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1、20122012 山东省威海市中考数学山东省威海市中考数学真题及答案真题及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 3 3 分共分共 3636 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得一个是正确的，每小题选对得 3 3 分，选错、不选或多选，均不得分）分，选错、不选或多选，均不得分）1（3 分）（2012威海）64 的立方根是（）A8B8C4D4【考点】：平方根、算术平方根、立方根 M11D【难易度】：容易题【分析】：由立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，则因为
2、4的立方等于 64，所以 64 的立方根等于 4【解答】：答案 C【点评】：此题考查了求一个数的立方根，属于送分题，难度不大，熟记一些数的立方根可直接得出答案。2（3 分）（2012威海）2012 年是威海市实施校安全工程 4 年规划的收官年，截止 4 月底，全市已开工项目 39 个，投入资金 4999 万元，请将 4999 万用科学记数法表示（保留两个有效数字）（）A4999104B4.999107C4.9107D5.0107【考点】：有效数字 M11B科学记数法 M11C【难易度】：容易题【分析】：由 4999 万=49990000，则用科学记数法表示为：49990000=4.999107
3、，保留两位有效数字为：5.0107【解答】：答案 D【点评】：本题考查了科学记数法以及有效数字的记数方法，属于基础题，难度不大，只要熟知科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值，有效数字是从左边第一位不为 0 的数开始记，需要几位就取几位3（3 分）（2012威海）如图，ab，点 A 在直线 a 上，点 C 在直线 b 上，BAC=90，AB=AC，若1=20，则2 的度数为（）A25B65C70D75【考点】：平行线的判定及性质 M31B相交线（对顶角、邻补角、同位角、同旁内角、内错角、）M31A三角形内（外）角和
4、M321【难易度】：容易题【分析】：由题意，因为BAC=90，AB=AC，所以B=ACB=45，又1=20，则ACE=20+45=65，而 ab，所以2=ACE=65，【解答】：答案 B【点评】：此题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，难度不大，一般在考查平行线时，都是牵涉到角的运算，需要熟记：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同位角相等，一般利用图形中角之间的关系进行转换。4（3 分）（2012威海）下列运算正确的是（）Aa3a2=a6Ba5+a5=a10Caa2=a3D（3a）2=9a2【考点】：整式运算 M11N【难易度】：容易题【分析】：根据整式的运算有
5、：A、由同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，a3a2=a5，故 A 错误；B、合并同类项得，a5+a5=2a5，故本选项错误；C、，由同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，aa2=a1（2）=a3，故本选项正确D、由幂的乘方与积的乘方，（3a）2=9a2，故本选项错误【解答】：答案 C【点评】：本题考查了整式的运算，是初中阶段的一个重要知识点，难度不大，熟练掌握运算法则，理清指数的变化是解题的关键5（3 分）（2012威海）如图所示的机器零件的左视图是（）ABCD【考点】：视图与投影 M414【难易度】：容易题【分析】：由左视图是从物体左面看所得到的视图，则从左面看得：机器零件的左视图是
6、一个矩形中间有 1 条横着的虚线【解答】：答案 D【点评】：本题考查了三视图灵活运用的能力，难度不大，是中考的常规题目，考查学生的空间想象能力，需要熟记：几何体正视图、左视图、俯视图是从物体的正、左侧、上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线6（3 分）（2012威海）函数 y=的自变量 x 的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【考点】：二次根式有意义的条件 M11F分式的基本性质 M11Q【难易度】：容易题【分析】：根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于 0，则 x30，解得：x3，又由分式有意义的条件，则 x30，即 x3，因此 x3【解答】：答案 A【点评】：本题考查了函数自变量取
7、值范围，难度不大，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数7（3 分）（2012威海）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听 454 克，现抽去10 听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：10，+5，0，+5，0，0，5，0，+5，+10则这 10 听罐头质量的平均数及众数为（）A454，454B455，454C454，459D455，0【考点】：平均数、方差和标准差 M212中位数、众数 M214【难易度】：容易题【分析
