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1、学习必备 欢迎下载 3 计算导数 教学目标：1.知识与技能：能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y=f(x)在x0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8 个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。2.过程与方法：经历计算函数f(t)=2t2,f(x)=x+2x在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。3.情感态度价值观：获得计算一般函数的导数的步骤
2、；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。教学重点：计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。教学难点：导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。教学过程：一、导学探究【知识回顾】1.平均变化率:设函数)(xfy，当自变量x从0 x变到1x时，函数值从0()f x变到1()f x，函数值y关于x的平均变化率为yx1010()()f xf xxx=00()()f xxf xx 2.导数的定义：当 x1趋于 x0，即x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(xfy 在点 x0的瞬时变
3、化率。在数学上，称瞬时变化率为函数)(xfy 在 点x0的 导 数，通 常 用 符 号)(0 xf 表 示，记 作0()fx101010()()limxxf xf xxx=000()()limxf xxf xx 【探究新知】阅读教材 P64-67回答下列问题 1 导(函)数定义：一般地，如果一个函数)(xfy 在区间（a，b）上的每一点 x处都有导数，导数值记为)(xf，()fx 0()()limxf xxf xx ，则)(xf 是关于学习必备 欢迎下载 x 的函数，称)(xf 为)(xf的导函数，通常也简称为导数。2 计算函数)(xfy 在0 xx 处的导数的步骤：（1）通 过 自 变 量
4、在0 x处 的 x，确 定 函 数 在0 x处 的 改 变 量：)()(00 xfxxfy；（2）确定函数)(xfy 在0 x处的平均变化率：xxfxxfxy)()(00；（3）当x 趋于 0 时，得到导数xxfxxfxfx)()()(0000lim。3.必记公式：（1）若cy（c 是常数），则y 0 （2）若xy（是常数），则y 1x（3）若)1,0(aaayx，则y lnxaa，特别地()xe xe（4）若)1,0(logaaxya，则y 1lnxa，特别地(ln)x 1x（5）若xysin，则y cos x（6）若cosyx，则y sin x（7）若tanyx，则y 21cos x（8）
5、若cotyx，则y 21sin x 4.思考 1：导函数)(xf 与函数在一点的导数0()fx的关系是什么？答：导函数)(xf 是x的函数，导数0()fx表示导函数)(xf 在0 xx的函数值.数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程
6、一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 思考 2：求0()fx的方法有哪些？答：法 1：可以用定义；法 2：先求出导函数()fx，再将0 x代替)(xf 中的x 二、典题分析 题型一 利用导数的定义求函数在某点处的导数 例 1 求函数xxxfy2)(在下列各点的导数：（1）0 xx；（2）1x；（3）2x。解：（1）xxxxxxxxxxxxfxxfy02000000022)(2)()(.122020020 xxxxx
7、xxxxxy。当x 趋于 0 时，得到导数1212)(20020000limlimxxxxxyxfxx。（2）由（1）可知当1x时有：1112)1(2f。（3）由（1）可知当1x时有：211)2(2)2(2f。例 2 求xxxfy23)(的导函数)(xf，并利用导函数)(xf 求)1(f，)2(f，)0(f。解：xxxxxxxxxxxfxxfy6)(33)()(3)()(220200.1636)(32xxxxxxxxy。当x 趋于 0 时，得到导函数16)163()(limlim00 xxxxyxfxx。分别将1x，2x，0 x代入)(xf，可得 5116)1(f，数的算法步骤理解导函数的概念
8、记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 1
9、31)2(6)2(f，1106)0(f。题型二 利用导数公式求导数 例 3 求下列函数的导数（1）yxx；（2）53yx；（3）222loglogyxx；（4）22sin(12cos)24xxy 答案（1）32x；（2）2535x；（3）1ln2yx；（4）cosyx 题型三 导数的应用 例 4 求函数yx在点（4，2）处的切线方程 解：因为12yxx，由导数公式表知，111221122yxxx ，根据导数的几何意义，得点（4，2）处的切线斜率为1142 4k，所以函数yx在点（4，2）处的切线为440 xy 三、归纳小结 1.函数()f x在点0 x处的导数”、“导函数”、“导数”三者关系；
10、2求函数()f x在一点0 x处的导数的方法：法一：用定义0()fx=0000()()limlimxxf xxf xyyxx 法二：先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值。四.课后反思:数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学
11、探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 4.1 导数的加法与减法法则 教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。教学重点：函数和、差导数公式的应用。教学难点：函数和、差导数公式的应用 一、导学探究【知识回顾】1计算函数)(xfy 在0 xx 处的导数的步骤：（1）通 过 自 变 量 在0 x处 的 x，确 定 函 数
12、在0 x处 的 改 变 量：)()(00 xfxxfy；（2）确定函数)(xfy 在0 x处的平均变化率：xxfxxfxy)()(00；（3）当x 趋于 0 时，得到导数xxfxxfxfx)()()(0000lim。2导数公式表 函数 导函数 函数 导函数 cy（c是常数）0y xysin xycos xy（是实数）1xy xycos xysin xay（10aa且）ayxln()xxee xytan xy2cos1 xyalog（10aa且）axyln1 1(ln)xx xycot xy2sin1 数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在
