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1、学习必备 欢迎下载 解直角三角形的中考试题特点与复习建议 初中阶段的三角函数建立了直角三角形中边与角的直接联系，拓宽了三角形的研究领域，既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具，又为高中学习任意角的三角函数打下了的基础。解直角三角形这块内容是中考复习与考试的重要内容之一，对此，同学们不应忽视。一、试题特点 近年来，不少省市的中考试题中，出现了与锐角三角函数和解直角三角形有关的题目，从知识角度讲，它主要考查对三角函数概念及其有关计算、解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的掌握情况；从能力角度讲，它主要考查对三角函数定义的理解力，将实际问
2、题转化为数学问题的建模能力，以及在综合背景中恰当运用的能力。与三角函数有关的题目很多，形式也多种多样，下面仅选择几个主要方面，从题目的设计角度，用实例加以评说，至于题目的解答可自己完成或查看有关资料。这些评说，同学们不妨认真地读读，也许对你有一定帮助。1、从特殊角、特定角三角函数的计算、求值等方面设计题目 例 1（20XX 年山东省中考题）计算 30 cot60 sin60 cos 45 tan的结果为（）。（A）1（B）31（C）3 3 2（D）133 2 评说：这类题目如其说是考查对特殊角三角函数值的记忆是否准确，更多地不如说是考查无理数的运算。当然，能否正确地完成此类题的解答，首先要以记
3、住特殊角三角函数值为前提，因此，记住特殊角的三角函数值是必需的。虽然数学中不提倡过多的机械记忆，但并不是说数学中就不需要记忆。其实，要记住 30、45、60的三角函数值是不难的，这可通过直角三角形联系勾股定理和三角函数定义来形象的和推理的“记住”（如图 1 所示），还可通过练习达到自然记住的目的。学习必备 欢迎下载 例 2（20XX 年江西省中考题）如图 2,Rt ABC 中，ACB=90,CD AB 于D,BC=3,AC=4,设 BCD=,则 tan 的值为（）。B（A）43（B）34（C）53（D）54 A C 评说：求一个非 30、45、60的角的三角函数值，其基本思路是利用三角函数的定
4、义来求，当所涉及的这个角不在某一个直角三角形中或虽在某一个直角三角形中但不便于直接求时，可利用另一个与之相等的角进行转换，以求另一个角的三角函数值而达到求这个角的三角函数值的目的。这种转化的思想方法在数学上是非常有用的，同学们应注意体会，并努力在自己的解题实践中学会运用这一思想方法。这里，因为 BCD=CAD，所以，求 tan 就快而容易了。2、从建立解直角三角形模型来解决实际问题的角度设计题目 例 3（2000 年长沙市中考题）如图 3，学校测量组在池塘边的 A 点处测得 BAC=90，在距离 A 点 10 米的 C 点处测得 ACB=60.根据这些数据，你能算出 A、B 两点间的距离吗？A
5、 B 请写出解答过程。（精确到 0.1 米,3 1.73）C 图 3 评说：这是用解直角三角形来解决简单实际问题的最基本模型，通过定义即刻可以求出答案。此题虽然简单，但它确实告诉我们一种算出两点间距离的实用方法：如池塘较大而难以直接丈量出 A、B 两点间距离时，可先间接测量某些数据，再通过计算而求得结果。这就是数学的力量，这种间接的方法也值得我们借鉴。例 4（20XX 年福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图 4 所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）（A）450a 元（B）225a 元（C）150a 元（D）300
6、a 元 图 4 评说：题目中出现的是一个非直角三角形的问题，解决这类题目最有效的方法之一就是化归：通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形。有了这个思想作指导，问题迎刃而解。该题虽然不难，但所使用的方法值得我们重视。例 5（20XX 年山西省中考题）如图 5，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 30。在 M 的南偏东 60方向上有一点 A，以 A 圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取 MN 上另一点 B,测得 BA 的方西南偏。接联系拓宽了三角形的研究领域既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具又为高中学习任意角的三角函数打下