8、】：由平均数和众数的计算得：平均数=454+（10+5+0+5+0+05+0+5+10）=454+1=455 克，在10，+5，0，+5，0，0，5，0，+5，+10 中，0 出现的次数最多，所以众数是 0，因而这 10 听罐头的质量的众数是：454+0=454 克【解答】：答案 B【点评】：此题考查平均数与众数的计算难度不大，需要熟记：众数是一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；平均数是所有数据之和除以数据个数，注意此题中的标准质量的含义。8（3 分）（2012威海）化简的结果是（）AB
9、CD【考点】：分式运算 M11R【难易度】：容易题【分析】：由所给分式知，最简公分母为（x+3）（x3），则原式=【解答】：答案 B【点评】：此题考查了分式的运算，是中考的必考知识点，难度不大，分式的运算一般与通分与约分有关可以用平方差公式、完全平方公式进行分解因式，灵活运用公式解答即可，注意分式中分母不能为 09（3 分）（2012威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）ABCD【考点】：反比例函数的的图象、性质 M152；三角形的面积 M325【难易度】：中等题【分析】：由反比例函数的图象的性质：A、因为 M、N 两点均在反比例函数 y=的图象上，所以 S阴影=2；B、因为 M、N 两点
10、均在反比例函数 y=的图象上，所以 S阴影=2；C、如图所示，分别过点 MN 作 MAx 轴，NBx 轴，则 S阴影=SOAM+S阴影梯形 ABNMSOBN=2+（2+1）1 12=；D、因为 M、N 两点均在反比例函数 y=的图象上，所以 14=2则 C 中阴影部分的面积最小【解答】：答案 C【点评】：本题考查了反比例函数图像的性质与三角形的面积，难度适中，在求反比例函数上的一点作坐标轴的垂线与原点组成的三角形的面积时，一般过交点作坐标轴的垂线，进而由三角形面积公式进行计算。10（3 分）（2012威海）如图，在ABCD 中，AE，CF 分别是BAD 和BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法
11、判断四边形 AECF 为菱形的是（）AAE=AFBEFACCB=60DAC 是EAF 的平分线【考点】：菱形的性质与判定 M334；平行四边形的性质与判定 M332全等三角形性质与判定 M32A角平分线的性质与判定 M317【难易度】：中等题【分析】：由题意，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以B=D，DAB=DCB，AB=CD，AD=BC，又 AE，CF 分别是BAD 和BCD 的平分线，所以DCF=DCB，BAE=BAD，则BAE=DCF，从而在ABE 和CDF 中，故ABECDF，所以 AE=CF，BE=DF，而 AD=BC，所以 AF=CE，则四边形 AECF 是平行四边形，A、因
12、为四边形 AECF 是平行四边形，AE=AF，所以平行四边形 AECF 是菱形，故本选项正确；B、因为 EFAC，四边形 AECF 是平行四边形，所以平行四边形 AECF 是菱形，故本选项正确；C、根据B=60和平行四边形 AECF 不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、因为四边形 AECF 是平行四边形，所以 AFBC，FAC=ACE，而 AC 平分EAF，所以FAC=EAC，EAC=ECA，则 AE=EC，又四边形 AECF 是平行四边形，所以四边形 AECF 是菱形，故本选项正确；【解答】：答案 C【点评】：本题考查了平行四边形的性质和判定以及菱形的判定与性质，主要考查学生的推理能力，
13、难度适中，在解答图形类题目时，一般根据已知条件找出题目中的隐含条件，可采用数形结合的方式进行解答11（3 分）（2012威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）Aabc0B3a2bCm（am+b）ab（m 为任意实数）D 4a2b+c0【考点】：二次函数的的图象、性质 M162【难易度】：中等题【分析】：A由函数图象可得各系数的关系：a0，c0，对称轴 x=10，则 b0，故 abc0，故此选项正确，但不符合题意；B因为 x=1，所以 b=2a，则 2b=4a，而 a0，b0，所以 3a2b，故此选项正确，但不符合题意；C因为 b=2a，代入 m（a
14、m+b）（ab）得：所以 m（am+2a）（a2a）=am2+2am+a，=a（m+1）2，而 a0，则 a（m+1）20，所以 m（am+b）（ab）0，即 m（am+b）ab，故此选项正确，但不符合题意；D当 x=2 代入 y=ax2+bx+c，得出 y=4a2b+c，由图象与 x 轴交点右侧小于 1，则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于2，故 y=4a2b+c0，故此选项错误，符合题意；【解答】：答案 D【点评】：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，是中考常见的考点，难度适中，需要熟记：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象，当 a0 时，抛物线向下开口，当 a 与 b 同号时（
