k k k k kkk kkak 1 2)1(2)1 211(21)1 211 21()5131()311(212 1 nn nnnn nn a a a Sn n 练 习:求nnana a aS 3 23 2 1 答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aa aa n a aan nSnnn 4.倒序相加法求和 例 4 求证:n nn n n nn C n C C C 2)1()1 2(5 32 1 0 思路分析:由m nnmnC C可用倒序相加法求和。证:令)1()1 2(5 32 1 0 nn n n n n

9、C n C C C S 则)2(3 5)1 2()1 2(0 1 2 1n n nnnnn nC C C C n C n S m nnmnC C nn n n n nC n C n C n C n S)2 2()2 2()2 2()2 2(2:)2()1(2 1 0 有 n nn n n n nn C C C C n S 2)1()1(2 1 0 等式成立 5其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。例 5已知数列 nnn nS n a a 求,)1(2,。思路分析:nnn a)1(2 2,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。解:nnn a)1(2 2,若 mkkm nm S S m n

10、212)1(2)2 3 2 1(2,2 则)1(2)1 2()2 3 2 1(2 n n m m m Sn 若)1 2(2 2)1 2()1(2 2 2)1 2(,1 222 2 1 2 m m m m m m a S S S m nmm m m n则 2 2)1()1(2 2 42 2 2 n n n n m m)(2)()1(2为正奇数为正偶数n n nn n nSn 预备:已知nnna a a a x a x a x a x f,)(3 2 122 1且 成等差数列,n 为正偶数,满足求数列满足满足求求数列答迭乘法迭加法待定系数法同除指数待定系数法同除乘积倒数成等差数列的求和一教学目标熟

11、练掌握等差数列与等比数列的求和公式能运用倒序相加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟 列的求和公式求和等差数列的求和公式等比数列的求和公式切记公比含字母时一定要讨论公式法错位相减法比如等差求等比的和裂项相消法把数列的通项拆成两项差正负相消剩下首尾若干项常见拆项公式学习必备欢迎下载分组求和 纳猜想法奇偶法等二主要方法求数列的和注意方法的选取关键是看数列的通项公式求和过程中注意分类讨论思想的运用转化思想的运用三例题分析例求和个思路分析通过分组直接用公式求和解个当时当时总结运用等比数列前项和公学习必备 欢迎下载 又 n f n f)1(,)1(2,试比较)21(f与 3 的大小。解:n a

12、 a a a a fn a a a a fn nn1 3 2 123 2 1)1()1(2222)(12 1dn a an dnnn a ann 1 2 122)1(11 1 n a adn d n a an n nn f x n x x x x f)21)(1 2()21(5)21(321)21()1 2(5 3)(3 2 3 2 可求得n nn f)21)(1 2()21(3)21(2,n 为正偶数,3)21(f(四)巩固练习:1求下列数列的前n项和nS:(1)5,55,555,5555,5(10 1)9n,;(2)1 1 1 1,1 3 2 4 3 5(2)n n;(3)11nan n;

13、(4)2 3,2,3,na a a na;(5)1 3,2 4,3 5,(2),n n;(6)2 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 解:(1)5 55 555 55 5nnS 个5(9 99 999 99 9)9n 个 2 35(10 1)(10 1)(10 1)(10 1)9n 2 35 50 510 10 10 10(10 1)9 81 9n nn n(2)1 1 1 1()(2)2 2 n n n n,1 1 1 1 1 1 1 1(1)()()()2 3 2 4 3 5 2nSn n 1 1 1 1(1)2 2 1 2 n n(3)1 111(1)(1)nn

14、na n nn n n n n n 1 1 12 1 3 2 1nSn n(2 1)(3 2)(1)n n 1 1 n(4)2 32 3nnS a a a na,当1 a 时,1 2 3nS(1)2n nn,当1 a 时,2 32 3nS a a a nna,2 3 42 3naS a a a 1 nna,两式相减得 2 3(1)na S a a a 1 1(1)1nn n na aa na naa,2 12(1)(1)n nnna n a aSa(5)2(2)2 n n n n,满足求数列满足满足求求数列答迭乘法迭加法待定系数法同除指数待定系数法同除乘积倒数成等差数列的求和一教学目标熟练掌握

15、等差数列与等比数列的求和公式能运用倒序相加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟 列的求和公式求和等差数列的求和公式等比数列的求和公式切记公比含字母时一定要讨论公式法错位相减法比如等差求等比的和裂项相消法把数列的通项拆成两项差正负相消剩下首尾若干项常见拆项公式学习必备欢迎下载分组求和 纳猜想法奇偶法等二主要方法求数列的和注意方法的选取关键是看数列的通项公式求和过程中注意分类讨论思想的运用转化思想的运用三例题分析例求和个思路分析通过分组直接用公式求和解个当时当时总结运用等比数列前项和公学习必备 欢迎下载 原式2 2 2(1 2 3 2)2(1 2 3 n)n(1)(2 7)6n n n(

16、6)设2 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 S,又2 2 2 2sin 89 sin 88 sin 87 sin 1 S,2 89 S,892S 2已知数列 na的通项6 5()2()nnn nan为奇数为偶数,求其前n项和nS 解:奇数项组成以11 a 为首项,公差为 12 的等差数列,偶数项组成以24 a 为首项,公比为 4 的等比数列;当n为奇数时,奇数项有12n 项,偶数项有12n 项,1121(1 6 5)4(1 4)(1)(3 2)4(2 1)22 1 4 2 3nnnnnn nS,当n为偶数时,奇数项和偶数项分别有2n项,2(1 6 5)4(1 4)(3

17、 2)4(2 1)22 1 4 2 3nnnnnn nS,所以,1(1)(3 2)4(2 1)()2 3(3 2)4(2 1)()2 3nnnn nnSn nn 为奇数为偶数 四、小结:1掌握各种求和基本方法;2利用等比数列求和公式时注意分1 1 q q 或讨论。满足求数列满足满足求求数列答迭乘法迭加法待定系数法同除指数待定系数法同除乘积倒数成等差数列的求和一教学目标熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式能运用倒序相加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟 列的求和公式求和等差数列的求和公式等比数列的求和公式切记公比含字母时一定要讨论公式法错位相减法比如等差求等比的和裂项相消法把数列的通项拆成两项差正负相消剩下首尾若干项常见拆项公式学习必备欢迎下载分组求和 纳猜想法奇偶法等二主要方法求数列的和注意方法的选取关键是看数列的通项公式求和过程中注意分类讨论思想的运用转化思想的运用三例题分析例求和个思路分析通过分组直接用公式求和解个当时当时总结运用等比数列前项和公

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