13、过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载【探究新知】1 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）即
14、()()f xg x()()fxg x ，()()fxg x()()fxgx 2 请试着推导两个函数和、差的导数公式 证明：)()()()(0 xgxfxxgxxfy xxgxfxxgxxfxy)()()()(xxgxxgxxfxxf)()()()(xxgxxgxxxfxxfxxyx0)()(0lim)()(0lim0lim )()(xgxf 同理 )()()()(xgxfxgxf 二、典例分析 题型一 利用两个函数和（差）的求导法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数（1）42356yxxx；（2）21lgyxx；（3）22()2f xaaxx 答案（1）32465yxx；（2）312ln
15、10 xx；（3）()22fxax 题型二 导数的应用求与曲线切线有关的问题 例 2 求曲线32yxx在点（1，-1）的切线方程 解：函数32yxx是函数3)(xxf与()2g xx 的差，由导数公式表分别得出 23)(xxf，()2g x ，根据函数差的求导法则得 32(2)()()32xxfxg xx 将1x代入导出函数得3 1 21 数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观
16、获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 即曲线32yxx上点（1,-1）处的切线斜率为 1，从而切线方程为(1)1yx ，即2yx 。例 3 已知曲线方程2yx，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程。解 显然点 B(3,5)不在曲线2yx上，所以设切点的坐标为200
17、(,)xx 因 为2yx，所 以2yx，所 以 切 线 的 斜 率02kx，则 切 线 方 程 为20002()yxxxx 把点 B(3,5)代人，则200052(3)xxx，即200650 xx，解得01x 或05x，所以切点坐标为（1，1）或（5，25），所以所求切线方程为12 1(1)yx 或252 5(5)yx ，即210 xy 或10250 xy 例 4 已知抛物线2yaxbxc过点 P（1，1），且在点 Q（2，-1）处与直线3yx 相切，求实数 a,b,c 的值。解：因为曲线2yaxbxc过点 P（1，1），所以1abc 因为2yaxb，所以 y 在 x=2 处导数为 4a+b,
18、则由已知 4a+b=1 因为曲线过点 Q（2，-1），所以 4a+2b+c=-1 由解得 a=3,b=-11,c=9 三、归纳小结 四.课后反思:数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到
19、时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 4.2 导数的乘法与除法法则 教学目标：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线.教学重点：函数积、商导数公式的应用.教学难点：函数积、商导数公式的应用.一、导学探究【知识回顾】导数的加法与减法法则【探究新知】1.函数积的求导公式 若两个函数()f x，()g x的导数分别是()fx，()g x，则 ()()f x
20、 g x=()()()()fx g xf x g x 特别地，当()g xk（k为常数）时，有()kf x=)(xkf 2.函数商的求导公式 若两个函数()f x，()g x的导数分别是()fx，()g x，则()()f xg x=2()()()()()fx g xf x g xgx 特别地，1()g x=2()()g xgx 问题：)()()()(xgxfxgxf吗？)()()()(xgxfxgxf吗？解析：令3)(xxf 2)(xxg 说明。二、典例分析 例 1 求下列函数的导数（1）2xyx e；（2）sinyxx；（3）lnyxx 解：xxxxxxexxexxeexexexy)2(2)
21、()()()1(22222 数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬
22、时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 xxxxxxxxxxycos2sin)(sinsin)()sin()2(1ln1ln)(lnln)ln()3(xxxxxxxxxxy 例 2 求下列函数的导数(1).sin xyx;（2）2lnxyx 解：22sincos1sincos)sin()1(xxxxxxxxxxy(2)xxxxxxxxxxy2222ln)1ln2(ln1ln2)ln(例 3 求下列函数的导数.(1).2(lnsin)yxxx;（2）2cos xxyx 答案：（1）22 ln2 sincosxxxxxxx（2）3sin2cosxxxxx 例 4 求曲线1()2 ln
23、1xxf xxx在点（1,0）处的切线方程。分析：求切线方程的方法：找切点，求导数得斜率，点斜式写方程 答案：7470 xy 例 5 已知函数26()axf xxb的图像在点 M（-1，(1)f）处的切线方程为250 xy，求函数()yf x解析式。解：由函数()yf x的图像在点 M（-1，(1)f）处的切线方程为250 xy 知12(1)5f=0，即(1)2f ，由切点为 M点得1(1)2f 数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出
24、一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数学习必备 欢迎下载 222()2(6)()()a xbx axfxxb ，2621(1)2(6)1(1)2ababab 解得2,3ab或6,1ab （由10b 舍去1b ）所以，226()3xf
25、 xx 三、归纳小结 1 导数的运算法则：()()()()f xg xfxgx()()()()()()f x g xfx g xf x g x（轮流求导之和）()()cf xcf x(C 为常数)2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xgx（上导乘下,下导乘上,差比下方）2.如何用导数的四则运算法则和导数公式求导？（1）分析函数()yf x的结构特征，有时需先化简；（2）选择恰当的求导法则和导数求导公式；（3）整理得结果。四、课后反思 数的算法步骤理解导函数的概念记忆导数公式表中所给的个函数的导数公式并能用它们求简单函数的导数在过程与方法经历计算函数在给定点的导数的过程明确算理和确定算法梳理计算具体函数在给定点的导数的过程抽象概括出一们间的联系与不同设计导函数的求解程序即算法情感态度价值观获得计算一般函数的导数的步骤感受特殊与一般的思想在导数计算的过程中形成严谨细致独立思考的习惯教学重点计算一般函数在某点的导数利用导数表求简单函数的程一导学探究知识回顾平均变化率设函数当自变量从变到时函数值从变到函数值关于的平均变化率为导数的定义当趋于即趋于时如果平均变化率趋于一个固定的值那么这个值就是函数在点的瞬时变化率在数学上称瞬时变化率为函数