15、即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右，以及利用对称轴得出 a，b 的关系是解题关键12（3 分）（2012威海）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（）ABC1D【考点】：概率的计算 M222；正多边形和圆 M346；圆的相关计算 M34D【难易度】：较难题【分析】：根据图象可以得出，O 为正六边形中心，过点 O 作 OMBC，设正六边形边长为 1，根据正六边形每个内角为 120，则 S扇形 FAB=，故 S扇形 BCD=，S扇形 DEF=，因为 OC=BC=BO=1，OMBC，所以 OM=则 SOB
16、C=OMBC=1=，所以 S正六边形面积=6=，则 S阴影=，故飞镖插在阴影区域的概率为：=1【解答】：答案 A【点评】：此题借助图形的面积考查了概率计算，是中考考查的一种趋势，难度较大，在求不规则图形的面积时，一般转化为规则图形的面积再进行计算，而在图形中的概率计算与一般的概率计算相同。二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分，只要求填出最后结果）分，只要求填出最后结果）13（3 分）（2012威海）计算：=【考点】：实数的混合运算 M119【难易度】：容易题【分析】：由 0 指数幂及负整数指数的运算法则得：原式=12+=
17、【解答】：答案为：【点评】：本题考查了实数的混合运算，主要考查学生的计算能力，难度不大，熟知 0 指数幂及负整数指数的运算法则是解答本题的关键，注意细心计算14（3 分）（2012威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3=【考点】：因式分解 M11O【难易度】：容易题【分析】：先提取公因式 3y，再对余下的多项式用完全平方公式进行分解，则：3x2y+12xy2+12y3=3y（x2+4xy+4y2）=3y（x+2y）2【解答】：答案为：3y（x+2y）2【点评】：本题考查了因式分解，难度不大，是中考必考的题目，一般与平方差公式与完全平方公式有关，需要注意的是：因式分解要彻底，直到不能分解
18、为止15（3 分）（2012威海）如图，直线 l1，l2交于点 A，观察图象，点 A 的坐标可以看作方程组的解【考点】：求一次函数的关系式 M143二元一次方程及二元一次方程组的解 M12E【难易度】：容易题【分析】：由题意，设直线 l1的解析式是 y=k1x1，设直线 l2的解析式是 y=k2x+2，因为把 A（1，1）代入 l1得：k1=2，所以直线 l1的解析式是 y=2x1而把 A（1，1）代入 l2得：k2=1，则直线 l2的解析式是 y=x+2，又 A 是两直线的交点，所以点 A 的坐标可以看作方程组的解，【解答】：答案为：【点评】：本题考查了一元一次函数与二元一次方程组的关系，主
19、要考查学生的理解能力和计算能力，难度不大，实质上二元一次方程组就是由两个一次函数组成16（3 分）（2012威海）若关于 x 的方程 x2+（a1）x+a2=0 的两根互为倒数，则 a=【考点】：一元二次方程根与系数的关系 M129一元二次方程根的判别式 M128倒数 M112【难易度】：容易题【分析】：由题意，设已知方程的两根分别为 m，n，则 mn=1，而方程有解，所以=b24ac=（a1）24a20，解得：1a，又 mn=a2，所以 a2=1，解得：a=1（舍去）或 a=1，则 a=1【解答】：答案为：1【点评】：此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，是初中阶段的一个重要知
20、识点，需要熟记：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），当 b24ac0 时，方程有解，设此时方程的解为 x1和 x2，则有 x1+x2=，x1x2=17（3 分）（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若ABC 与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为【考点】：求一次函数的关系式 M143图形的位似及应用 M32K【难易度】：中等题【分析】：根据位似的性质，只要对应边相互平行即为位似。设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，因为ABC 的顶点坐标分别为（4，
21、0），（8，2），（6，4），所以，解得：，则直线 AC 的解析式为：y=2x8，同理可得：直线 AB 的解析式为：y=x2，直线 BC 的解析式为：y=x+10，因为A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），所以过这两点的直线为：y=2x+1，则过这两点的直线与直线 AC 平行，若 A 的对应点为 A1（1，3），C 的对应点为 C1（2，5），则 B1C1BC，B1A1BA，设直线 B1C1的解析式为 y=x+a，直线 B1A1的解析式为 y=x+b，则2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，所以直线 B1C1的解析式为 y=x+7，直线 B1A1的解析式为 y=x+，则直线
22、 B1C1与直线 B1A1的交点为：（3，4）；若 C 的对应点为 A1（1，3），A 的对应点为 C1（2，5），则 B1A1BC，B1C1BA，设直线 B1C1的解析式为 y=x+c，直线 B1A1的解析式为 y=x+d，则2+c=5，1+d=3，解得：c=4，d=4，所以直线 B1C1的解析式为 y=x+4，直线 B1A1的解析式为 y=x+4，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：（0，4）故A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）【解答】：答案为：（3，4）或（0，4）【点评】：此题考查了位似图形的性质难度适中，位似图形的对应线段互相平行，注意分类讨论思想与数形结合