7、了的基础解直角三角形这块内容是中考复习与考试的重要内容之一对此同学们不应忽 要考查对三角函数概念及其有关计算解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的握情况从能力角度讲它主要考查对三角函数定义的理解力将实际问题转化为数学问题的建模能力以及在综合背景中 以评说至于题目的解答可自己完成或查看有关资料这些评说同学们不妨认真地读读也许对你有一定帮助从特殊角特定角三角函数的计算求值等方面设计题目例年山东省中考题计算的结果为评说这类题目如其说是考查对特殊角三角函学习必备 欢迎下载 东 75测得 MB=400m,通过计算回答，如果不改变方向，输水路线 是否会穿过居民区？评说：此题
8、虽然涉及到方位角，但其实质还是基本模式的变式。中考题中这类题目还不少，多数只是换了一下情景，或仅增加了一 点复杂性，并没有什么本质上的改变，这就叫做万变不离其宗。此题的核心 部分分离出来就是图 6。在数学中，分离图形是一种重 要的方法，图形分离出来后，就可以排除一些不必要的 干扰，将注意力集中在关键问题上，因此，同学们应注 意加强这方面的训练。例 6（20XX 年安徽省中考题）如图 7，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD,AB=3米，BC=0.5 米，车厢底部距离的面 1.2 米.卸货时,倾斜的角度=60,问此时车厢的最高点 A 距离的面多少米？评说：这道题是一个实际问题，情景新，图示较复杂
9、，求解时稍有一点难度，但解决问题的基本方法还是转化：先将实际问题数学化，再将数学化后的图形（图 8）通 过作辅助线转化为几个基本的直角三角形进行求解。所 以，同学们在学习时首要的不是学习什么题型，而是数学 的思想方法与解题策略。例 7（20XX 年烟台市中考题）如图 9，某港口有灯塔 A,灯塔 A 的正方向有 B、C 两灯塔，以 BC 为直径的半圆区域内有若干暗礁，BC=18 海里，一船在 M 处测得灯塔 A、C 分别在船的南偏西 60和南偏西 15方向，船沿 MA 方向行驶 6 海里恰好处在灯塔 C 的正北方向 N 处。（1）求 CN 的长；（精确到 0.1 海里）（2）若船继续沿 MA 方
10、向朝 A 行使，是否触礁的危险？（参考数据：732.3 15 cot,9658.0 15 cos,2588.0 15 sin,732.1 3,414.1 2）评说：此题的第一问本质上与例 4 相同；其第二问本质上与例 5 相同，可见它是两种类型问题的综合。因是综合，图形就会有新的变化，一时可能不知从哪下手。这时，仔细弄清问题中已知与所求的内在关联这常常 是解决问题的关键，就可发现原图可以分解两个图形（图 10）、问题也可以分解为两个基本问题，于是，问 题迎刃而解。3、从自主设计测量方案的角度来设计题目 例 8（20XX年重庆市中考题）如图 11，A、B 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B
11、 楼不能到达，由于建筑物密集，在 A的周围没有开阔地带，为了测量 B 的高度接联系拓宽了三角形的研究领域既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具又为高中学习任意角的三角函数打下了的基础解直角三角形这块内容是中考复习与考试的重要内容之一对此同学们不应忽 要考查对三角函数概念及其有关计算解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的握情况从能力角度讲它主要考查对三角函数定义的理解力将实际问题转化为数学问题的建模能力以及在综合背景中 以评说至于题目的解答可自己完成或查看有关资料这些评说同学们不妨认真地读读也许对你有一定帮助从特殊角特定角三角函数的计