23、思想在解答图形类题目中的应用18（3 分）（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，线段 OA1=1，OA1与 x 轴的夹角为 30，线段 A1A2=1，A2A1OA1，垂足为 A1；线段 A2A3=1，A3A2A1A2，垂足为 A2；线段 A3A4=1，A4A3A2A3，垂足为 A3；按此规律，点 A2012的坐标为【考点】：不同位置的点的坐标的特征 M132列代数式 M11H垂线、垂线段 M312【难易度】：较难题【分析】：如图，过点 A1作 A1Bx 轴，作 A1Cx 轴 A2Cy 轴，相交于点 C，因为 OA1=1，OA1与 x 轴的夹角为 30，所以 OB=OA1cos30=1=，A
24、1B=OA1sin30=1=，则点 A1的坐标为（，），而 A2A1OA1，OA1与 x 轴的夹角为 30，所以OA1C=30，A2A1C=9030=60，则A1A2C=9060=30，同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=，所以，点 A2的坐标为（，+），点 A3的坐标为（+，+），即（，+1），点 A4的坐标为（，+1+），即（1，+1），点 A5的坐标为（1+，+1+），即（1，+），点 A6的坐标为（1，+），即（，+），当 n 为奇数时，点 An的坐标为（，+），当 n 为偶数时，点 An的坐标为（，+），所以，当 n=2012 时，=503503，+=503+503，点 A20
25、12的坐标为（503503，503+503）【解答】：答案为：（503503，503+503）【点评】：本题考查了点的坐标的规律变化，难度较大，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的变化规律即可解答。三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 6666 分）分）19（7 分）（2012威海）解不等式组，并把解集表示在数轴上：【考点】：解一元一次不等式（组）M12L实数与数轴的关系 M118【难易度】：容易题【分析】：根据解一元一次不等式的步骤，先求出各不等式的解集，再求其公共部分即为不等式
26、组的解集【解答】解：解不等式，得 x2，-2 分解不等式，得 x3，-4 分故原不等式组的解集为3x2，在数轴上表示为（如图）-7 分【点评】：本题考查了一元一次不等式组的解集，属于基础题，难度不大，是中考的常规题目，正确解出不等式的解集是解答本题的关键在求不等式组的解集时，首先求出各不等式的解集。在数轴上表示时，注意：实心圆点与空心圆点的区别20（8 分）（2012威海）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 EK 为上一动点，AK，DC 的延长线相交于点 F，连接 CK，KD（1）求证：AKD=CKF；（2）若 AB=10，CD=6，求 tanCKF 的值【考点】：四边形与圆 M
27、345圆心角与圆周角 M343垂径定理及其推论 M349勾股定理的实际应用 M32B特殊角三角函数的值 M32D【难易度】：中等题【分析】：（1）连接 AD、AC则四边形 ADCK 为圆内接四边形，由“圆内接四边形对角互补”得AKC+ADC=180，而AKC+FKC=180，所以CKF=ADC；又 AB 为O 的直径，弦CDAB，则=，所以ADC=AKD，故AKD=CKF；（2）连接 OD因为 AB 为O 的直径，AB=10，所以 OD=5；而 CDAB，则 DE=CE=CD=3在 RtODE 中，由勾股定理可得 OE=4，则 AE=9；所以 tanADE=3；又CKF=ADE，所以 tanC
28、KF=3【解答】（1）证明：连接 AD、AC-1 分CKF 是圆内接四边形 ADCK 的外角，CKF+AKC=180，AKC+ADC=180CKF=ADC；-2 分AB 为O 的直径，弦 CDAB，=-3 分ADC=AKD，AKD=CKF；-4 分（2）解：连接 ODAB 为O 的直径，AB=10，OD=5；弦 CDAB，CD=6，DE=CE=CD=3（垂径定理）；-5 分在 RtODE 中，OE=4，AE=9；-6 分在 RtADE 中，tanADE=3；CKF=ADE，tanCKF=3-8 分【点评】：此题是圆的综合题，是中考必考的考点，难度适中，一般在解答有关圆的题目时，可通过构造直角三
29、角形进行解答。21（9 分）（2012威海）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2011 年 9 月围绕“你最喜欢的体育运动项目（只写一项）”这一问题，对初一新生进行随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）根据条形统计图中的数据，求扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应扇形的圆心角度数（3）请将条形统计图补充完整（4）若该市 2011 年约有初一新生 21000 人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人【考点】：统计图（扇形、条形、折线）M216；平均数、方差和标准差 M21
30、2中位数、众数 M214总体、个体、样本、容量 M211【难易度】：容易题【分析】（1）用喜欢健身操的学生数除以其所占的百分比即可求得样本容量；（2）用周角乘以最喜欢足球运动的学生所占的百分比即可求得其圆心角的度数；（3）求得喜欢篮球的人数后补全统计图即可；（4）用总人数乘以喜欢足球的人数占总人数的百分比即可【解答】解：（1）10020%=500，本次抽样调查的样本容量是 500；-2分（2）360=43.2，扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应的扇形圆心角度数为 43.2；-4 分（3）如图：-7分（4）21000=2520（人）全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有 2520
31、人；-9分【点评】：此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用 是中考的常规题目，难度不大，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答此类题目的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为 1，直接反映部分占总体的百分比大小，每一部分所对的圆心角=这一部分的比例乘以 36022（9 分）（2012威海）小明计划用 360 元从大型系列科普丛书什么是什么（每本价格相同）中选购部分图书“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书 8 折销售这样，小明比原计划多买了 6 本求每本书的原价和小明实际购买图书的数量【考点】：分式方程的应用 M12D【难易度】：容
32、易题【分析】：由用 360 元钱打折后可购书本数打折前 360 元钱可购书本数=6，列出分式方程，解方程即可【解答】解：设每本书的原价为 x 元，根据题意，得：-1 分，-4 分解这个方程，得：x=15，-6 分经检验，x=15 是所列方程的根，则（本），-8 分所以，每本书的原价为 15 元，小明实际可购买图书 30 本-9 分【点评】：此考查了分式方程的应用，难度不大，解题的关键在于理解题意，找到合适的等量关系建立方程是解答此题的关键，注意：解分式方程一定要验根23（10 分）（2012威海）（1）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC
33、于点 E，F求证：AE=CF（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1处，点B 落在点 B1处，设 FB1交 CD 于点 G，A1B1分别交 CD，DE 于点 H，I求证：EI=FG【考点】：平行四边形的性质与判定 M332全等三角形性质与判定 M32A图形的折叠、镶嵌 M411【难易度】：中等题【分析】：（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，OA=OC，根据平行线的性质得1=2，而3=4，由 ASA 证得AOECOF，则 AE=CF（2）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以B=D，A=C，根据图形折叠的性质，得A1E=A
34、E=CF，A1=A=C，B1=B=D，由 AAS 证得A1IECGF，则 EI=FG【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OA=OC，1=2，-1 分在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA），-3 分AE=CF；-4 分（2）四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，B=D，-5 分由（1）得 AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，-6 分在A1IE 与CGF 中，A1IECGF（AAS），-9 分EI=FG-10 分【点评】：此题综合考查了平行四边形的性质
35、以及全等三角形的判定与性质，难度适中，在证明线段相等时，一般转化为图形的全等来进行证明，注意掌握折叠前后图形的对应关系，解答图形类题目时，数形结合是解题一种重要方式24（11 分）（2012威海）探索发现已知：在梯形 ABCD 中，CDAB，AD，BC 的延长线相交于点 E，AC，BD 相交于点 O，连接 EO并延长交 AB 于点 M，交 CD 于点 N（1）如图，如果 AD=BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线（2）如图，如果 ADBC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由学以致用仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形 ABCD 的一条对称轴（写出作图步骤，保留作图痕
36、迹）【考点】：等腰梯形的性质与判定 M337线段垂直平分线性质、判定、画法 M313尺规作图 M318相似三角形性质与判定 M32H全等三角形性质与判定 M32A【难易度】：较难题【分析】：（1）因为 AD=BC，CDAB，则四边形 ABCD 是等腰梯形，则DAB=CBA，AE=BE，即 E 在 AB 的垂直平分线上，在ABD 与BAC 中，AB=BA，AD=BC，BD=AC，所以ABDBAC，故 OA=OB，则点 O 也在线段 AB 的垂直平分线上，从而 EM 是 AB 的垂直平分线；（2）由题意，只要证得DENAEM，ONDOMB，根据相似三角形的对应边的成比例，可得，从而有 BM=AM；