12、算求值等方面设计题目例年山东省中考题计算的结果为评说这类题目如其说是考查对特殊角三角函学习必备 欢迎下载 只能充分利用 A 楼的空间，A 的各层楼度可到达且能看见 B,现仅有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线相间的夹角。）（1）请你设计一个测量 B 楼高度的方法：要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算 B 楼高度的表达式。评说:此题从学生自主设计测量方法的角度来设计题目，有一定的开放性，又有一定的实用性，可以较好地考查学生是否具有灵活运用所学的知识来解决问题的能力。对于这样的题目，
13、可能有些学生还不适应，不知如何下手，这时，可通过回想，从所学知识中通过问题的相似性来寻找设计方案的切入口。4、从三角函数与其它知识的综合来设计题目 例 9（20XX 年北京市东城区中考题）已知：如图 12，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点D，OB=10,tan BOD=31.（1）求反比例函数的解析式；（2）略；（3）略。评说：将三角函数或解直角三角形置于综合题中进行考查，其重点、难点通常不是三角函数或解直角三角形，而是其它的代数或几何方面的知识与思想方法。这时，若涉及到三角函数值，通常可从函数意义入手进行考虑。
14、若三角函数的角出现在直角坐标系中，而又要利用三角函数的定义来考虑问题时，应注意点的坐标与直角三角形的直角边的联系与区别。二、复习建议 虽然上面的实例没有涉及到解直角三角形的各个方面（如，利用计算器求任意一个非特殊角的三角函数值，就没有提到，若所在地允许计算器进考场，自己就应该补上相应内容的复习，等等，不一而足），但也使我们看到解直角三角形这部分内容的中考试题的主要特点，因此，复习这部分内容时应注意如下几点：1、三角函数的定义是整个解直角三角形这部分内容的基础，因此要紧紧抓住不妨。这不仅仅意味着要记住它的形式定义，更要抓住它的本质。在初中阶段，由于三角函数把直角三角形中的边与角有机地结合起来，因
15、而可用它有效地解决一些解直角三角形和一些简单的非直角三角形的问题。这里，抓住基本图形和顺利地将非基本图形转化为基本图形是非常重要的。2、转化是解直角三角形的一个重要思想，它包括两方面：一是将实际问题转化为数学问题，二是将复杂问题转化为简单问题，将组合问题转化为基本问题。因此，在复习与解题过程中，应注意体会与运用。当你做了若干道这方面的题目后，你将发现这许许多多的实际问题转化为数学问题后，通常就那么几种模型。当你对此得心应手接联系拓宽了三角形的研究领域既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具又为高中学习任意角的三角函数打下了的基础解直角三角形这块内容是中考复习与考试的
16、重要内容之一对此同学们不应忽 要考查对三角函数概念及其有关计算解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的握情况从能力角度讲它主要考查对三角函数定义的理解力将实际问题转化为数学问题的建模能力以及在综合背景中 以评说至于题目的解答可自己完成或查看有关资料这些评说同学们不妨认真地读读也许对你有一定帮助从特殊角特定角三角函数的计算求值等方面设计题目例年山东省中考题计算的结果为评说这类题目如其说是考查对特殊角三角函学习必备 欢迎下载 后，你将感觉到数学魅力无穷。当你善于把复杂图形的求解化归为几个基本图形求解时，你将体会到数学好玩。3、应养成解题时认真审题，解题后认真反思的好习
17、惯。认真审题，可克服盲目粗心出错；通过反思，可总结解题经验，从有差异的题目中发现共性。这样，既提高了解决问题的正确性，又提高了解题的能力和数学素养。以上建议仅供参考，相信同学们会总结出适合自己的更好的方法。接联系拓宽了三角形的研究领域既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具又为高中学习任意角的三角函数打下了的基础解直角三角形这块内容是中考复习与考试的重要内容之一对此同学们不应忽 要考查对三角函数概念及其有关计算解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的握情况从能力角度讲它主要考查对三角函数定义的理解力将实际问题转化为数学问题的建模能力以及在综合背景中 以评说至于题目的解答可自己完成或查看有关资料这些评说同学们不妨认真地读读也许对你有一定帮助从特殊角特定角三角函数的计算求值等方面设计题目例年山东省中考题计算的结果为评说这类题目如其说是考查对特殊角三角函