37、（3）由（2）知，连接 AC，BD，两线交于点 O1，矩形 ABCD 外任取一点 E，连接 EA，EB，分别交 DC 于点 G，H，即可作出 AB 的中点 M，则直线 MO1即为所求【解答】（1）证明：AD=BC，CDAB四边形 ABCD 是等腰梯形，AC=BD，DAB=CBA，AE=BE点 E 在线段 AB 的垂直平分线上，-1 分在ABD 与BAC 中，AB=BA，AD=BC，BD=AC，ABDBAC，1=2OA=OB，点 O 在线段 AB 的垂直平分线上，-2 分则直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线；-3 分（2）解：相等理由：-4 分CDAB，3=EAB4=4，DENAEM，同理-
38、5 分CDAB，5=6又7=8，ONDOMB，同理-6 分-7 分AM=BM；-8 分（3）解：作法：如图连接 AC，BD，两线交于点 O1在矩形 ABCD 外任取一点 E，连接 EA，EB，分别交 DC 于点 G，H连接 BG，AH，两线交于点 O2作直线 EO2，交 AB 于点 M作直线 MO1直线 MO1就是矩形 ABCD 的一条对称轴-11 分【点评】：本题综合考查了相似三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，难度较大，图形类的题目是中考必考题，一般会涉及到多种图形之间的关系，解题的基本方法为根据已知条件作出辅助线或辅助角，得出隐含在题目中的条件，所使用到的数学思想有：数形结合思想和分类
39、讨论思想。25（12 分）（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 B（2，1），且过点 A（0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EFx 轴，垂足为点 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx 轴，垂足为点 M，PCM 为等边三角形（1）求该抛物线的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）试判断 CE 与 EF 是否相等，并说明理由；（4）连接 PE，在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N，使CMN 与CPE 全等？若存在，试求出点 N 的
40、坐标；若不存在，请说明理由【考点】：求二次函数的关系式 M163不同位置的点的坐标的特征 M132等边三角形性质与判定 M328直角三角形性质与判定 M329勾股定理的实际应用 M32B【难易度】：较难题【分析】：（1）由抛物线的顶点是（2，1），则可设抛物线的表达式为 y=a（x2）2+1，将 A的坐标代入 y=a（x2）2+1，解出 a 的值即可得出函数的解析式。（2）因为PCM 为等边三角形，则CGM 中，CMD=30，而直线 y=x 与抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，则 CG=2，解直角三角形 CGM 得，CM=4，GM=2则 OM=2+2，PM=4，从而得
41、出 P 的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得 P 的坐标；（3）由 y=x 与 y=x2x+2 组成方程组，解方程组得 E 的坐标，则 EF 的长等于 E 的纵坐标，由勾股定理得 OE、OC 的长度，则 CE=OEOC，从而做出判断；（4）由题意，假设 x 轴上存在一点，使CMNCPE，由全等三角形的性质得 EN=EF，即N 与 F 重合，与点 E 为直线 y=x 上的点，而CEF=45即点 N 与点 F 不重合相矛盾，故 N不存在【解答】解：（1）设抛物线的表达式为 y=a（x2）2+1，将点 A（0，2）代入，得a（02）2+1=2-1 分解这个方程，得 a=抛物线的表达式为 y=（x
42、2）2+1=x2x+2；-2 分（2）将 x=2 代入 y=x，得 y=2点 C 的坐标为（2，2）即 CG=2PCM 为等边三角形CMP=60，CM=PM-3 分PMx 轴，CMG=30CM=4，GM=2OM=2+2，PM=4将 y=4 代入 y=（x2）2+1，得 4=（x2）2+1-4 分解这个方程，得 x1=2=OM，x2=220（不合题意，舍去）点 P 的坐标为（2+2，4）-5 分（3）相等把 y=x 代入 y=x2x+2，得 x=x2x+2解这个方程，得 x1=4+2，x2=422（不合题意，舍去）-6 分y=4+2=EF点 E 的坐标为（4+2，4+2）OE=4+4-7 分又OC=CE=OEOC=4+2CE=EF-8 分（4）不存在-9 分假设 x 轴上存在一点，使CMNCPE，则 CN=CE，MCN=PCEMCP=60，NCE=60-10 分又CE=EF，CN=EF又点 E 为直线 y=x 上的点，CEF=45，点 N 与点 F 不重合EFx 轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点 N 不存在-12 分【点评】：本题是二次函数综合题，考查的知识点范围较广，难度较大，二次函数的性质是中考必考的知识点，一般在解答题中进行考查，在综合类大题中，一般考查基础知识之间的关系，从中得到隐含在题目中的条件，所使用到的数学思想有：数形结合思想和分类讨论思想。